स्प्लिट-स्टेप विधि

संख्यात्मक विश्लेषण में, स्प्लिट-स्टेप (फूरियर) विधि एक छद्म-वर्णक्रमीय विधि है | छद्म-वर्णक्रमीय संख्यात्मक विधि जिसका उपयोग गैर-रेखीय श्रोडिंगर समीकरण जैसे गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है। यह नाम दो कारणों से उत्पन्न हुआ है। सबसे पहले, विधि छोटे चरणों में समाधान की गणना करने और रैखिक और गैर-रेखीय चरणों को अलग-अलग करने पर निर्भर करती है (नीचे देखें)। दूसरा, फूरियर को आगे और पीछे बदलना आवश्यक है क्योंकि रैखिक चरण आवृत्ति डोमेन में बनाया जाता है जबकि गैर-रेखीय चरण समय डोमेन में बनाया जाता है।

इस विधि के उपयोग का एक उदाहरण ऑप्टिकल फाइबर में प्रकाश पल्स प्रसार के क्षेत्र में है, जहां रैखिक और गैर-रेखीय तंत्र की बातचीत से सामान्य विश्लेषणात्मक समाधान ढूंढना मुश्किल हो जाता है। हालाँकि, स्प्लिट-स्टेप विधि समस्या का संख्यात्मक समाधान प्रदान करती है। स्प्लिट-स्टेप विधि का एक और अनुप्रयोग जो 2010 के बाद से बहुत अधिक कर्षण प्राप्त कर रहा है वह ऑप्टिकल माइक्रोरेसोनेटर में केर आवृत्ति कंघी गतिशीलता का अनुकरण है। उचित संख्यात्मक लागत के साथ लुगियाटो-लेफ़ेवर समीकरण के कार्यान्वयन की सापेक्ष आसानी, प्रयोगात्मक स्पेक्ट्रा को पुन: प्रस्तुत करने में इसकी सफलता के साथ-साथ इन माइक्रोरेसोनेटर में सॉलिटन व्यवहार की भविष्यवाणी ने विधि को बहुत लोकप्रिय बना दिया है।

विधि का विवरण

उदाहरण के लिए, अरेखीय श्रोडिंगर समीकरण पर विचार करें

${\partial A \over \partial z}=-{i\beta _{2} \over 2}{\partial ^{2}A \over \partial t^{2}}+i\gamma |A|^{2}A=[{\hat {D}}+{\hat {N}}]A,$

कहाँ $A(t,z)$ समय में नाड़ी आवरण का वर्णन करता है $t$ स्थानिक स्थिति पर $z$. समीकरण को एक रैखिक भाग में विभाजित किया जा सकता है,

${\partial A_{D} \over \partial z}=-{i\beta _{2} \over 2}{\partial ^{2}A \over \partial t^{2}}={\hat {D}}A,$

और एक अरैखिक भाग,

${\partial A_{N} \over \partial z}=i\gamma |A|^{2}A={\hat {N}}A.$

रैखिक और अरेखीय दोनों भागों में विश्लेषणात्मक समाधान होते हैं, लेकिन दोनों भागों वाले अरेखीय श्रोडिंगर समीकरण में कोई सामान्य विश्लेषणात्मक समाधान नहीं होता है।

हालाँकि, यदि केवल एक 'छोटा' कदम है $h$ साथ ले जाया जाता है $z$, तो केवल 'छोटी' संख्यात्मक त्रुटि के साथ दोनों भागों को अलग-अलग माना जा सकता है। इसलिए सबसे पहले कोई एक छोटा सा अरैखिक कदम उठा सकता है,

$A_{N}(t,z+h)=\exp \left[i\gamma |A(t,z)|^{2}h\right]A(t,z),$

विश्लेषणात्मक समाधान का उपयोग करना. ध्यान दें कि यह ansatz लगाता है $|A(z)|^{2}=const.$ और इसके परिणामस्वरूप $\gamma \in \mathbb {R}$.

फैलाव चरण में आवृत्ति डोमेन में एक विश्लेषणात्मक समाधान होता है, इसलिए फूरियर रूपांतरण के लिए यह सबसे पहले आवश्यक है $A_{N}$ का उपयोग करते हुए

${\tilde {A}}_{N}(\omega ,z)=\int _{-\infty }^{\infty }A_{N}(t,z)\exp[i(\omega -\omega _{0})t]dt$,

कहाँ $\omega _{0}$ नाड़ी की केंद्र आवृत्ति है. यह दिखाया जा सकता है कि फूरियर ट्रांसफॉर्म की उपरोक्त परिभाषा का उपयोग करके, रैखिक चरण का विश्लेषणात्मक समाधान, गैर-रेखीय चरण के लिए आवृत्ति डोमेन समाधान के साथ परिवर्तित किया जाता है।

${\tilde {A}}(\omega ,z+h)=\exp \left[{i\beta _{2} \over 2}(\omega -\omega _{0})^{2}h\right]{\tilde {A}}_{N}(\omega ,z).$

का व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण लेकर ${\tilde {A}}(\omega ,z+h)$ एक प्राप्त होता है $A\left(t,z+h\right)$; इस प्रकार नाड़ी को एक छोटे कदम से प्रचारित किया गया है $h$. उपरोक्त को दोहराते हुए $N$ कई बार, नाड़ी को लंबाई तक प्रसारित किया जा सकता है $Nh$.

