रिहंद गणितीय पपीरस

Rhind Mathematical Papyrus
British Museum, London
A portion of the Rhind Papyrus
Date	Second Intermediate Period of Egypt
Place of origin	Thebes
Language(s)	Egyptian (Hieratic)
Size	First section (BM 10057 ):   · Length: 295.5 cm (116.3 in)   · Width: 32 cm (13 in) Second section (BM 10058 ):   · Length: 199.5 cm (78.5 in)   · Width: 32 cm (13 in)

रिहंद गणितीय पपीरस (आरएमपी; जिसे पपीरस ब्रिटिश संग्रहालय 10057 और पीबीएम 10058 के रूप में भी नामित किया गया है) प्राचीन मिस्र के गणित के सबसे प्रसिद्ध उदाहरणों में से एक है। इसका नाम स्कॉटलैंड के पुरातत्ववेत्ता अलेक्जेंडर हेनरी रिहिंद के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1858 में मिस्र के लक्सर में पपीरस खरीदा था; यह स्पष्ट रूप से रामेसियम में या उसके निकट अवैध उत्खनन के समय पाया गया था। यह लगभग 1550 ईसा पूर्व का है। ब्रिटिश संग्रहालय, जहां अधिकांश पपीरस अब रखा गया है, ने 1865 में मिस्र के गणितीय लेदर रोल के साथ इसे प्राप्त कर लिया, जिसका स्वामित्व भी हेनरी रिहंड के पास था। न्यूयॉर्क शहर के ब्रुकलिन संग्रहालय में कुछ छोटे टुकड़े रखे हुए हैं और एक 18 cm (7.1 in) केंद्रीय भाग गायब है. यह मॉस्को गणितीय पपीरस के साथ-साथ दो प्रसिद्ध गणितीय पेपिरस में से एक है। रिहंद पेपिरस मॉस्को गणितीय पेपिरस से बड़ा है, जबकि बाद वाला पुराना है।

रिहंद गणितीय पपीरस प्राचीन मिस्र के इतिहास के दूसरे मध्यवर्ती काल का है। इसे फिरौन अमेनेमहाट III (मिस्र के बारहवें राजवंश) के शासनकाल के अब लुप्त हो चुके पाठ से, लेखक फुसफुसाना (यानी, अहमोस; अहम्स एक पुराना प्रतिलेखन (भाषाविज्ञान) है जो गणित के इतिहासकारों द्वारा समर्थित है) द्वारा कॉपी किया गया था। यह मिस्र की पांडुलिपि पदानुक्रम लिपि में लिखी गई लम्बाई 33 cm (13 in) है और इसमें कई भाग होते हैं, जो कुल मिलाकर इसे 5 m (16 ft) लंबा बनाते हैं। 19वीं सदी के अंत में पपीरस का लिप्यंतरण और गणितीय अनुवाद किया जाने लगा। गणितीय अनुवाद पहलू कई मायनों में अधूरा है। दस्तावेज़ हिक्सोस राजा अपेपी प्रथम के वर्ष 33 का है और इसमें उनके उत्तराधिकारी खमुदी की अवधि (वर्ष 11) से इसकी संभावित डेटिंग पर एक अलग बाद का ऐतिहासिक नोट भी सम्मिलित है।

पेपिरस के प्रारंभिक पैराग्राफों में, अहम्स पेपिरस को चीजों की जांच करने के लिए सटीक गणना और सभी चीजों, रहस्यों... सभी रहस्यों का ज्ञान देने के रूप में प्रस्तुत करता है। वह आगे कहता है:

<ब्लॉकउद्धरण>इस पुस्तक को ऊपरी और निचले मिस्र के राजा अवसेरे की महिमा के अंतर्गत बाढ़ के मौसम के महीने 4 के शासनकाल में, ऊपरी राजा के समय में बनाई गई एक प्राचीन प्रतिलिपि से कॉपी किया गया था। और निचला मिस्र निमात्रे। यह प्रति लेखक अहमोस ने लिखी है। </ब्लॉककोट>

रिहंद गणितीय पपीरस के बारे में कई किताबें और लेख प्रकाशित हुए हैं, और इनमें से कुछ प्रमुख हैं।रिहंड पेपिरस को 1923 में पीट द्वारा प्रकाशित किया गया था और इसमें ग्रिफ़िथ की पुस्तक I, II और III की रूपरेखा के बाद के पाठ की चर्चा सम्मिलित है। चेस ने 1927-29 में एक सार-संग्रह प्रकाशित किया जिसमें पाठ की तस्वीरें सम्मिलित थीं। रिहंद पपीरस का एक और हालिया अवलोकन 1987 में रॉबिन्स और शुट द्वारा प्रकाशित किया गया था।

पुस्तक I - अंकगणित और बीजगणित

Main articles: रिहंद गणितीय पेपिरस 2/n तालिका and मिस्र का अंश

रिहंद पेपिरस के पहले भाग में संदर्भ तालिकाएँ और 21 अंकगणित और 20 बीजगणितीय समस्याओं का संग्रह सम्मिलित है। समस्याएं सरल भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों से प्रारंभ होती हैं, उसके बाद पूर्णता (सेकेम) समस्याएं और अधिक सम्मिलित रैखिक समीकरण (मॉस्को गणितीय पेपिरस#अहा समस्याएं) आती हैं।

पपीरस का पहला भाग रिहंद गणितीय पपीरस 2/n तालिका द्वारा लिया गया है। 3 से 101 तक के विषम n के लिए भिन्न 2/n को मिस्री भिन्न के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, $2/15=1/10+1/30$. उदाहरण के लिए, इकाई भिन्नों में 2/n का अपघटन कभी भी 4 पदों से अधिक $2/101=1/101+1/202+1/303+1/606$ नहीं होता है।

इस तालिका के बाद 1 से 9 तक की संख्याओं को 10 से विभाजित करने के लिए भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों की एक बहुत छोटी, छोटी तालिका दी गई है। उदाहरण के लिए 7 से 10 का विभाजन इस प्रकार दर्ज किया गया है:

7 को 10 से विभाजित करने पर 2/3 + 1/30 प्राप्त होता है

इन दो तालिकाओं के बाद, पेपिरस कुल मिलाकर 91 समस्याओं को दर्ज करता है, जिन्हें आधुनिक लोगों ने समस्या (या संख्या) 1-87 के रूप में नामित किया है, जिसमें चार अन्य आइटम भी सम्मिलित हैं जिन्हें समस्या 7b, 59b, 61b और 82b के रूप में नामित किया गया है। समस्याएँ 1-7, 7b और 8-40 अंकगणित और प्रारंभिक बीजगणित से संबंधित हैं।

समस्या 1-6 10 आदमियों द्वारा एक निश्चित संख्या में रोटियों के विभाजन की गणना करें और परिणाम को इकाई अंशों में रिकॉर्ड करें। समस्याएँ 7-20 दिखाती हैं कि भाव 1 + 1/2 + 1/4 = 7/4, और 1 + 2/3 + 1/3 = 2 को विभिन्न भिन्नों से कैसे गुणा किया जाए।

समस्याएँ 21-23 पूर्णता की समस्याएँ हैं, जो आधुनिक संकेतन में केवल घटाव की समस्याएँ हैं। समस्याएँ 24-34 अहा समस्याएँ हैं; ये रैखिक समीकरण हैं. उदाहरण के लिए, समस्या 32 (आधुनिक संकेतन में) x के लिए x + 1/3 x + 1/4 x = 2 को हल करने से मेल खाती है। समस्या 35-38 में हेकाट के विभाजन सम्मिलित हैं, जो आयतन की माप की एक प्राचीन मिस्र इकाई है। इस बिंदु से प्रारंभ होकर, पेपिरस के शेष भाग में माप की मिश्रित इकाइयाँ बहुत अधिक महत्वपूर्ण हो जाती हैं, और वास्तव में शेष पेपिरस में एक प्रमुख विचार आयामी विश्लेषण है। समस्या 39 और 40 रोटियों के विभाजन की गणना करते हैं और अंकगणितीय प्रगति का उपयोग करते हैं।

पुस्तक II - ज्यामिति

रिहंद पपीरस का एक भाग

राइंड पपीरस का दूसरा भाग, समस्याएँ 41-59, 59बी और 60 होने के कारण, इसमें ज्यामिति की समस्याएँ सम्मिलित हैं। पीट ने इन समस्याओं को मासिक धर्म संबंधी समस्याएं कहा।

वॉल्यूम

समस्याएँ 41-46 दर्शाती हैं कि बेलनाकार और आयताकार दोनों प्रकार के अन्न भंडारों का आयतन कैसे ज्ञात किया जाए। समस्या 41 में अहम्स एक बेलनाकार अन्न भंडार की मात्रा की गणना करता है। व्यास d और ऊँचाई h को देखते हुए, आयतन V इस प्रकार दिया गया है:

$V=\left[\right(1-1/9\left)d\right]^{2}h$

आधुनिक गणितीय संकेतन में (और d = 2r का उपयोग करके) यह $V=(8/9)^{2}d^{2}h=(256/81)r^{2}h$ प्राप्त होता है। भिन्नात्मक पद 256/81 π के मान को 3.1605... के रूप में अनुमानित करता है, जो एक प्रतिशत से कम की त्रुटि है।

समस्या 47 भिन्नात्मक समानताओं वाली एक तालिका है जो उन दस स्थितियों का प्रतिनिधित्व करती है जहां 100 चौगुनी हेकाट की भौतिक मात्रा मात्रा को दस से एक सौ तक, दस के प्रत्येक गुणज से विभाजित किया जाता है। भागफल को होरस की आँख के अंशों के रूप में व्यक्त किया जाता है, कभी-कभी आयतन की एक बहुत छोटी इकाई का उपयोग भी किया जाता है जिसे चौगुनी आरओ के रूप में जाना जाता है। चौगुनी हेकाट और चौगुनी आरओ सरल हेकाट और आरओ से प्राप्त आयतन की इकाइयाँ हैं, जैसे कि आयतन की ये चार इकाइयाँ निम्नलिखित संबंधों को संतुष्ट करती हैं: 1 चौगुनी हेकाट = 4 हेकाट = 1280 आरओ = 320 चौगुनी ro। इस प्रकार,

100/10 चौगुना हेकाट = 10 चौगुना हेकाट

100/20 चौगुना हेकाट = 5 चौगुना हेकाट

100/30 चौगुना हेकाट = (3 + 1/4 + 1/16 + 1/64) चौगुना हेकाट + (1 + 2/3) चौगुना ro

100/40 चौगुना हेकाट = (2 + 1/2) चौगुना हेकाट

100/50 चौगुना हेकाट = 2 चौगुना हेकाट

100/60 चौगुना हेकाट = (1 + 1/2 + 1/8 + 1/32) चौगुना हेकाट + (3 + 1/3) चौगुना आरओ

100/70 चौगुना हेकाट = (1 + 1/4 + 1/8 + 1/32 + 1/64) चौगुना हेकाट + (2 + 1/14 + 1/21 + 1/42) चौगुना आरओ

100/80 चौगुना हेकाट = (1 + 1/4) चौगुना हेकाट

100/90 चौगुना हेकाट = (1 + 1/16 + 1/32 + 1/64) चौगुना हेकाट + (1/2 + 1/18) चौगुना आरओ

100/100 चौगुना हेकाट = 1 चौगुना हेकाट

क्षेत्र

समस्याएँ 48-55 दिखाती हैं कि क्षेत्रों के वर्गीकरण की गणना कैसे करें। समस्या 48 इस मायने में उल्लेखनीय है कि यह Pi|π का अनुमान लगाकर डिस्क के क्षेत्रफल की संक्षेप में गणना करती है। विशेष रूप से, समस्या 48 स्पष्ट रूप से इस परंपरा को पुष्ट करती है (ज्यामिति अनुभाग में प्रयुक्त) कि एक वृत्त का क्षेत्रफल 64/81 के अनुपात में उसके परिबद्ध वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर होता है। समान रूप से, पपीरस π को 256/81 के रूप में अनुमानित करता है, जैसा कि समस्या 41 के स्पष्टीकरण में पहले ही ऊपर उल्लेख किया गया था।

अन्य समस्याएं दिखाती हैं कि आयतों, त्रिभुजों और समलम्ब चतुर्भुजों का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए।

पिरामिड

अंतिम छह समस्याएं पिरामिडों की ढलानों से संबंधित हैं। दूसरी समस्या इस प्रकार बताई गई है:: यदि एक पिरामिड 250 हाथ ऊंचा है और उसके आधार की भुजा 360 हाथ लंबी है, तो उसका रहस्य क्या है?

