स्थिरता स्पेक्ट्रम

मॉडल सिद्धांत में, गणितीय तर्क की एक शाखा, एक पूर्ण सिद्धांत प्रथम-क्रम सिद्धांत टी को 'λ में स्थिर' (एक अनंत कार्डिनल संख्या) कहा जाता है, यदि आकार ≤ λ के टी की प्रत्येक संरचना (गणितीय तर्क) के प्रकार (मॉडल सिद्धांत) #स्टोन रिक्त स्थान का स्वयं का आकार ≤ λ है। T को 'स्थिर सिद्धांत' कहा जाता है यदि कार्डिनल्स κ के लिए कोई ऊपरी सीमा नहीं है जैसे कि T κ में स्थिर है। T का 'स्थिरता स्पेक्ट्रम' सभी कार्डिनल्स κ का वर्ग है जैसे कि T κ में स्थिर है।

गणनीय सिद्धांतों के लिए केवल चार संभावित स्थिरता स्पेक्ट्रा हैं। संबंधित विभाजन रेखा (मॉडल सिद्धांत) पूरी तरह से ट्रान्सेंडैंटल सिद्धांत, सुपरस्टेबल सिद्धांत और स्थिर सिद्धांत के लिए हैं। यह परिणाम सहारों शेलाह के कारण है, जिन्होंने स्थिरता और सुपरस्टेबिलिटी को भी परिभाषित किया।

गणनीय सिद्धांतों के लिए स्थिरता स्पेक्ट्रम प्रमेय

प्रमेय. प्रत्येक गणनीय पूर्ण प्रथम-क्रम सिद्धांत टी निम्नलिखित वर्गों में से एक में आता है:

• T सभी अनंत कार्डिनल्स के लिए λ में स्थिर है λ—T पूरी तरह से पारलौकिक है।
• T λ ≥ 2 वाले सभी कार्डिनल λ के लिए λ में स्थिर है^ω—T सुपरस्टेबल है लेकिन पूरी तरह से ट्रान्सेंडैंटल नहीं है।
• टी उन सभी कार्डिनल्स के लिए λ में स्थिर है जो λ = λ को संतुष्ट करते हैं^ω—T स्थिर है लेकिन सुपरस्टेबल नहीं है।
• T किसी अनंत कार्डिनल में स्थिर नहीं है λ—T अस्थिर है।

तीसरे मामले में λ पर शर्त λ = κ रूप के कार्डिनल्स के लिए लागू होती है^ω, लेकिन सहअंतिमता ω के कार्डिनल्स λ के लिए नहीं (क्योंकि λ<λ^{cof λ}).

पूर्णतः पारलौकिक सिद्धांत

Main article: Totally transcendental theory

एक पूर्ण प्रथम-क्रम सिद्धांत टी को 'पूरी तरह से ट्रान्सेंडैंटल' कहा जाता है यदि प्रत्येक सूत्र ने मॉर्ले रैंक को सीमित कर दिया है, यानी यदि टी के मॉडल में पैरामीटर के साथ प्रत्येक सूत्र φ (x) के लिए RM (φ) < ∞, जहां x चर का एक समूह हो सकता है। यह जांचने के लिए पर्याप्त है कि RM(x=x) < ∞, जहां x एक एकल चर है।

गणनीय सिद्धांतों के लिए कुल पारगमन ω में स्थिरता के बराबर है, और इसलिए गणनीय पूर्णतः पारलौकिक सिद्धांतों को संक्षिप्तता के लिए अक्सर 'ω-स्थिर' कहा जाता है। एक पूरी तरह से पारलौकिक सिद्धांत प्रत्येक λ ≥ |T| में स्थिर है, इसलिए एक गणनीय ω-स्थिर सिद्धांत सभी अनंत कार्डिनल्स में स्थिर है।

प्रत्येक मॉर्ले का श्रेणीबद्धता प्रमेय गणनीय सिद्धांत पूरी तरह से पारलौकिक है। इसमें वेक्टर रिक्त स्थान या बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों के संपूर्ण सिद्धांत शामिल हैं। परिमित मॉर्ले रैंक के समूह के सिद्धांत पूरी तरह से पारलौकिक सिद्धांतों का एक और महत्वपूर्ण उदाहरण हैं।

