वॉन न्यूमैन स्थिरता विश्लेषण

संख्यात्मक विश्लेषण संख्यात्मक विश्लेषण में, वॉन न्यूमैन स्थिरता विश्लेषण एक प्रक्रिया है जो रैखिक आंशिक अधिपूर्ण समीकरणों के लिए लागू किए जाने वाले अंतरक्रिया त्रुटि योजनाओं की स्थिरता की जांच करने के लिए उपयोग की जाती है। यह विश्लेषण संख्यात्मक त्रुटि के फूरियर अपघटन पर आधारित है और इसे ब्रिटिश लोक शोधकर्ताओं जॉन क्रैंक और फिलिस निकोलसन द्वारा 1947 के एक लेख में संक्षेप में वर्णित किए जाने के बाद लॉस अलामोस राष्ट्रीय प्रयोगशाला में विकसित किया गया था। यह विधि स्पष्ट समय एकीकरण का एक उदाहरण है जहां संचालक समीकरण को परिभाषित करने वाले फलन का मूल्यांकन वर्तमान समय में किया जाता है। बाद में, जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा सह-लेखक एक लेख में इस विधि को और अधिक कठोर उपचार दिया गया।

संख्यात्मक स्थिरता

संख्यात्मक स्थिरता का संख्यात्मक त्रुटि से गहरा संबंध है। एक सीमित अंतर योजना स्थिर होती है यदि गणना के एक समय चरण में की गई त्रुटियों के कारण गणना जारी रहने पर त्रुटियां बढ़ न जाएं। तटस्थ रूप से स्थिर योजना वह है जिसमें गणना आगे बढ़ने पर त्रुटियां स्थिर रहती हैं। यदि त्रुटियाँ कम हो जाती हैं और अंततः समाप्त हो जाती हैं, तो संख्यात्मक योजना को स्थिर कहा जाता है। यदि, इसके विपरीत, समय के साथ त्रुटियाँ बढ़ती हैं तो संख्यात्मक योजना को अस्थिर कहा जाता है। वॉन न्यूमैन स्थिरता विश्लेषण करके संख्यात्मक योजनाओं की स्थिरता की जांच की जा सकती है। समय-निर्भर समस्याओं के लिए, स्थिरता यह गारंटी देती है कि जब भी सटीक अंतर समीकरण का समाधान परिबद्ध होता है तो संख्यात्मक विधि एक परिबद्ध समाधान उत्पन्न करती है। स्थिरता, सामान्य तौर पर, जांच करना मुश्किल हो सकता है, खासकर जब विचाराधीन समीकरण गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरण है।

कुछ मामलों में, लैक्स-रिचटमेयर के अर्थ में स्थिरता के लिए वॉन न्यूमैन स्थिरता आवश्यक और पर्याप्त है (जैसा कि लैक्स तुल्यता प्रमेय में उपयोग किया जाता है): पीडीई और परिमित अंतर योजना मॉडल रैखिक हैं; पीडीई आवधिक सीमा स्थितियों के साथ निरंतर-गुणांक है और इसमें केवल दो स्वतंत्र चर हैं; और योजना दो से अधिक समय स्तरों का उपयोग नहीं करती है। वॉन न्यूमैन स्थिरता बहुत व्यापक प्रकार के मामलों में आवश्यक है। इसकी सापेक्ष सादगी के कारण योजना में उपयोग किए गए चरण आकारों पर प्रतिबंधों (यदि कोई हो) पर एक अच्छा अनुमान प्रदान करने के लिए इसका उपयोग अक्सर अधिक विस्तृत स्थिरता विश्लेषण के स्थान पर किया जाता है।

विधि का चित्रण

वॉन न्यूमैन विधि फूरियर श्रृंखला में त्रुटियों के अपघटन पर आधारित है। प्रक्रिया को स्पष्ट करने के लिए, एक-आयामी ताप समीकरण पर विचार करें

$${\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$$

स्थानिक अंतराल पर परिभाषित $L$, जिसे विभेदित किया जा सकता है जैसा

$$u_{j}^{n+1}=u_{j}^{n}+r\left(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}\right)$$

(1)

कहाँ

$$r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\left(\Delta x\right)^{2}}}$$

और समाधान $u_{j}^{n}$ असतत समीकरण का विश्लेषणात्मक समाधान अनुमानित है $u(x,t)$ ग्रिड पर पीडीई का।

राउंड-ऑफ़ त्रुटि को परिभाषित करें $\epsilon _{j}^{n}$ जैसा

$$\epsilon _{j}^{n}=N_{j}^{n}-u_{j}^{n}$$

कहाँ $u_{j}^{n}$ विच्छेदित समीकरण का समाधान है (1) जिसकी गणना राउंड-ऑफ त्रुटि के अभाव में की जाएगी, और $N_{j}^{n}$ तैरनेवाला स्थल में प्राप्त संख्यात्मक समाधान है। सटीक समाधान के बाद से $u_{j}^{n}$ विवेचित समीकरण को सटीक रूप से संतुष्ट करना चाहिए, त्रुटि $\epsilon _{j}^{n}$ विवेचित समीकरण को भी संतुष्ट करना होगा। यहां हमने यह मान लिया $N_{j}^{n}$ समीकरण को भी संतुष्ट करता है (यह केवल मशीन परिशुद्धता में सच है)। इस प्रकार

$$\epsilon _{j}^{n+1}=\epsilon _{j}^{n}+r\left(\epsilon _{j+1}^{n}-2\epsilon _{j}^{n}+\epsilon _{j-1}^{n}\right)$$

(2)