समस्या का समाधान पिरामिड के आधार के आधे भाग और उसकी ऊंचाई के अनुपात या उसके चेहरे के रन-टू-राइज़ अनुपात के रूप में दिया गया है। दूसरे शब्दों में, सेकेड के लिए पाई गई मात्रा पिरामिड के आधार और उसके चेहरे के कोण का कोटैंजेंट है।

पुस्तक III - विविध

रिहंद पपीरस के तीसरे भाग में शेष 91 समस्याएं सम्मिलित हैं, जो 61, 61बी, 62-82, 82बी, 83-84, और संख्या 85-87 हैं, जो ऐसी वस्तुएं हैं जो प्रकृति में गणितीय नहीं हैं। इस अंतिम खंड में डेटा की अधिक जटिल तालिकाएँ सम्मिलित हैं (जिसमें अधिकांशतः होरस नेत्र अंश सम्मिलित होते हैं), कई पेफ़्सू समस्याएं जो भोजन की तैयारी से संबंधित प्राथमिक बीजगणितीय समस्याएं हैं, और यहां तक ​​​​कि एक मनोरंजक समस्या (79) जो ज्यामितीय प्रगति, ज्यामितीय श्रृंखला और निश्चित का संकेत देती है इतिहास में बाद की समस्याएँ और पहेलियाँ। समस्या 79 स्पष्ट रूप से उद्धृत करती है, सात घर, 49 बिल्लियाँ, 343 चूहे, 2401 वर्तनी के कान, 16807 हेकाट। विशेष रूप से समस्या 79 एक ऐसी स्थिति से संबंधित है जिसमें 7 घरों में से प्रत्येक में सात बिल्लियाँ हैं, जो सभी सात चूहे खाती हैं, जिनमें से प्रत्येक ने सात बाल अनाज खाया होगा, जिनमें से प्रत्येक ने सात माप अनाज उत्पन किया होगा। रिहंद पपीरस का तीसरा भाग इसलिए एक प्रकार का विविध है, जो पहले ही प्रस्तुत किया जा चुका है।

समस्या 61 भिन्नों के गुणन से संबंधित है। इस बीच, समस्या 61बी, 1/एन के 2/3 की गणना के लिए एक सामान्य अभिव्यक्ति देती है, जहां एन विषम है। आधुनिक संकेतन में सूत्र दिया गया है

${\frac {2}{3n}}={\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n}}$

61b में दी गई तकनीक 2/n तालिका की व्युत्पत्ति से निकटता से संबंधित है।

समस्याएँ 62-68 बीजगणितीय प्रकृति की सामान्य समस्याएँ हैं। समस्याएँ 69-78 किसी न किसी रूप में सभी पेफ़सू समस्याएँ हैं। इनमें ब्रेड और बीयर की ताकत के साथ-साथ उनके उत्पादन में उपयोग किए जाने वाले कुछ कच्चे माल के संबंध में गणना सम्मिलित है।

समस्या 79 में ज्यामितीय अनुक्रम में पाँच पदों का योग है। इसकी भाषा दृढ़ता से अधिक आधुनिक पहेली और नर्सरी कविता का संकेत देती है क्योंकि मैं सेंट इवेस जा रहा था। समस्याएँ 80 और 81 हिनू (या हेकैट्स) के होरस नेत्र अंशों की गणना करती हैं। अंतिम चार गणितीय आइटम, समस्या 82, 82b और 83-84, मुर्गी और बैल जैसे विभिन्न जानवरों के लिए आवश्यक फ़ीड की मात्रा की गणना करते हैं। चुकीं, ये समस्याएँ, विशेष रूप से 84, व्यापक अस्पष्टता, भ्रम और सरल अशुद्धि से ग्रस्त हैं।

राइंड पपीरस पर अंतिम तीन वस्तुओं को समस्याओं के विपरीत संख्या 85-87 के रूप में निर्दिष्ट किया गया है, और वे पपीरस के पीछे की ओर, या इसके विपरीत, व्यापक रूप से बिखरे हुए हैं। वे, क्रमशः, एक छोटा वाक्यांश हैं जो दस्तावेज़ को समाप्त करता है (और अनुवाद के लिए कुछ संभावनाएं हैं, नीचे दी गई हैं), दस्तावेज़ के मुख्य भाग से असंबंधित स्क्रैप पेपर का एक टुकड़ा, जिसका उपयोग इसे एक साथ रखने के लिए किया जाता है (फिर भी इसमें शब्द और मिस्र के अंश सम्मिलित हैं) जो अब तक दस्तावेज़ के पाठक से परिचित हैं), और एक छोटा ऐतिहासिक नोट जिसके बारे में माना जाता है कि इसे पपीरस के लेखन के पूरा होने के कुछ समय बाद लिखा गया था। ऐसा माना जाता है कि यह नोट हिक्सोस वर्चस्व के समय की घटनाओं का वर्णन करता है, जो प्राचीन मिस्र के समाज में बाहरी रुकावट की अवधि थी जो इसके दूसरे मध्यस्थ काल से निकटता से संबंधित है। इन गैर-गणितीय लेकिन ऐतिहासिक और भाषाशास्त्रीय रूप से दिलचस्प इरेटा के साथ, पेपिरस का लेखन समाप्त हो जाता है।

इकाई अनुरूपता

रिहंद पपीरस की अधिकांश सामग्री माप की प्राचीन मिस्र इकाइयों और विशेष रूप से उनके बीच रूपांतरण के लिए उपयोग किए जाने वाले आयामी विश्लेषण से संबंधित है। पेपिरस में उपयोग की जाने वाली माप की इकाइयों का एक संयोजन छवि में दिया गया है।

रिहंद पपीरस में उपयोग की जाने वाली माप की इकाइयाँ।

सामग्री

यह तालिका एक संक्षिप्त आधुनिक व्याख्या के माध्यम से रिहंद पपीरस की सामग्री का सारांश प्रस्तुत करती है। यह पपीरस की दो-खंड प्रदर्शनी पर आधारित है जिसे 1927 में अर्नोल्ड बफम चेस और 1929 में प्रकाशित किया गया था। सामान्य तौर पर, पपीरस में चार खंड होते हैं: एक शीर्षक पृष्ठ, 2/n तालिका, एक छोटी 1-9/10 तालिका, और 91 समस्याएं, या संख्याएं। उत्तरार्द्ध को 1 से 87 तक क्रमांकित किया गया है और इसमें चार गणितीय आइटम सम्मिलित हैं जिन्हें आधुनिक लोगों द्वारा समस्या 7b, 59b, 61b और 82b के रूप में नामित किया गया है। इस बीच, संख्या 85-87, दस्तावेज़ के मुख्य भाग का भाग बनने वाली गणितीय वस्तुएं नहीं हैं, बल्कि इसके अतिरिक्त क्रमशः हैं: दस्तावेज़ को समाप्त करने वाला एक छोटा वाक्यांश, दस्तावेज़ को एक साथ रखने के लिए प्रयोग किया जाने वाला स्क्रैप-पेपर का एक टुकड़ा (जिसमें पहले से ही असंबंधित लेखन सम्मिलित है) ), और एक ऐतिहासिक नोट जो पपीरस के शरीर के पूरा होने के तुरंत बाद की समय अवधि का वर्णन करता है। ये तीन उत्तरार्द्ध आइटम पपीरस के सही या गलत (पीछे की ओर) के असमान क्षेत्रों पर लिखे गए हैं, जो गणितीय सामग्री से बहुत दूर हैं। इसलिए चेस अन्य 88 क्रमांकित वस्तुओं की तरह, उन्हें समस्याओं के विपरीत संख्याओं के रूप में स्टाइल करके अलग करता है।