अतिस्थिर सिद्धांत

Main article: Superstable theory

एक पूर्ण प्रथम-क्रम सिद्धांत टी सुपरस्टेबल है यदि पूर्ण प्रकारों पर एक रैंक फ़ंक्शन होता है जिसमें अनिवार्य रूप से पूरी तरह से ट्रान्सेंडैंटल सिद्धांत में मॉर्ले रैंक के समान गुण होते हैं। प्रत्येक पूर्णतः पारलौकिक सिद्धांत अतिस्थायी है। एक सिद्धांत T सुपरस्टेबल है यदि और केवल यदि यह सभी कार्डिनल्स λ ≥ 2 में स्थिर है^|टी|.

स्थिर सिद्धांत

Main article: Stable theory

एक सिद्धांत जो एक कार्डिनल λ ≥ |T| में स्थिर है सभी कार्डिनल्स λ में स्थिर है जो λ = λ को संतुष्ट करते हैं^|टी|. इसलिए एक सिद्धांत तभी स्थिर होता है जब वह कुछ कार्डिनल λ ≥ |T| में स्थिर होता है।

अस्थिर सिद्धांत

अधिकांश गणितीय रूप से दिलचस्प सिद्धांत इस श्रेणी में आते हैं, जिनमें जटिल सिद्धांत जैसे कि जेडएफ सेट सिद्धांत का कोई भी पूर्ण विस्तार और वास्तविक बंद क्षेत्रों के सिद्धांत जैसे अपेक्षाकृत सरल सिद्धांत शामिल हैं। इससे पता चलता है कि स्थिरता स्पेक्ट्रम एक अपेक्षाकृत कुंद उपकरण है। कुछ हद तक बेहतर परिणाम प्राप्त करने के लिए कोई भी आकार ≤ λ के मॉडल पर स्टोन रिक्त स्थान की सटीक कार्डिनैलिटी को देख सकता है, न कि केवल यह पूछने के बजाय कि क्या वे अधिकतम λ हैं।

बेशुमार मामला

संभवतः बेशुमार भाषा में एक सामान्य स्थिर सिद्धांत टी के लिए, स्थिरता स्पेक्ट्रम दो कार्डिनल्स κ और λ द्वारा निर्धारित किया जाता है₀, जैसे कि T ठीक λ ≥ λ होने पर λ में स्थिर होता है₀ और λ^μ = λ सभी μ<κ के लिए। तो एल₀ सबसे छोटा अनंत कार्डिनल है जिसके लिए T स्थिर है। ये अपरिवर्तनीयताएँ असमानताओं को संतुष्ट करती हैं

• κ≤||T|⁺
• के ≤ एल₀
• एल₀ ≤ 2^|टी|
• यदि एल₀>|T|, फिर λ₀ ≥ 2^ω

कब |टी| गणनीय है, इसके स्थिरता स्पेक्ट्रम के लिए 4 संभावनाएँ इन कार्डिनल्स के निम्नलिखित मूल्यों के अनुरूप हैं:

• κ और λ₀ परिभाषित नहीं हैं: T अस्थिर है।
• λ₀ 2 है^ω, और ω है₁: T स्थिर है लेकिन अतिस्थिर नहीं है
• λ₀ 2 है^ω, κ ω है: T सुपरस्टेबल है लेकिन ω-स्टेबल नहीं है।
• एल₀ ω है, κ ω है: T पूरी तरह से पारलौकिक (या ω-स्थिर) है

यह भी देखें

• एक सिद्धांत का स्पेक्ट्रम

संदर्भ

• Poizat, Bruno (2000), A course in model theory. An introduction to contemporary mathematical logic, Universitext, New York: Springer, pp. xxxii+443, ISBN 0-387-98655-3, MR 1757487 Translated from the French
• Shelah, Saharon (1990) [1978], Classification theory and the number of nonisomorphic models, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (2nd ed.), Elsevier, ISBN 978-0-444-70260-9