त्रुटि के लिए पुनरावृत्ति संबंध है. समीकरण (1) और (2) दिखाएं कि त्रुटि और संख्यात्मक समाधान दोनों में समय के संबंध में समान वृद्धि या क्षय व्यवहार होता है। आवधिक सीमा स्थिति के साथ रैखिक अंतर समीकरणों के लिए, त्रुटि की स्थानिक भिन्नता को परिमित फूरियर श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है $x$, अंतराल में $L$, जैसा

$$\epsilon (x,t)=\sum _{m=-M}^{M}E_{m}(t)e^{{i}k_{m}x}$$

(3)

जहां तरंगसंख्या $k_{m}={\frac {\pi m}{L}}$ साथ $m=-M,\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots ,M$ और $M=L/\Delta x$. त्रुटि की समय निर्भरता को त्रुटि का आयाम मानकर शामिल किया जाता है $E_{m}$ समय का एक कार्य है. अक्सर यह धारणा बनाई जाती है कि त्रुटि समय के साथ तेजी से बढ़ती या घटती है, लेकिन स्थिरता विश्लेषण के लिए यह आवश्यक नहीं है।

यदि सीमा की स्थिति आवधिक नहीं है, तो हम इसके संबंध में परिमित फूरियर अभिन्न का उपयोग कर सकते हैं $x$:

$$\epsilon (x,t)=\int _{-{\frac {\pi }{\Delta x}}}^{\frac {\pi }{\Delta x}}E_{k}(t)e^{ikx}dk$$

(4)

चूँकि त्रुटि के लिए अंतर समीकरण रैखिक है (श्रृंखला के प्रत्येक पद का व्यवहार स्वयं श्रृंखला के समान है), यह एक विशिष्ट पद की त्रुटि की वृद्धि पर विचार करने के लिए पर्याप्त है:

$$\epsilon _{m}(x,t)=E_{m}(t)e^{ik_{m}x}$$

(5a)

यदि फूरियर श्रृंखला का उपयोग किया जाता है या

$$\epsilon _{k}(x,t)=E_{k}(t)e^{ikx}$$

(5b)

यदि फूरियर इंटीग्रल का उपयोग किया जाता है।

चूंकि फूरियर श्रृंखला को फूरियर इंटीग्रल का एक विशेष मामला माना जा सकता है, हम फूरियर इंटीग्रल के लिए अभिव्यक्तियों का उपयोग करके विकास जारी रखेंगे।

त्रुटि के लिए केवल इस फॉर्म का उपयोग करके स्थिरता विशेषताओं का अध्ययन किया जा सकता है और व्यापकता में कोई नुकसान नहीं होगा। यह जानने के लिए कि समय के चरणों में त्रुटि कैसे भिन्न होती है, समीकरण को प्रतिस्थापित करें (5b) समीकरण में (2), उस पर ध्यान देने के बाद

$${\begin{aligned}\epsilon _{j}^{n}&=E_{m}(t)e^{ik_{m}x}\\\epsilon _{j}^{n+1}&=E_{m}(t+\Delta t)e^{ik_{m}x}\\\epsilon _{j+1}^{n}&=E_{m}(t)e^{ik_{m}(x+\Delta x)}\\\epsilon _{j-1}^{n}&=E_{m}(t)e^{ik_{m}(x-\Delta x)},\end{aligned}}$$

उपज देना (सरलीकरण के बाद)

$${\frac {E_{m}(t+\Delta t)}{E_{m}(t)}}=1+r\left(e^{ik_{m}\Delta x}+e^{-ik_{m}\Delta x}-2\right).$$

(6)

परिचय $\theta =k_{m}\Delta x\in [-\pi ,\pi ]$ और पहचान का उपयोग करना

$$\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {e^{i\theta /2}-e^{-i\theta /2}}{2i}}\qquad \rightarrow \qquad \sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)=-{\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }-2}{4}}$$

समीकरण (6) के रूप में लिखा जा सकता है

$${\frac {E_{m}(t+\Delta t)}{E_{m}(t)}}=1-4r\sin ^{2}(\theta /2)$$

(7)

प्रवर्धन कारक को परिभाषित करें

$$G\equiv {\frac {E_{m}(t+\Delta t)}{E_{m}(t)}}$$

(8)

त्रुटि सीमित रहे इसके लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त यही है $|G|\leq 1.$ इस प्रकार, समीकरणों से (7) और (8), स्थिरता की शर्त किसके द्वारा दी गई है

$$\left|1-4r\sin ^{2}(\theta /2)\right|\leq 1$$

(9)

ध्यान दें कि शब्द $4r\sin ^{2}(\theta /2)$ हमेशा सकारात्मक होता है. इस प्रकार, समीकरण को संतुष्ट करने के लिए (9):

$$4r\sin ^{2}(\theta /2)\leq 2$$

(10)

उपरोक्त शर्त को सभी के लिए लागू करने के लिए $m$ (और इसलिए सभी $\sin ^{2}(\theta /2)$). साइनसॉइडल शब्द का उच्चतम मान 1 हो सकता है और उस विशेष विकल्प के लिए यदि ऊपरी सीमा की स्थिति संतुष्ट है, तो सभी ग्रिड बिंदुओं के लिए भी ऐसा ही होगा, इस प्रकार हमारे पास है

$$r={\frac {\alpha \Delta t}{\left(\Delta x\right)^{2}}}\leq {\frac {1}{2}}$$

(11)

समीकरण (11) एक-आयामी ताप समीकरण पर लागू एफटीसीएस योजना के लिए स्थिरता की आवश्यकता देता है। यह कहता है कि किसी दिए गए के लिए $\Delta x$, का अनुमत मान $\Delta t$ समीकरण को संतुष्ट करने के लिए पर्याप्त छोटा होना चाहिए (10).

इसी तरह के विश्लेषण से पता चलता है कि रैखिक संवहन के लिए एफटीसीएस योजना बिना शर्त अस्थिर है।