Section or Problem Numbers	Statement of Problem, or Description	Solution, or Description	Notes
शीर्षक पेज	अहम्स अपनी और अपनी ऐतिहासिक परिस्थितियों की पहचान करता है।	"सटीक गणना। सभी वर्तमान चीजों और सभी अस्पष्ट रहस्यों के ज्ञान में प्रवेश। इस पुस्तक की प्रतिलिपि वर्ष 33 में, बाढ़ के मौसम के चौथे महीने में, ऊपरी और निचले मिस्र के राजा की महिमा के तहत बनाई गई थी, 'ए -यूज़र-रे', जीवन से संपन्न, ऊपरी और निचले मिस्र के राजा, ने-मा'एट-रे' के समय में बने पुराने लेखों की समानता में। यह लेखक अहम्स हैं जो इस लेखन की प्रतिलिपि बनाते हैं।"	शीर्षक पृष्ठ से यह स्पष्ट है कि अहम्स अपने स्वयं के काल की पहचान करता है, साथ ही पुराने पाठ या ग्रंथों की अवधि की भी पहचान करता है, जिनसे उसने नकल की है, जिससे रिहंद पेपिरस का निर्माण होता है। पपीरस में दोनों तरफ सामग्री लिखी हुई है - यानी, इसका रेक्टो और वर्सो। विवरण के लिए चित्र देखें.
2/n तालिका	2/3 से 2/101 तक (जहाँ हर सदैव विषम होता है) प्रत्येक भागफल को मिस्री भिन्न के रूप में व्यक्त करें।	इस अनुभाग के सारांश और समाधान के लिए रिहंद गणितीय पेपिरस 2/n तालिका लेख देखें।	पूरे पपीरस में, अधिकांश समाधान किसी दिए गए वास्तविक संख्या के विशिष्ट मिस्री भिन्नात्मक निरूपण के रूप में दिए गए हैं। चूँकि, चूंकि प्रत्येक सकारात्मक परिमेय संख्या में मिस्र के अंश के रूप में अनंत रूप से कई प्रतिनिधित्व होते हैं, इसलिए ये समाधान अद्वितीय नहीं होते हैं। यह भी ध्यान रखें कि भिन्न 2/3 एकल अपवाद है, जिसका उपयोग पूर्णांकों के अतिरिक्त किया जाता है, जिसे अहम्स मिस्र के भिन्नों को व्यक्त करने के लिए सभी (सकारात्मक) तर्कसंगत इकाई अंशों के साथ उपयोग करता है। कहा जा सकता है कि 2/n तालिका 2/n को 2 पदों के मिस्री अंश के रूप में व्यक्त करने के लिए आंशिक रूप से एक एल्गोरिदम (समस्या 61बी देखें) का पालन करती है, जब एन समग्र है। चूँकि, यह नवेली एल्गोरिथ्म कई स्थितियों में किनारे कर दिया जाता है जब n अभाज्य होता है। इसलिए, 2/n तालिका के लिए समाधान की विधि, केवल अंकगणित ही नहीं, बल्कि संख्या सिद्धांत के प्रारंभ का भी सुझाव देती है।
1–9/10 तालिका	1/10 से 9/10 तक के भागफल को मिस्री भिन्नों के रूप में लिखें।	${\frac {1}{10}}={\frac {1}{10}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {2}{10}}={\frac {1}{5}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {3}{10}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{10}}$ ${\frac {4}{10}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{15}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {5}{10}}={\frac {1}{2}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {6}{10}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}$ ${\frac {7}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{30}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {8}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{30}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {9}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{30}}$
समस्याएँ 1–6	1, 2, 6, 7, 8 और 9 रोटियाँ (क्रमशः, प्रत्येक समस्या में) 10 आदमियों के बीच बाँटी जाती हैं। प्रत्येक स्थिति में, प्रत्येक व्यक्ति के हिस्से के पाव को मिस्र के अंश के रूप में निरूपित करें।	${\frac {1}{10}}={\frac {1}{10}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {2}{10}}={\frac {1}{5}}$ ${\frac {6}{10}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {7}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{30}}$ ${\frac {8}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{30}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {9}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{30}}$	पपीरस की पहली छह समस्याएं 1-9/10 तालिका में पहले से लिखी गई जानकारी की सरल पुनरावृत्ति हैं, अब कहानी की समस्याओं के संदर्भ में।
7, 7B, 8–20	माना $S=1+1/2+1/4={\frac {7}{4}}$ और $T=1+2/3+1/3=2$. फिर निम्नलिखित गुणन के लिए गुणनफल को मिस्री भिन्न के रूप में लिखें।	$7:{\bigg (}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{28}}{\bigg )}S={\frac {1}{2}}\;\;\;;\;\;\;7B:{\bigg (}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{28}}{\bigg )}S={\frac {1}{2}}\;\;\;;\;\;\;8:{\frac {1}{4}}T={\frac {1}{2}}$ $9:{\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{14}}{\bigg )}S=1\;\;\;;\;\;\;10:{\bigg (}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{28}}{\bigg )}S={\frac {1}{2}}\;\;\;;\;\;\;11:{\frac {1}{7}}S={\frac {1}{4}}$ $12:{\frac {1}{14}}S={\frac {1}{8}}\;\;\;;\;\;\;13:{\bigg (}{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{112}}{\bigg )}S={\frac {1}{8}}\;\;\;;\;\;\;14:{\frac {1}{28}}S={\frac {1}{16}}$ $15:{\bigg (}{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{224}}{\bigg )}S={\frac {1}{16}}\;\;\;;\;\;\;16:{\frac {1}{2}}T=1\;\;\;;\;\;\;17:{\frac {1}{3}}T={\frac {2}{3}}$ $18:{\frac {1}{6}}T={\frac {1}{3}}\;\;\;;\;\;\;19:{\frac {1}{12}}T={\frac {1}{6}}\;\;\;;\;\;\;20:{\frac {1}{24}}T={\frac {1}{12}}$	इन सभी समस्याओं में वही दो गुणक (यहाँ S और T के रूप में दर्शाए गए हैं) लगातार उपयोग किए जाते हैं। अहम्स प्रभावी रूप से एक ही समस्या को तीन बार (7, 7बी, 10) लिखता है, कभी-कभी अलग-अलग अंकगणितीय कार्यों के साथ एक ही समस्या का समाधान करता है।
21–38	चर $x$ वाले निम्नलिखित प्रत्येक रैखिक समीकरण के लिए, $x$ को हल करें और $x$ को मिस्री भिन्न के रूप में व्यक्त करें।	$21:{\bigg (}{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{15}}{\bigg )}+x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{15}}$ $22:{\bigg (}{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{30}}{\bigg )}+x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{10}}$ $23:{\bigg (}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{45}}{\bigg )}+x={\frac {2}{3}}\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{9}}+{\frac {1}{40}}$ $24:x+{\frac {1}{7}}x=19\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=16+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}$ $25:x+{\frac {1}{2}}x=16\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=10+{\frac {2}{3}}$ $26:x+{\frac {1}{4}}x=15\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=12$ $27:x+{\frac {1}{5}}x=21\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=17+{\frac {1}{2}}$ $28:{\bigg (}x+{\frac {2}{3}}x{\bigg )}-{\frac {1}{3}}{\bigg (}x+{\frac {2}{3}}x{\bigg )}=10\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=9$ $29:{\frac {1}{3}}{\Bigg (}{\bigg (}x+{\frac {2}{3}}x{\bigg )}+{\frac {1}{3}}{\bigg (}x+{\frac {2}{3}}x{\bigg )}{\Bigg )}=10\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=13+{\frac {1}{2}}$ $30:{\bigg (}{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{10}}{\bigg )}x=10\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=13+{\frac {1}{23}}$ $31:x+{\frac {2}{3}}x+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{7}}x=33\;\;\;\rightarrow$ $x=14+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{56}}+{\frac {1}{97}}+{\frac {1}{194}}+{\frac {1}{388}}+{\frac {1}{679}}+{\frac {1}{776}}$ $32:x+{\frac {1}{3}}x+{\frac {1}{4}}x=2\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=1+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{114}}+{\frac {1}{228}}$ $33:x+{\frac {2}{3}}x+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{7}}x=37\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=16+{\frac {1}{56}}+{\frac {1}{679}}+{\frac {1}{776}}$ $34:x+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{4}}x=10\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=5+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}$ $35:{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}{\bigg )}x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{10}}$ $36:{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}{\bigg )}x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{53}}+{\frac {1}{106}}+{\frac {1}{212}}$ $37:{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}{\bigg )}x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{32}}$ $38:{\bigg (}3+{\frac {1}{7}}{\bigg )}x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{22}}+{\frac {1}{66}}$	समस्या 31 का समाधान विशेष रूप से कठिन है। चूँकि समस्याओं का विवरण 21-38 कभी-कभी जटिल लग सकता है (विशेषकर अहम्स के गद्य में), प्रत्येक समस्या अंततः एक सरल रैखिक समीकरण में बदल जाती है। कुछ मामलों में, किसी प्रकार की एक इकाई को छोड़ दिया गया है, जो इन समस्याओं के लिए अनावश्यक है। ये मामले समस्याएँ 35-38 हैं, जिनके कथन और "कार्य" में आयतन की इकाइयों का पहला उल्लेख मिलता है जिन्हें हेकाट और आरओ (जहाँ 1 हेकाट = 320 आरओ) के रूप में जाना जाता है, जो बाकी पेपिरस में प्रमुखता से दिखाई देगा। चूँकि, फिलहाल, 35-38 में उनका शाब्दिक उल्लेख और उपयोग दिखावटी है।
39	100 bread loaves will be distributed unequally among 10 men. 50 loaves will be divided equally among 4 men so that each of those 4 receives an equal share $y$, while the other 50 loaves will be divided equally among the other 6 men so that each of those 6 receives an equal share $x$. Find the difference of these two shares $y-x$ and express same as an Egyptian fraction.	$y-x=4+{\frac {1}{6}}$	समस्या 39 में, पपीरस एक से अधिक चर वाली स्थितियों पर विचार करना प्रारंभ करता है।