ऊपर दिखाया गया है कि किसी समाधान को अंतरिक्ष में आगे बढ़ाने के लिए विधि का उपयोग कैसे किया जाए; हालाँकि, कई भौतिकी अनुप्रयोगों, जैसे कि एक कण का वर्णन करने वाले तरंग पैकेट के विकास का अध्ययन, के लिए अंतरिक्ष के बजाय समय में समाधान को आगे बढ़ाने की आवश्यकता होती है। गैर-रैखिक श्रोडिंगर समीकरण, जब एक तरंग फ़ंक्शन के समय विकास को नियंत्रित करने के लिए उपयोग किया जाता है, तो रूप लेता है

$i\hbar {\partial \psi \over \partial t}=-{{\hbar }^{2} \over {2m}}{\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}+\gamma |\psi |^{2}\psi =[{\hat {D}}+{\hat {N}}]\psi ,$

कहाँ $\psi (x,t)$ स्थिति में तरंग फ़ंक्शन का वर्णन करता है $x$ और समय $t$. ध्यान दें कि

${\hat {D}}=-{{\hbar }^{2} \over {2m}}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}$ और ${\hat {N}}=\gamma |\psi |^{2}$, ओर वो $m$ कण का द्रव्यमान है और $\hbar$ प्लैंक का स्थिरांक है $2\pi$.

इस समीकरण का औपचारिक समाधान एक जटिल घातांक है, इसलिए हमारे पास वह है

$\psi (x,t)=e^{-it({\hat {D}}+{\hat {N}})/\hbar }\psi (x,0)$.

तब से ${\hat {D}}$ और ${\hat {N}}$ ऑपरेटर हैं, वे सामान्य रूप से आवागमन नहीं करते हैं। हालाँकि, बेकर-हॉसडॉर्फ फॉर्मूला यह दिखाने के लिए लागू किया जा सकता है कि उनके साथ ऐसा व्यवहार करने से त्रुटि व्यवस्थित होगी $dt^{2}$ यदि हम एक छोटा लेकिन सीमित समय वाला कदम उठा रहे हैं $dt$. इसलिए हम लिख सकते हैं

$\psi (x,t+dt)\approx e^{-idt{\hat {D}}/\hbar }e^{-idt{\hat {N}}/\hbar }\psi (x,t)$.

इस समीकरण का वह भाग जिसमें शामिल है ${\hat {N}}$ समय पर तरंग फ़ंक्शन का उपयोग करके सीधे गणना की जा सकती है $t$, लेकिन शामिल घातांक की गणना करने के लिए ${\hat {D}}$ हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि आवृत्ति स्थान में, आंशिक व्युत्पन्न ऑपरेटर को प्रतिस्थापित करके एक संख्या में परिवर्तित किया जा सकता है $ik$ के लिए $\partial \over \partial x$, कहाँ $k$ आवृत्ति (या अधिक ठीक से, तरंग संख्या, जैसा कि हम एक स्थानिक चर के साथ काम कर रहे हैं और इस प्रकार स्थानिक आवृत्तियों के स्थान में परिवर्तित हो रहे हैं - यानी तरंग संख्या) जो कुछ भी संचालित किया जा रहा है उसके फूरियर रूपांतरण से जुड़ा हुआ है। इस प्रकार, हम फूरियर रूपांतरण लेते हैं

$e^{-idt{\hat {N}}/\hbar }\psi (x,t)$,

संबंधित तरंग संख्या पुनर्प्राप्त करें, मात्रा की गणना करें

$e^{idtk^{2}}$,

और इसमें शामिल जटिल घातांकों का गुणनफल खोजने के लिए इसका उपयोग करें ${\hat {N}}$ और ${\hat {D}}$ आवृत्ति स्थान में निम्नानुसार:

$e^{idtk^{2}}F[e^{-idt{\hat {N}}}\psi (x,t)]$,

कहाँ $F$ फूरियर रूपांतरण को दर्शाता है। फिर हम व्युत्क्रम फूरियर इस अभिव्यक्ति को भौतिक स्थान में अंतिम परिणाम खोजने के लिए रूपांतरित करते हैं, जिससे अंतिम अभिव्यक्ति प्राप्त होती है

$\psi (x,t+dt)=F^{-1}[e^{idtk^{2}}F[e^{-idt{\hat {N}}}\psi (x,t)]]$.

इस पद्धति का एक रूपांतर सममितीय विभाजन-चरण फूरियर विधि है, जो एक ऑपरेटर का उपयोग करके आधा समय कदम उठाती है, फिर केवल दूसरे के साथ एक पूर्णकालिक कदम उठाती है, और फिर केवल पहले के साथ फिर से दूसरा आधा समय कदम उठाती है। यह विधि सामान्य स्प्लिट-स्टेप फूरियर विधि का सुधार है क्योंकि इसकी त्रुटि क्रमानुसार है $dt^{3}$ एक समय के कदम के लिए $dt$. इस कलन विधि के फूरियर ट्रांसफॉर्म की गणना फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म | फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म (एफएफटी) का उपयोग करके अपेक्षाकृत तेजी से की जा सकती है। इसलिए स्प्लिट-स्टेप फूरियर विधि विशिष्ट परिमित अंतर विधियों की तुलना में बहुत तेज़ हो सकती है।

बाहरी सन्दर्भ

• थॉमस ई. मर्फी, सॉफ्टवेयर, http://www.photonics.umd.edu/software/ssprop/
• एन्ड्रेस ए. रिज़्निक, सॉफ्टवेयर, http://www.freeopticsproject.org
• प्रो. जी. अग्रवाल, सॉफ्टवेयर, http://www.optics.rochester.edu/workgroups/agrawal/grouphomepage.php?pageid=software
• थॉमस श्रेइबर, सॉफ्टवेयर, http://www.fiberdesk.com
• एडवर्ड जे. ग्रेस, सॉफ्टवेयर, http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/24016

श्रेणी:संख्यात्मक अंतर समीकरण श्रेणी:फाइबर ऑप्टिक्स