40	100 रोटियाँ पाँच आदमियों में बाँटी जानी हैं। पुरुषों के पाव के पांच हिस्से अंकगणितीय प्रगति में होने चाहिए, ताकि लगातार हिस्से सदैव एक निश्चित अंतर, या $\Delta$ से भिन्न हों। इसके अतिरिक्त, तीन सबसे बड़े शेयरों का योग दो सबसे छोटे शेयरों के योग के सात गुना के बराबर होना चाहिए। $\Delta$ खोजें और इसे मिस्री भिन्न के रूप में लिखें।	$\Delta =9+{\frac {1}{6}}$	समस्या 40 पपीरस के अंकगणित/बीजगणितीय खंड को समाप्त करती है, जिसके बाद ज्यामिति अनुभाग आता है। समस्या 40 के बाद, पपीरस पर रिक्त स्थान का एक बड़ा भाग भी है, जो दृश्य रूप से अनुभाग के अंत को इंगित करता है। जहां तक समस्या 40 का सवाल है, अहम्स पहले समरूप मामले पर विचार करके अपना समाधान निकालता है जहां रोटियों की संख्या 100 के विपरीत 60 है। फिर वह कहता है कि इस मामले में अंतर 5 1/2 है और सबसे छोटा हिस्सा बराबर है एक को, दूसरों को सूचीबद्ध करता है, और फिर अपना परिणाम देने के लिए अपने काम को 100 तक मापता है। यद्यपि अहम्स ने स्वयं समाधान नहीं बताया है जैसा कि यहां दिया गया है, लेकिन पांच शेयरों को सूचीबद्ध करने के लिए, 5/3 x 11/2 के गुणन द्वारा अपने पहले चरण को फिर से स्केल करने के बाद मात्रा स्पष्ट रूप से स्पष्ट है (जो वह करता है) . यह उल्लेख करना आवश्यक है कि इस समस्या को चार स्थितियों के रूप में माना जा सकता है: ए) पांच शेयरों का योग 100 तक, बी) शेयरों की सीमा सबसे छोटे से लेकर सबसे बड़े तक होती है, सी) लगातार शेयरों में निरंतर अंतर होता है और डी) तीन बड़े शेयरों का योग शेयर छोटे दो शेयरों के योग के सात गुना के बराबर है। केवल पहली तीन स्थितियों से प्रारंभ करके, कोई प्राथमिक बीजगणित का उपयोग कर सकता है और फिर विचार कर सकता है कि क्या चौथी शर्त जोड़ने से सुसंगत परिणाम मिलता है। ऐसा होता है कि एक बार जब सभी चार स्थितियाँ प्रयुक्त हो जाती हैं, तो समाधान अद्वितीय होता है। इसलिए यह समस्या रैखिक बीजगणित पर आधारित पहले की तुलना में रैखिक समीकरण को हल करने का एक अधिक विस्तृत स्थिति है।
41	Use the volume formula $V={\bigg (}d-{\frac {1}{9}}d{\bigg )}^{2}h$ $={\frac {64}{81}}d^{2}h$ to calculate the volume of a cylindrical grain silo with a diameter of 9 cubits and a height of 10 cubits. Give the answer in terms of cubic cubits. Furthermore, given the following equalities among other units of volume, 1 cubic cubit = 3/2 khar = 30 heqats = 15/2 quadruple heqats, also express the answer in terms of khar and quadruple heqats.	$V=640\;\;\;cubit^{3}$ $=960\;\;\;khar$ $=4800\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$	This problem opens up the papyrus's geometry section, and also gives its first factually incorrect result (albeit with a very good approximation of $\pi$, differing by less than one percent). Other ancient Egyptian volume units such as the quadruple heqat and the khar are later reported in this problem via unit conversion. Problem 41 is therefore also the first problem to treat significantly of dimensional analysis.
42	10 हाथ के व्यास और 10 हाथ की ऊंचाई वाले एक बेलनाकार अनाज साइलो की मात्रा की गणना करने के लिए 41 में दिए गए आयतन सूत्र और इकाई जानकारी का पुन: उपयोग करें। उत्तर घन हाथ, खार और सैकड़ों चौगुनी हेकाट के रूप में दें, जहां 400 हेकाट = 100 चौगुना हेकाट = 1 सौ-चौगुना हेकाट, सभी मिस्र के अंशों के रूप में।	$V={\bigg (}790+{\frac {1}{18}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{54}}+{\frac {1}{81}}{\bigg )}\;\;\;cubit^{3}$ $={\bigg (}1185+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{54}}{\bigg )}\;\;\;khar$ $={\bigg (}59+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{108}}{\bigg )}\;\;\;hundred\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$	समस्या 42 प्रभावी रूप से 41 की पुनरावृत्ति है, जो अंत में समान इकाई रूपांतरण करती है। हालाँकि, हालाँकि समस्या जैसा कि कहा गया है, प्रारंभ होती है, अंकगणित काफी अधिक शामिल है, और दिए गए कुछ भिन्नात्मक शब्द वास्तव में मूल दस्तावेज़ में उपस्थित नहीं हैं। हालाँकि, संदर्भ अंतराल को भरने के लिए पर्याप्त है, और इसलिए चेस ने अपने गणितीय अनुवाद (यहां दोहराया गया) में कुछ भिन्नात्मक शब्दों को जोड़ने के लिए लाइसेंस लिया है जो आंतरिक रूप से सुसंगत समाधान को जन्म देते हैं।
43	9 हाथ के व्यास और 6 हाथ की ऊंचाई के साथ एक बेलनाकार अनाज साइलो की मात्रा की गणना करने के लिए वॉल्यूम सूत्र $V={\frac {2}{3}}{\Bigg (}{\bigg (}d-{\frac {1}{9}}d{\bigg )}+{\frac {1}{3}}{\bigg (}d-{\frac {1}{9}}d{\bigg )}{\Bigg )}^{2}h$ $={\frac {2048}{2187}}d^{2}h$ का उपयोग करें, सीधे खार के मिस्र के भिन्नात्मक शब्दों में उत्तर ढूंढें, और बाद में मिस्र के चौगुनी हेकाट्स और चौगुनी आरओ के भिन्नात्मक शब्दों में उत्तर पाएं। जहां 1 चौगुना हेकाट = 4 हेकाट = 1280 ro = 320 चौगुना ro।	$V={\bigg (}455+{\frac {1}{9}}{\bigg )}\;\;\;khar$ $={\bigg (}2275+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{64}}{\bigg )}\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}2+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{36}}{\bigg )}\;\;\;quadruple\;\;\;ro$	समस्या 43 पपीरस में पहली गंभीर गणितीय गलती का प्रतिनिधित्व करती है। अहम्स (या जिस स्रोत से वह नकल कर रहा था) ने एक ही चरण में वॉल्यूम गणना और क्यूबिक क्यूबिट से खार तक इकाई रूपांतरण दोनों करने के लिए एक शॉर्टकट का प्रयास किया, ताकि प्रारंभिक में क्यूबिक क्यूबिट का उपयोग करने की आवश्यकता से बचा जा सके। परिणाम। हालाँकि, यह प्रयास (जो कि 41 और 42 में इस्तेमाल की गई प्रक्रिया के उस हिस्से के साथ भ्रमित होने के कारण विफल हो गया जिसे संभवतः 43 में इस्तेमाल करने का इरादा था, एक अलग विधि द्वारा लगातार परिणाम दे रहा था) इसके परिणामस्वरूप एक नया वॉल्यूम फॉर्मूला आया जो असंगत है (और उससे भी बदतर) 41 और 42 में प्रयुक्त सन्निकटन।
44, 45	One cubic cubit is equal to 15/2 quadruple heqats. Consider (44) a cubic grain silo with a length of 10 cubits on every edge. Express its volume $V$ in terms of quadruple heqats. On the other hand, (45) consider a cubic grain silo which has a volume of 7500 quadruple heqats, and express its edge length $l$ in terms of cubits.	$V=7500\;\;\;quadruple\;\;heqat$ $l=10\;\;\;cubit$	समस्या 45 समस्या 44 का बिल्कुल उलट है, और इसलिए उन्हें यहां एक साथ प्रस्तुत किया गया है।
46	A rectangular prism-grain silo has a volume of 2500 quadruple heqats. Describe its three dimensions $l_{1},l_{2},l_{3}$ in terms of cubits.	$l_{1}=l_{2}=10\;\;\;cubit$ $l_{3}=3+{\frac {1}{3}}\;\;\;cubit$	जैसा कि बताया गया है, इस समस्या के अनंत रूप से कई समाधान हैं, लेकिन 44 और 45 की शर्तों से निकटता से संबंधित समाधान का एक सरल विकल्प बनाया गया है।
47	100 चौगुनी हेकाट की भौतिक आयतन मात्रा को 10 से 100 तक के प्रत्येक गुणज से विभाजित करें। परिणामों को मिस्र के भिन्नात्मक शब्दों में चौगुनी हेकाट और चौगुनी आरओ में व्यक्त करें, और परिणामों को एक तालिका में प्रस्तुत करें।		समस्या 47 में, अहम्स विशेष रूप से होरस नेत्र अंशों के रूप में अंशों की अधिक विस्तृत श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करने पर जोर दे रहा है, जहाँ तक वह कर सकता है। प्रतिनिधित्व की समान प्राथमिकता के लिए समस्या 64 और 80 की तुलना करें। स्थान बचाने के लिए, "क्वाड्रपल" को छोटा करके "q" कर दिया गया है। सभी मामलों में।
48	व्यास 9 वाले वृत्त के क्षेत्रफल की तुलना उसके परिगत वर्ग के क्षेत्रफल से करें, जिसकी भुजा की लंबाई भी 9 है। वृत्त के क्षेत्रफल और वर्ग के क्षेत्रफल का अनुपात क्या है?	${\frac {64}{81}}$	समस्या 48 का कथन और समाधान एक वृत्त के क्षेत्रफल का अनुमान लगाने की इस पसंदीदा विधि को स्पष्ट रूप से स्पष्ट करता है, जिसका उपयोग पहले समस्या 41-43 में किया गया था। हालाँकि, यह ग़लत है. समस्या 48 के मूल कथन में क्षेत्र की एक इकाई का उपयोग शामिल है जिसे सेटैट के नाम से जाना जाता है, जिसे जल्द ही भविष्य की समस्याओं में और संदर्भ दिया जाएगा। फिलहाल, यह कॉस्मेटिक है।
49	One khet is a unit of length, being equal to 100 cubits. Also, a "cubit strip" is a rectangular strip-measurement of area, being 1 cubit by 100 cubits, or 100 square cubits (or a physical quantity of equal area). Consider a rectangular plot of land measuring 10 khet by 1 khet. Express its area $A$ in terms of cubit strips.	$A=1000\;\;\;cubit\;\;\;strip$	-
50	One square khet is a unit of area equal to one setat. Consider a circle with a diameter of 9 khet. Express its area $A$ in terms of setat.	$A=64\;\;\;setat$	Problem 50 is effectively a reinforcement of 48's 64/81 rule for a circle's area, which pervades the papyrus.
51	A triangular tract of land has a base of 4 khet and an altitude of 10 khet. Find its area $A$ in terms of setat.	$A=20\;\;\;setat$	The setup and solution of 51 recall the familiar formula for calculating a triangle's area, and per Chace it is paraphrased as such. However, the papyrus's triangular diagram, previous mistakes, and translation issues present ambiguity over whether the triangle in question is a right triangle, or indeed if Ahmes actually understood the conditions under which the stated answer is correct. Specifically, it is unclear whether the dimension of 10 khet was meant as an altitude (in which case the problem is correctly worked as stated) or whether "10 khet" simply refers to a side of the triangle, in which case the figure would have to be a right triangle in order for the answer to be factually correct and properly worked, as done. These problems and confusions perpetuate themselves throughout 51–53, to the point where Ahmes seems to lose understanding of what he is doing, especially in 53.
52	A trapezoidal tract of land has two bases, being 6 khet and 4 khet. Its altitude is 20 khet. Find its area $A$ in terms of setat.	$A=100\;\;\;setat$	Problem 52's issues are much the same as those of 51. The method of solution is familiar to moderns, and yet circumstances like those in 51 cast doubt over how well Ahmes or his source understood what they were doing.
53	An isosceles triangle (a tract of land, say) has a base equal to 4 1/2 khet, and an altitude equal to 14 khet. Two line segments parallel to the base further partition the triangle into three sectors, being a bottom trapezoid, a middle trapezoid, and a top (similar) smaller triangle. The line segments cut the triangle's altitude at its midpoint (7) and further at a quarter-point (3 1/2) closer to the base, so that each trapezoid has an altitude of 3 1/2 khet, while the smaller similar triangle has an altitude of 7 khet. Find the lengths $l_{1},l_{2}$ of the two line segments, where they are the shorter and the longer line segments respectively, and express them in Egyptian fractional terms of khet. Furthermore, find the areas $A_{1},A_{2},A_{3}$ of the three sectors, where they are the large trapezoid, the middle trapezoid, and the small triangle respectively, and express them in Egyptian fractional terms of setat and cubit strips. Use the fact that 1 setat = 100 cubit strips for unit conversions.	$l_{1}={\bigg (}2+{\frac {1}{4}}{\bigg )}\;\;\;khet$ $l_{2}={\bigg (}3+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}{\bigg )}\;\;\;khet$ $A_{1}={\bigg (}13+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}{\bigg )}\;\;\;setat+{\bigg (}3+{\frac {1}{8}}{\bigg )}\;\;\;cubit\;\;\;strip$ $A_{2}={\bigg (}9+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}{\bigg )}\;\;\;setat+{\bigg (}9+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}{\bigg )}\;\;\;cubit\;\;\;strip$ $A_{3}={\bigg (}7+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}{\bigg )}\;\;\;setat$	Problem 53, being more complex, is fraught with many of the same issues as 51 and 52—translation ambiguities and several numerical mistakes. In particular concerning the large bottom trapezoid, Ahmes seems to get stuck on finding the upper base, and proposes in the original work to subtract "one tenth, equal to 1 + 1/4 + 1/8 setat plus 10 cubit strips" from a rectangle being (presumably) 4 1/2 x 3 1/2 (khet). However, even Ahmes' answer here is inconsistent with the problem's other information. Happily the context of 51 and 52, together with the base, mid-line, and smaller triangle area (which are given as 4 + 1/2, 2 + 1/4 and 7 + 1/2 + 1/4 + 1/8, respectively) make it possible to interpret the problem and its solution as has been done here. The given paraphrase therefore represents a consistent best guess as to the problem's intent, which follows Chace. Ahmes also refers to the "cubit strips" again in the course of calculating for this problem, and we therefore repeat their usage here. It bears mentioning that neither Ahmes nor Chace explicitly give the area for the middle trapezoid in their treatments (Chace suggests that this is a triviality from Ahmes' point of view); liberty has therefore been taken to report it in a manner which is consistent with what Chace had thus far advanced.
54	There are 10 plots of land. In each plot, a sector is partitioned off such that the sum of the area of these 10 new partitions is 7 setat. Each new partition has equal area. Find the area $A$ of any one of these 10 new partitions, and express it in Egyptian fractional terms of setat and cubit strips.	$A={\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}{\bigg )}\;\;\;setat$ $={\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}{\bigg )}\;\;\;setat+{\bigg (}7+{\frac {1}{2}}{\bigg )}\;\;\;cubit\;\;\;strip$	-
55	There are 5 plots of land. In each plot, a sector is partitioned off such that the sum of the area of these 5 new partitions is 3 setat. Each new partition has equal area. Find the area $A$ of any one of these 5 new partitions, and express it in Egyptian fractional terms of setat and cubit strips.	$A={\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}{\bigg )}\;\;\;setat$ $={\frac {1}{2}}\;\;\;setat+10\;\;\;cubit\;\;\;strip$	-
56	1) The unit of length known as a royal cubit is (and has been, throughout the papyrus) what is meant when we simply refer to a cubit. One royal cubit, or one cubit, is equal to seven palms, and one palm is equal to four fingers. In other words, the following equalities hold: 1 (royal) cubit = 1 cubit = 7 palms = 28 fingers. 2) Consider a right regular square pyramid whose base, the square face is coplanar with a plane (or the ground, say), so that any of the planes containing its triangular faces has the dihedral angle of $\theta$ with respect to the ground-plane (that is, on the interior of the pyramid). In other words, $\theta$ is the angle of the triangular faces of the pyramid with respect to the ground. The seked of such a pyramid, then, having altitude $a$ and base edge length $b$, is defined as that physical length $S$ such that ${\frac {S}{1\;\;\;royal\;\;\;cubit}}=$ $\cot {\theta }$. Put another way, the seked of a pyramid can be interpreted as the ratio of its triangular faces' run per one unit (cubit) rise. Or, for the appropriate right triangle on a pyramid's interior having legs $a,{\frac {b}{2}}$ and the perpendicular bisector of a triangular face as the hypotenuse, then the pyramid's seked $S$ satisfies $\cot {\theta }={\frac {b}{2a}}={\frac {S}{1\;\;\;royal\;\;\;cubit}}$. Similar triangles are therefore described, and one can be scaled to the other. 3) A pyramid has an altitude of 250 (royal) cubits, and the side of its base has a length of 360 (royal) cubits. Find its seked $S$ in Egyptian fractional terms of (royal) cubits, and also in terms of palms.	$S={\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{50}}{\bigg )}\;\;\;cubit$ $={\bigg (}5+{\frac {1}{25}}{\bigg )}\;\;\;palm$	Problem 56 is the first of the "pyramid problems" or seked problems in the Rhind papyrus, 56–59, 59B and 60, which concern the notion of a pyramid's facial inclination with respect to a flat ground. In this connection, the concept of a seked suggests early beginnings of trigonometry. Unlike modern trigonometry however, note especially that a seked is found with respect to some pyramid, and is itself a physical length measurement, which may be given in terms of any physical length units. For obvious reasons however, we (and the papyrus) confine our attention to situations involving ancient Egygtian units. We have also clarified that royal cubits are used throughout the papyrus, to differentiate them from "short" cubits which were used elsewhere in ancient Egypt. One "short" cubit is equal to six palms.
57, 58	The seked of a pyramid is 5 palms and 1 finger, and the side of its base is 140 cubits. Find (57) its altitude $a$ in terms of cubits. On the other hand, (58), a pyramid's altitude is 93 + 1/3 cubits, and the side of its base is 140 cubits. Find its seked $S$ and express it in terms of palms and fingers.	$a={\bigg (}93+{\frac {1}{3}}{\bigg )}\;\;\;cubit$ $S=5\;\;\;palm+1\;\;\;finger$	Problem 58 is an exact reversal of problem 57, and they are therefore presented together here.
59, 59B	A pyramid's (59) altitude is 8 cubits, and its base length is 12 cubits. Express its seked $S$ in terms of palms and fingers. On the other hand, (59B), a pyramid's seked is five palms and one finger, and the side of its base is 12 cubits. Express its altitude $a$ in terms of cubits.	$S=5\;\;\;palm+1\;\;\;finger$ $a=8\;\;\;cubit$	Problems 59 and 59B consider a case similar to 57 and 58, ending with familiar results. As exact reversals of each other, they are presented together here.
60	If a "pillar" (that is, a cone) has an altitude of 30 cubits, and the side of its base (or diameter) has a length of 15 cubits, find its seked $S$ and express it in terms of cubits.	$S={\frac {1}{4}}\;\;\;cubit$	अहम्स इस समस्या को प्रस्तुत करने के लिए थोड़े अलग शब्दों का उपयोग करते हैं, जो अनुवाद संबंधी समस्याओं को जन्म देते हैं। हालाँकि, समस्या का समग्र संदर्भ, साथ में इसके साथ दिए गए आरेख (जो पिछले आरेखों से भिन्न है) के साथ, चेस को यह निष्कर्ष निकालने के लिए प्रेरित करता है कि एक शंकु का मतलब है। सेक्ड की धारणा को शंकु के पार्श्व फलक के लिए आसानी से सामान्यीकृत किया जाता है; इसलिए वह इन शर्तों में समस्या की रिपोर्ट करता है। समस्या 60 पपीरस के ज्यामिति अनुभाग को समाप्त करती है। इसके अतिरिक्त, यह दस्तावेज़ के रेक्टो (सामने की ओर) पर आखिरी समस्या है; इस सारांश में बाद की सभी सामग्री पेपिरस के वर्सो (पीछे की ओर) पर उपस्थित है। इस प्रकार 60 से 61 तक का संक्रमण पपीरस में एक विषयगत और भौतिक बदलाव है।
61	Seventeen multiplications are to have their products expressed as Egyptian fractions. The whole is to be given as a table.	${\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}&;&{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{18}}\\{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{18}}&;&{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{6}}={\frac {1}{12}}+{\frac {1}{36}}\\{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}&;&{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{12}}&;&{\frac {1}{12}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{24}}\\{\frac {1}{9}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {1}{18}}+{\frac {1}{54}}&;&{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{9}}={\frac {1}{18}}+{\frac {1}{54}}\\{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {1}{5}}={\frac {1}{20}}&;&{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{7}}={\frac {1}{14}}+{\frac {1}{42}}\\{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{7}}={\frac {1}{14}}&;&{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{11}}={\frac {1}{22}}+{\frac {1}{66}}\\{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{11}}={\frac {1}{33}}&;&{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{11}}={\frac {1}{22}}\\{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {1}{11}}={\frac {1}{44}}&&\\\end{bmatrix}}$	मूल दस्तावेज़ का वाक्य-विन्यास और उसका दोहराया गुणन एक अल्पविकसित समझ का संकेत देता है कि गुणन क्रमविनिमेय है।
61B	Give a general procedure for converting the product of 2/3 and the reciprocal of any (positive) odd number 2n+1 into an Egyptian fraction of two terms, e.g. ${\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{2n+1}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}$ with natural p and q. In other words, find p and q in terms of n.	$p=2(2n+1)$ $q=6(2n+1)$	समस्या 61बी, और अपघटन की जिस विधि का यह वर्णन करता है (और सुझाव देता है) वह रिहंद गणितीय पेपिरस 2/एन तालिका की गणना से निकटता से संबंधित है। विशेष रूप से, 2/एन तालिका में प्रत्येक मामले में एक हर शामिल होता है जो 3 का गुणज होता है, ऐसा कहा जा सकता है कि वह 61बी के उदाहरण का अनुसरण करता है। 61बी का कथन और समाधान भी एक व्यापकता का सूचक है जो पेपिरस की बाकी अधिकांश ठोस समस्याओं में नहीं है। इसलिए यह बीजगणित और एल्गोरिदम दोनों के प्रारंभिक सुझाव का प्रतिनिधित्व करता है।
62	A bag of three precious metals, gold, silver and lead, has been purchased for 84 sha'ty, which is a monetary unit. All three substances weigh the same, and a deben is a unit of weight. 1 deben of gold costs 12 sha'ty, 1 deben of silver costs 6 sha'ty, and 1 deben of lead costs 3 sha'ty. Find the common weight $W$ of any of the three metals in the bag.	$W=4\;\;\;deben$	समस्या 62 एक विभाजन समस्या बन जाती है जिसमें थोड़ा आयामी विश्लेषण शामिल होता है। मानक भार से युक्त इसका सेटअप समस्या को सरल बना देता है।
63	700 loaves are to be divided unevenly among four men, in four unequal, weighted shares. The shares will be in the respective proportions ${\frac {2}{3}}:{\frac {1}{2}}:{\frac {1}{3}}:{\frac {1}{4}}$. Find each share.	$266+{\frac {2}{3}}$ $200$ $133+{\frac {1}{3}}$ $100$	-
64	दस हेकाट जौ को अंकगणितीय प्रगति में दस पुरुषों के बीच वितरित किया जाना है, ताकि लगातार पुरुषों के हिस्से में 1/8 हेकाट का अंतर हो। दस शेयर ढूंढें और उन्हें हेकाट के मिस्र के भिन्नात्मक शब्दों में अवरोही क्रम में सूचीबद्ध करें।	${\bigg (}1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}1+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}1+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$	समस्या 64, 40 का एक प्रकार है, जिसमें इस बार सम संख्या में अज्ञात शामिल हैं। मिस्र के भिन्नों के अतिरिक्त त्वरित आधुनिक संदर्भ के लिए, शेयर 25/16 से लेकर 7/16 तक होते हैं, जहां अंश लगातार विषम संख्याओं से घटता है। शब्द होरस नेत्र अंश के रूप में दिए गए हैं; इसके बारे में अधिक जानने के लिए समस्या 47 और 80 की तुलना करें।
65	100 रोटियाँ दस आदमियों के बीच असमान रूप से बाँटी जानी हैं। सात आदमियों को एक-एक हिस्सा मिलता है, जबकि अन्य तीन आदमी, एक नाविक, एक फोरमैन और एक द्वारपाल होने के नाते, प्रत्येक को दोगुना हिस्सा मिलता है। इन दो शेयर राशियों में से प्रत्येक को मिस्र के अंशों के रूप में व्यक्त करें।	$7+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{39}}$ $15+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{78}}$	-
66	याद रखें कि हेक़ैट आयतन की एक इकाई है और एक हेक़ैट 320 आरओ के बराबर है। एक व्यक्ति को एक वर्ष (365 दिन) के दौरान समान मात्रा के दैनिक भत्ते में 10 हेकाट वसा वितरित की जाती है। भत्ते को $a$ हेकाट और आरओ के संदर्भ में मिस्र के अंश के रूप में व्यक्त करें।	$a={\frac {1}{64}}\;\;\;heqat+{\bigg (}3+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{2190}}{\bigg )}\;\;\;ro$	समस्या 66 अपने मूल रूप में स्पष्ट रूप से बताती है कि एक वर्ष 365 दिनों के बराबर है, और इसकी गणना के लिए बार-बार संख्या 365 का उपयोग करता है। इसलिए यह वर्ष की प्राचीन मिस्र समझ का प्राथमिक ऐतिहासिक साक्ष्य है।
67	एक चरवाहे के पास जानवरों का एक झुंड था, और उसे अपने झुंड का एक हिस्सा कर के रूप में एक स्वामी को देना पड़ता था। चरवाहे से कहा गया कि वह अपने मूल झुण्ड का दो-तिहाई हिस्सा कर के रूप में दे। चरवाहे ने 70 जानवर दिये। चरवाहे के मूल झुंड का आकार ज्ञात कीजिए।	$315$	-
68	चार ओवरसियर पुरुषों के चार दल के प्रभारी हैं, जिनमें क्रमशः 12, 8, 6 और 4 पुरुष हैं। प्रत्येक क्रूमैन एक एकल कार्य-उत्पाद का उत्पादन करने के लिए, परिवर्तनीय दर पर काम करता है: अनाज का उत्पादन (बीनना, कहना)। समय के कुछ अंतराल पर काम करते हुए, इन चार गिरोहों ने सामूहिक रूप से 100 इकाइयाँ, या 100 चौगुनी हेकाट अनाज का उत्पादन किया, जहाँ प्रत्येक दल का कार्य-उत्पाद प्रत्येक दल के पर्यवेक्षक को दिया जाएगा। Express each crew's output $O_{12},O_{8},O_{6},O_{4}$ in terms of quadruple heqat.	$O_{12}=40\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$ $O_{8}=26+{\frac {2}{3}}\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$ $O_{6}=20\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$ $O_{4}=13+{\frac {1}{3}}\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$	-
69	1) खाना पकाने और भोजन तैयार करने पर विचार करें। मान लीजिए कि खाना पकाने का एक मानकीकृत तरीका है, या एक उत्पादन प्रक्रिया है, जो मात्रा इकाइयों, विशेष रूप से कच्चे खाद्य-सामग्री (विशेष रूप से, कुछ कच्चे खाद्य-सामग्री) की मात्रा लेगी और कुछ तैयार खाद्य उत्पाद की इकाइयों का उत्पादन करेगी। (एक) कच्चे खाद्य-सामग्री के संबंध में (एक) तैयार खाद्य उत्पाद का पेफ्सु $P$, कच्चे खाद्य सामग्री के ठीक एक हेक्टेयर से उत्पन्न तैयार खाद्य उत्पाद इकाइयों $p$ की मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है। दूसरे शब्दों में, $P={\frac {p\;\;\;finished\;\;\;unit}{1\;\;\;heqat_{raw\;\;\;material}}}$. 2) 3 + 1/2 heqats of meal produce 80 loaves of bread. Find the meal per loaf $m$ in heqats and ro, and find the pefsu $P$ of these loaves with respect to the meal. Express them as Egyptian fractions.	$m={\frac {1}{32}}\;\;\;heqat+4\;\;\;ro$ $P={\bigg (}22+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{21}}{\bigg )}{\frac {loaf}{heqat_{meal}}}$	समस्या 69 भोजन की तैयारी के संदर्भ में "पेफ्सू" समस्या, 69-78 से प्रारंभ होती है। पेफ़सू की धारणा दुर्घटनाओं, बर्बादी आदि के बिना कुछ मानकीकृत उत्पादन प्रक्रिया मानती है, और केवल एक मानकीकृत तैयार खाद्य उत्पाद के एक विशेष कच्चे माल के संबंध से संबंधित है। अर्थात्, पेफ़्सू का उत्पादन समय, या (किसी एक मामले में) अन्य कच्चे माल या उपकरण का उत्पादन प्रक्रिया से संबंध आदि जैसे मामलों से तुरंत संबंध नहीं है। फिर भी, पेफ़्सू की धारणा अमूर्तता का एक और संकेत है पपीरस में, किसी खाद्य उत्पाद (या उस मामले के लिए तैयार माल) और कच्चे माल के बीच किसी भी द्विआधारी संबंध पर लागू होने में सक्षम। इस प्रकार पेफ्सू में जो अवधारणाएँ शामिल हैं वे विनिर्माण की विशिष्ट हैं।
70	(7 + 1/2 + 1/4 + 1/8) heqats of meal produce 100 loaves of bread. Find the meal per loaf $m$ in heqats and ro, and find the pefsu $P$ of these loaves with respect to the meal. Express them as Egyptian fractions.	$m={\bigg (}{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}{\bigg )}\;\;\;heqat+{\frac {1}{5}}\;\;\;ro$ $P={\bigg (}12+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{126}}{\bigg )}{\frac {loaf}{heqat_{meal}}}$	-
71	1/2 heqats of besha, a raw material, produces exactly one full des-measure (glass) of beer. Suppose that there is a production process for diluted glasses of beer. 1/4 of the glass just described is poured out, and what has just been poured out is captured and re-used later. This glass, which is now 3/4 full, is then diluted back to capacity with water, producing exactly one full diluted glass of beer. Find the pefsu $P$ of these diluted beer glasses with respect to the besha as an Egyptian fraction.	$P={\bigg (}2+{\frac {2}{3}}{\bigg )}{\frac {des-measure}{heqat_{besha}}}$	Problem 71 describes intermediate steps in a production process, as well as a second raw material, water. These are irrelevant to the relationship between the finished unit and the raw material (besha in this case).
72	100 bread loaves "of pefsu 10" are to be evenly exchanged for $x$ loaves "of pefsu 45". Find $x$.	$x=450$	अब जब पेफ्सू की अवधारणा स्थापित हो गई है, तो समस्या 72-78 विभिन्न पेफ्सू वाले तैयार खाद्य पदार्थों के विभिन्न ढेरों के आदान-प्रदान का भी पता लगाती है। हालाँकि, सामान्य तौर पर, वे किसी प्रकार का सामान्य कच्चा माल मानते हैं। विशेष रूप से, पूरे 72-78 में ग्रहण किए गए सामान्य कच्चे माल को वेडिएट आटा कहा जाता है, जिसे बियर के उत्पादन में भी शामिल किया जाता है, ताकि बाद की समस्याओं में बियर को रोटी के बदले बदला जा सके। 74 के मूल कथन में "ऊपरी मिस्र जौ" का भी उल्लेख है, लेकिन हमारे उद्देश्यों के लिए यह कॉस्मेटिक है। तो फिर, 72-78 जो समस्याएं बताता है, वह वास्तव में यह है: तैयार भोजन की दो अलग-अलग इकाइयों का उत्पादन करने के लिए, दो अलग-अलग उत्पादन प्रक्रियाओं में कच्चे माल की समान मात्रा का उपयोग किया जाता है, जहां प्रत्येक प्रकार का एक अलग पेफ्सू होता है। दो तैयार भोजन इकाइयों में से एक दी जाती है। दूसरे को खोजें. इसे दोनों इकाइयों (ज्ञात और अज्ञात) को उनके संबंधित पेफ्सु द्वारा विभाजित करके पूरा किया जा सकता है, जहां तैयार भोजन की इकाइयां आयामी विश्लेषण में गायब हो जाती हैं, और केवल उसी कच्चे माल पर विचार किया जाता है। तब कोई आसानी से x को हल कर सकता है। इसलिए 72-78 में वास्तव में आवश्यकता है कि x दिया जाए ताकि दो अलग-अलग उत्पादन प्रक्रियाओं में समान मात्रा में कच्चे माल का उपयोग किया जा सके।
73	100 bread loaves of pefsu 10 are to be evenly exchanged for $x$ loaves of pefsu 15. Find $x$.	$x=150$	-
74	1000 bread loaves of pefsu 5 are to be divided evenly into two heaps of 500 loaves each. Each heap is to be evenly exchanged for two other heaps, one of $x$ loaves of pefsu 10, and the other of $y$ loaves of pefsu 20. Find $x$ and $y$.	$x=1000$ $y=2000$	-
75	155 bread loaves of pefsu 20 are to be evenly exchanged for $x$ loaves of pefsu 30. Find $x$.	$x=232+{\frac {1}{2}}$	-
76	1000 bread loaves of pefsu 10, one heap, will be evenly exchanged for two other heaps of loaves. The other two heaps each has an equal number of $x$ loaves, one being of pefsu 20, the other of pefsu 30. Find $x$.	$x=1200$	-
77	10 des-measure of beer, of pefsu 2, are to be evenly exchanged for $x$ bread loaves, of pefsu 5. Find $x$.	$x=25$	-
78	100 bread loaves of pefsu 10 are to be evenly exchanged for $x$ des-measures of beer of pefsu 2. Find $x$.	$x=20$	-
79	An estate's inventory consists of 7 houses, 49 cats, 343 mice, 2401 spelt plants (a type of wheat), and 16,807 units of heqat (of whatever substance—a type of grain, suppose). List the items in the estates' inventory as a table, and include their total.	${\begin{bmatrix}houses&7\\cats&49\\mice&343\\spelt&2401\\heqat&16807\\Total&19607\\\end{bmatrix}}$	समस्या 79 को इसकी सबसे शाब्दिक व्याख्या में प्रस्तुत किया गया है। हालाँकि, यह समस्या पपीरस में सबसे दिलचस्प है, क्योंकि इसकी स्थापना और समाधान की विधि भी ज्यामितीय प्रगति (अर्थात, ज्यामितीय अनुक्रम), परिमित श्रृंखला की प्रारंभिक समझ, साथ ही सेंट इव्स समस्या का सुझाव देती है - यहां तक कि चेस भी नहीं कर सकता समस्या 79 की तुलना सेंट इव्स नर्सरी कविता से करने के लिए उनकी अपनी कथा को बाधित करने में मदद करें। वह यह भी इंगित करता है कि इस प्रकार की समस्याओं का एक संदिग्ध रूप से परिचित तीसरा उदाहरण फिबोनाची के लिबर अबासी में पाया जाता है। चेस इस व्याख्या का सुझाव देते हैं कि 79 एक प्रकार की बचत का उदाहरण है, जहां चूहों को मारने के लिए बिल्लियों को हाथ में रखकर एक निश्चित मात्रा में अनाज बचाया जाता है, जो अन्यथा अनाज बनाने के लिए इस्तेमाल किए गए वर्तनी को खा जाते हैं। मूल दस्तावेज़ में, 2401 शब्द को 2301 (एक स्पष्ट गलती) के रूप में लिखा गया है, जबकि अन्य शब्द सही ढंग से दिए गए हैं; इसलिए इसे यहां ठीक किया गया है। इसके अलावा, योग के लिए अहम्स के समाधान के तरीकों में से एक परिमित ज्यामितीय श्रृंखला की समझ का सुझाव देता है। अहम्स एक सीधा योग करता है, लेकिन वही उत्तर पाने के लिए वह एक सरल गुणन भी प्रस्तुत करता है: "2801 x 7 = 19607"। चेस बताते हैं कि पहले पद के बाद से, घरों की संख्या (7) गुणन के सामान्य अनुपात (7) के बराबर है, तो निम्नलिखित लागू होता है (और किसी भी समान स्थिति के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है): $\sum \limits _{k=1}^{n}7^{k}=7{\bigg (}1+\sum \limits _{k=1}^{n-1}7^{k}{\bigg )}$ अर्थात्, जब किसी ज्यामितीय अनुक्रम का पहला पद सामान्य अनुपात के बराबर होता है, तो ज्यामितीय अनुक्रमों या परिमित ज्यामितीय श्रृंखलाओं के आंशिक योग को एक कम पद वाली परिमित श्रृंखला वाले गुणन में घटाया जा सकता है, जो इस मामले में सुविधाजनक साबित होता है। . इस उदाहरण में, अहम्स आंशिक योग प्राप्त करने के लिए अनुक्रम के पहले चार शब्दों (7 + 49 + 343 + 2401 = 2800) को जोड़ता है, एक (2801) जोड़ता है, और फिर सही उत्तर प्राप्त करने के लिए बस 7 से गुणा करता है।
80	हिनु आयतन की एक और इकाई है जैसे कि एक हेकाट दस हिनु के बराबर होता है। उन स्थितियों पर विचार करें जहां किसी के पास हेकाट्स का होरस नेत्र अंश है, और हिनू में उनके रूपांतरण को एक तालिका में व्यक्त करें।	${\begin{bmatrix}1&heqat&=&10&hinu\\{\frac {1}{2}}&heqat&=&5&hinu\\{\frac {1}{4}}&heqat&=&(2+{\frac {1}{2}})&hinu\\{\frac {1}{8}}&heqat&=&(1+{\frac {1}{4}})&hinu\\{\frac {1}{16}}&heqat&=&({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}})&hinu\\{\frac {1}{32}}&heqat&=&({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}})&hinu\\{\frac {1}{64}}&heqat&=&({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}})&hinu\\\end{bmatrix}}$	अन्य सारणीबद्ध जानकारी के लिए समस्या 47 और 64 की तुलना बार-बार होरस नेत्र अंशों से करें।
81	Perform "another reckoning of the hinu." That is, express an assortment of Egyptian fractions, many terms of which are also Horus eye fractions, in various terms of heqats, hinu, and ro.		समस्या 81 का मुख्य खंड मिश्रित मिस्र के अंशों की एक बहुत बड़ी रूपांतरण तालिका है, जो समस्या 80 के विचार पर विस्तार करती है - वास्तव में, यह पूरे पपीरस में सबसे बड़े सारणीबद्ध रूपों में से एक का प्रतिनिधित्व करती है। समस्या 81 का पहला भाग समस्या 80 में तालिका की सटीक पुनरावृत्ति है, पहली पंक्ति के बिना जो बताती है कि 1 हेकाट = 10 हिनू; इसलिए इसे यहां दोहराया नहीं गया है। समस्या 81 का दूसरा भाग, या उसका "मुख्य भाग", वह बड़ी तालिका है जो यहां दी गई है। चौकस पाठक दो चीजों पर ध्यान देगा: कई पंक्तियाँ समान जानकारी को दोहराती हैं, और तालिका के दोनों ओर "हेक़त" क्षेत्रों के दोनों में दिए गए कई रूप (लेकिन सभी नहीं) वास्तव में समान हैं। यह समझाने के लिए दो बिंदु ध्यान देने योग्य हैं कि तालिका इस तरह क्यों दिखती है। एक बात के लिए, अहम्स वास्तव में तालिका के विभिन्न क्षेत्रों में जानकारी के कुछ समूहों को बिल्कुल दोहराता है, और तदनुसार उन्हें यहां दोहराया जाता है। दूसरी ओर, अहम्स भी कुछ "बाएँ हाथ" हेकाट रूपों के साथ शुरुआत करता है, और अपनी शुरुआती गणनाओं में कुछ गलतियाँ करता है। हालाँकि, कई मामलों में वह बाद में तालिका के लेखन में इन गलतियों को सुधारता है, जिससे लगातार परिणाम मिलते हैं। चूंकि वर्तमान जानकारी केवल चेस के अनुवाद और पपीरस की व्याख्या का पुन: निर्माण है, और चूंकि चेस ने कुछ पिछली पंक्तियों में बाद की सही जानकारी को प्रतिस्थापित करके अहम्स की गलतियों की व्याख्या और सुधार करने के लिए चुना है, जिससे अहम्स की गलतियों को ठीक किया जा सके और इसलिए उन्हें दोहराया भी जा सके। अनुवाद के दौरान जानकारी, व्याख्या की यह विधि कुछ पंक्तियों में जानकारी के दोहराव की व्याख्या करती है। जहां तक कुछ स्तंभों (1/4 हेकाट = ... = 1/4 हेकाट, आदि) में जानकारी के दोहराव का सवाल है, ऐसा लगता है कि यह केवल एक परंपरा है जिसे अहम्स ने कुछ महत्वपूर्ण होरस-आंख भिन्नात्मक अनुपातों पर विचार करते समय भरा था। हिनू का दृष्टिकोण, और हेकत (और उनके रूपांतरण) का भी। संक्षेप में, समस्या 81 में बड़ी तालिका का गणितीय रूप से सुसंगत अनुवाद प्रस्तुत करने के लिए जानकारी की विभिन्न पुनरावृत्ति अहम्स द्वारा चुने गए विकल्पों, उनके संभावित स्रोत दस्तावेज़ और चेस के संपादकीय विकल्पों का परिणाम है।
82	Estimate in wedyet-flour, made into bread, the daily portion of feed for ten fattening geese. To do this, perform the following calculations, expressing the quantities in Egyptian fractional terms of hundreds of heqats, heqats and ro, except where specified otherwise: Begin with the statement that "10 fattening geese eat 2 + 1/2 heqats in one day". In other words, the daily rate of consumption (and initial condition) $i$ is equal to 2 + 1/2. Determine the number of heqats which 10 fattening geese eat in 10 days, and in 40 days. Call these quantities $t$ and $f$, respectively. Multiply the above latter quantity $f$ by 5/3 to express the amount of "spelt", or $s$, required to be ground up. Multiply $f$ by 2/3 to express the amount of "wheat", or $w$, required. Divide $w$ by 10 to express a "portion of wheat", or $p$, which is to be subtracted from $f$. Find $f-p=g$. This is the amount of "grain", (or wedyet flour, it would seem), which is required to make the feed for geese, presumably on the interval of 40 days (which would seem to contradict the original statement of the problem, somewhat). Finally, express $g$ again in terms of hundreds of double heqats, double heqats and double ro, where 1 hundred double heqat = 2 hundred heqat = 100 double heqat = 200 heqat = 32,000 double ro = 64,000 ro. Call this final quantity $g_{2}$.	$t=25\;\;\;heqat$ $f=100\;\;\;heqat$ $s={\bigg (}1+{\frac {1}{2}}{\bigg )}hundred\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}16+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}}{\bigg )}\;\;\;heqat+{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}{\bigg )}\;\;\;ro$ $w={\bigg (}{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}{\bigg )}hundred\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}8+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}{\bigg )}\;\;\;heqat+{\bigg (}1+{\frac {2}{3}}{\bigg )}\;\;\;ro$ $p={\bigg (}6+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}}{\bigg )}\;\;\;heqat+{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}{\bigg )}\;\;\;ro$ $g={\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}{\bigg )}hundred\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}18+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}{\bigg )}\;\;\;heqat+{\bigg (}1+{\frac {2}{3}}{\bigg )}\;\;\;ro$ $g_{2}={\bigg (}{\frac {1}{4}}{\bigg )}hundred\;\;\;double\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}21+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}}{\bigg )}\;\;\;double\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}{\bigg )}\;\;\;double\;\;\;ro$	समस्या 82 से प्रारंभ होकर, पपीरस की व्याख्या करना (गलतियों और गुम जानकारी के कारण) अस्पष्टता की सीमा तक कठिन होता जा रहा है। हालाँकि, 82 का कुछ अर्थ निकालना अभी भी संभव है। सीधे शब्दों में कहें तो, खाना पकाने या उत्पादन प्रक्रिया में इस या उस खाद्य सामग्री के अंशों को लेने के लिए स्थापित नियम, या अच्छे अनुमान उपस्थित हैं। अहम्स का 82 बस इनमें से कुछ मात्राओं को अभिव्यक्ति देता है, जिसे मूल दस्तावेज़ में "अनुमान" के रूप में घोषित किया गया है, इसके बावजूद यह कुछ सीमा तक विरोधाभासी और भ्रमित भाषा है। अपनी विचित्रता के अलावा, समस्याएँ 82, 82बी, 83 और 84 हाल की पेफ़्सू समस्याओं के विचार की "भोजन" ट्रेन को जारी रखने के लिए भी उल्लेखनीय हैं, इस बार लोगों के बजाय जानवरों को कैसे खिलाया जाए, इस पर विचार किया जा रहा है। 82 और 82बी दोनों टी और एफ के संबंध में "सौ हेकाट" इकाई का उपयोग करते हैं; ये परंपराएँ दिखावटी हैं, और यहाँ दोहराई नहीं गई हैं। एक सुसंगत व्याख्या प्रस्तुत करने का प्रयास करने के लिए, मूल दस्तावेज़ की संख्यात्मक गलतियों को ठीक करने के लिए इन अंतिम समस्याओं (प्रति चेस) में भी लाइसेंस लिया जाता है।
82B	Estimate the amount of feed for other geese. That is, consider a situation which is identical to problem 82, with the single exception that the initial condition, or daily rate of consumption, is exactly half as large. That is, let $i$ = 1 + 1/4. Find $t$, $f$ and especially $g_{2}$ by using elementary algebra to skip the intermediate steps.	$t={\bigg (}12+{\frac {1}{2}}{\bigg )}\;\;\;heqat$ $f=50\;\;\;heqat$ $g_{2}={\bigg (}23+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}{\bigg )}\;\;\;double\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}1+{\frac {2}{3}}{\bigg )}\;\;\;double\;\;\;ro$	समस्या 82बी को समस्या 82 के समानांतर प्रस्तुत किया गया है, और तुरंत उसी स्थिति पर विचार किया जाता है जहां संबंधित मात्राएं आधी कर दी जाती हैं। दोनों ही मामलों में, ऐसा प्रतीत होता है कि अहम्स का वास्तविक लक्ष्य g_2 खोजना है। अब जब उसके पास एक "प्रक्रिया" है, तो वह 82 के कठिन कदमों को छोड़ने के लिए स्वतंत्र महसूस करता है। कोई आसानी से यह देख सकता है कि दो से विभाजन पूरी समस्या के काम को पूरा करता है, ताकि g_2 भी समस्या 82 की तुलना में बिल्कुल आधा बड़ा हो। प्राथमिक बीजगणित का उपयोग करके थोड़ा अधिक गहन दृष्टिकोण 82 में मात्राओं के बीच संबंधों को पीछे ले जाना होगा, आवश्यक अवलोकन करें कि g = 14/15 x f, और फिर g को g_2 में बदलने के लिए इकाई रूपांतरण करें।
83	Estimate the feed for various kinds of birds. This is a "problem" with multiple components, which can be interpreted as a series of remarks: Suppose that four geese are cooped up, and their collective daily allowance of feed is equal to one hinu. Express one goose's daily allowance of feed $a_{1}$ in terms of heqats and ro. Suppose that the daily feed for a goose "that goes into the pond" is equal to 1/16 + 1/32 heqats + 2 ro. Express this same daily allowance $a_{2}$ in terms of hinu. Suppose that the daily allowance of feed for 10 geese is one heqat. Find the 10-day allowance $a_{10}$ and the 30-day, or one-month allowance $a_{30}$ for the same group of animals, in heqats. Finally a table will be presented, giving daily feed portions to fatten one animal of any of the indicated species.	$a_{1}={\frac {1}{64}}\;\;\;heqat+3\;\;\;ro$ $a_{2}=1\;\;\;hinu$ $a_{10}=10\;\;\;heqat$ $a_{30}=30\;\;\;heqat$ ${\begin{bmatrix}goose&({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}})&heqat&+&(3+{\frac {1}{3}})&ro\\terp-goose&({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}})&heqat&+&(3+{\frac {1}{3}})&ro\\crane&({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}})&heqat&+&(3+{\frac {1}{3}})&ro\\set-duck&({\frac {1}{32}}+{\frac {1}{64}})&heqat&+&1&ro\\ser-goose&{\frac {1}{64}}&heqat&+&3&ro\\dove&&&&3&ro\\quail&&&&3&ro\\\end{bmatrix}}$	चूँकि समस्या 83 के विभिन्न आइटम 80 और 81 की भावना में हेकाट्स, आरओ और हिनू के बीच इकाई रूपांतरण से संबंधित हैं, इसलिए यह आश्चर्य होना स्वाभाविक है कि हिनू में परिवर्तित होने पर तालिका के आइटम क्या बन जाते हैं। हंस, टर्प-हंस और क्रेन द्वारा साझा किया गया हिस्सा 5/3 हिनू के बराबर है, सेट-डक का हिस्सा 1/2 हिनू के बराबर है, सेर-हंस का हिस्सा 1/4 हिनू के बराबर है (तुलना करें) समस्या में पहला आइटम), और कबूतर और बटेर द्वारा साझा किया गया भाग 1/16 + 1/32 हिनू के बराबर है। विभिन्न होरस नेत्र अंशों की उपस्थिति शेष पेपिरस से परिचित है, और तालिका सबसे बड़े से लेकर सबसे छोटे तक पक्षियों के लिए फ़ीड अनुमानों पर विचार करती प्रतीत होती है। तालिका के शीर्ष पर "5/3 हिनू" भाग, विशेष रूप से इसका 5/3 का कारक, समस्या 82 में एस खोजने की विधि की याद दिलाता है। समस्या 83 में "लोअर-मिस्र अनाज", या जौ का उल्लेख किया गया है। और यह एक ही स्थान पर "सौ-हेक़त" इकाई का भी उपयोग करता है; ये दिखावटी हैं, और वर्तमान कथन से बाहर हैं।
84	बैलों के अस्तबल के लिए चारे का अनुमान लगाएं।		84 अंतिम समस्या या संख्या है, जिसमें रिहंद पपीरस की गणितीय सामग्री शामिल है। 84 के संबंध में ही, चेस ने पीट की बात दोहराई: "कोई केवल पीट से सहमत हो सकता है कि 'इस समस्या के साथ पपीरस अपनी अस्पष्टता और अशुद्धि की सीमा तक पहुँच जाता है।'" (चेस, वी.2, समस्या 84)। यहां, स्थान को संरक्षित करने के लिए "सौ हेकाट" इकाई के उदाहरणों को "सी. हेकाट" द्वारा व्यक्त किया गया है। उल्लिखित तीन "मवेशियों" को अन्य जानवरों से अलग करने के लिए "सामान्य" मवेशियों के रूप में वर्णित किया गया है, और रोटियों और "सामान्य भोजन" से संबंधित दो शीर्षलेख हेकाट्स के संबंध में हैं। मेज की शुरुआत में "अच्छे बैलों" को ऊपरी मिस्र के बैलों के रूप में वर्णित किया गया है, यह वाक्यांश भी स्थानिक कारणों से यहां हटा दिया गया है। समस्या 84 पिछली तीन समस्याओं के समान विभिन्न खाद्य सामग्रियों और भत्तों का अनुमान लगाने की एक प्रक्रिया का सुझाव देती प्रतीत होती है, लेकिन वर्तमान जानकारी गहराई से भ्रमित है। फिर भी, निरंतरता के संकेत हैं। यह समस्या एक पारंपरिक कहानी समस्या की तरह प्रारंभ होती है, जिसमें चार अलग-अलग प्रकार के दस जानवरों वाले एक अस्तबल का वर्णन किया गया है। ऐसा लगता है कि चार प्रकार के जानवर अलग-अलग दरों पर चारा, या "रोटियां" खाते हैं, और "सामान्य" भोजन की समान मात्रा होती है। जानकारी के इन दो स्तंभों को "कुल" पंक्ति में सही ढंग से संक्षेपित किया गया है, चूँकि उनके बाद उपरोक्त से संदिग्ध संबंध वाले दो "वर्तनी" आइटम हैं। इकाई रूपांतरणों का हिसाब लगाने के बाद, "10 दिन" पंक्ति में दो प्रविष्टियाँ देने के लिए इन दो वर्तनी वाली वस्तुओं को वास्तव में दस से गुणा किया जाता है। हालाँकि, "एक माह" पंक्ति के आइटम पिछले दो के अनुरूप नहीं लगते हैं। अंत में, "डबल हेकाट्स" में जानकारी (इन वस्तुओं के लिए सौ डबल हेकाट्स, डबल हेकाट्स और डबल आरओ पढ़ें) समस्या को 82 और 82बी की याद दिलाते हुए समाप्त करती है। अंतिम पंक्ति में दो वस्तुएँ मोटे तौर पर, लेकिन बिल्कुल नहीं, एक-दूसरे से "एक माह" पंक्ति में दो वस्तुओं के समान अनुपात में हैं।
संख्या 85	घसीट चित्रलिपि संकेतों का एक छोटा समूह लिखा गया है, जिसके बारे में चेस का सुझाव है कि यह "अपनी कलम आज़माने वाले" लेखक का प्रतिनिधित्व कर सकता है। ऐसा प्रतीत होता है कि यह किसी प्रकार का एक वाक्यांश या वाक्य है, और दो अनुवाद सुझाए गए हैं: 1) "कीड़ों, चूहों, ताजा खरपतवार, असंख्य मकड़ियों को मार डालो। गर्मी, हवा और उच्च पानी के लिए भगवान से प्रार्थना करो।" 2) "इस अजीब मामले की व्याख्या करें, जिसे लेखक ने लिखा था... जो वह जानता था उसके अनुसार।"		शेष आइटम 85, 86 और 87, विभिन्न इरेटा होने के कारण जो प्रकृति में गणितीय नहीं हैं, इसलिए चेस द्वारा समस्याओं के विपरीत "संख्याओं" के रूप में स्टाइल किया गया है। वे पपीरस के उन क्षेत्रों पर भी स्थित हैं जो लेखन के मुख्य भाग से काफी दूर हैं, जो हाल ही में समस्या 84 के साथ समाप्त हुआ था। उदाहरण के लिए, संख्या 85, समस्या 84 से कुछ दूरी पर है - लेकिन बहुत दूर नहीं है . इसलिए पपीरस पर इसका स्थान एक प्रकार के कोडा का सुझाव देता है, इस मामले में बाद वाला अनुवाद, जिसे चेस प्राचीन मिस्र के दस्तावेजों की "रहस्यमय लेखन" व्याख्या के उदाहरण के रूप में वर्णित करता है, दस्तावेज़ में इसके संदर्भ के लिए सबसे उपयुक्त लगता है।
संख्या 86	संख्या 86 किसी खाते, या ज्ञापन से ली गई प्रतीत होती है, और शेष पपीरस के संदर्भ से परिचित शब्दों का उपयोग करते हुए, वस्तुओं और मात्राओं के वर्गीकरण को सूचीबद्ध करती है। [मूल पाठ लेखन की पंक्तियों की एक श्रृंखला है, जिन्हें निम्नलिखित में क्रमांकित किया गया है।]	"1...सदैव के लिए जीवित। हेबेंटी में भोजन की सूची... 2... उसका भाई प्रबंधक का-मोसे... 3... उसके साल के, चांदी, 50 टुकड़े साल में दो बार... 4... मवेशी 2, चाँदी में वर्ष में 3 नग... 5... एक दो बार; यानी 1/6 और 1/6. अब जहां तक एक की बात है... 6...12 हिनू; यानी चांदी, 1/4 टुकड़ा; एक... 7... (सोना या चाँदी) 5 टुकड़े, उनकी कीमत; मछली, 120, दो बार... 8... वर्ष, जौ, चौगुनी हेकाट में, 100 हेकाट का 1/2 + 1/4 15 हेकाट; वर्तनी, 100 हेकाट... हेकाट... 9... जौ, चौगुनी हेकाट में, 100 हेकाट का 1/2 + 1/4 15 हेकाट; वर्तनी, 1 + 1/2 + 1/4 गुना 100 हेकाट 17 हेकाट... 10...146 + 1/2; जौ, 1 + 1/2 + 1/4 गुना 100 हेकाट 10 हेकाट; वर्तनी, 300 हेकाट... हेकाट... 11...1/2, वहाँ शराब लाई गई थी, 1 गधा(भार?)... 12... चाँदी 1/2 टुकड़ा; ...4; यानी चांदी में... 13...1 + 1/4; वसा, 36 हिनू; यानी चांदी में... 14...1 + 1/2 + 1/4 गुना 100 हेकाट 21 हेकाट; वर्तनी, चौगुनी हेकाट में, 400 हेकाट 10 हेकाट... 15-18 (ये पंक्तियाँ पंक्ति 14 की पुनरावृत्ति हैं।)"	चेस इंगित करता है कि पपीरस को मजबूत करने के लिए संख्या 86 को वर्सो के सबसे बाईं ओर (रेक्टो पर बाद की ज्यामिति समस्याओं के विपरीत) चिपकाया गया था। इसलिए संख्या 86 की व्याख्या "स्क्रैप पेपर" के एक टुकड़े के रूप में की जा सकती है।
संख्या 87	संख्या 87 कुछ घटनाओं का संक्षिप्त विवरण है। चेस एक (स्वीकार्य रूप से अब दिनांकित और संभवतः परिवर्तित) विद्वानों की सहमति को इंगित करता है कि 87 को इसकी गणितीय सामग्री के पूरा होने के कुछ समय बाद पेपिरस में जोड़ा गया था। वह आगे बताते हैं कि इसमें वर्णित घटनाएँ "हिक्सोस प्रभुत्व की अवधि के दौरान घटित हुईं।"	"वर्ष 11, फसल के मौसम का दूसरा महीना। हेलियोपोलिस में प्रवेश किया गया था। बाढ़ के मौसम के पहले महीने, 23वें दिन, सेना के कमांडर (?) ने ज़ारू पर हमला किया। 25वें दिन सुना कि ज़ारू दाखिल हो गया। वर्ष 11, बाढ़ के मौसम का पहला महीना, तीसरा दिन। सेट का जन्म; इस देवता की महिमा के कारण उसकी आवाज़ सुनी गई। आइसिस का जन्म, आसमान से बारिश हुई।"	संख्या 87 छंद के मध्य में स्थित है, जो एक बड़े, खाली, अप्रयुक्त स्थान से घिरा हुआ है।

यह भी देखें

• प्राचीन मिस्र के पपीरी की सूची
• अखमीम लकड़ी की गोली
• प्राचीन मिस्र की माप की इकाइयाँ
• चूँकि मैं सेंट इवेस जा रहा था
• बर्लिन पेपिरस 6619
• गणित का इतिहास
• लहुन गणितीय पपीरी

ग्रन्थसूची

• Chace, Arnold Buffum; et al. (1927). The Rhind Mathematical Papyrus. Vol. 1. Oberlin, Ohio: Mathematical Association of America – via Internet Archive.
• Chace, Arnold Buffum; et al. (1929). The Rhind Mathematical Papyrus. Vol. 2. Oberlin, Ohio: Mathematical Association of America – via Internet Archive.
• Gillings, Richard J. (1972). Mathematics in the Time of the Pharaohs (Dover reprint ed.). MIT Press. ISBN 0-486-24315-X.
• Robins, Gay; Shute, Charles (1987). The Rhind Mathematical Papyrus: an Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 0-7141-0944-4.