अंकगणित कॉम्बिनेटरिक्स

गणित में, अंकगणितीय कॉम्बिनेटरिक्स (साहचर्य) संख्या सिद्धांत, कॉम्बिनेटरिक्स, एर्गोडिक सिद्धांत और हार्मोनिक विश्लेषण के प्रतिच्छेदन का एक क्षेत्र है।

विस्तार

अंकगणितीय कॉम्बिनेटरिक्स अंकगणितीय परिचालनों (जोड़, घटाव, गुणा और भाग) से जुड़े कॉम्बिनेटरियल अनुमानों के बारे में है। एडिटिव कॉम्बिनेटरिक्स एक विशेष स्तिथि है जब केवल जोड़ और घटाव की संक्रियाएं सम्मिलित होती हैं।

बेन ग्रीन ने ताओ और वु द्वारा लिखित "एडिटिव कॉम्बिनेटरिक्स" की समीक्षा में अंकगणितीय कॉम्बिनेटरिक्स की व्याख्या की है।

महत्वपूर्ण परिणाम

स्ज़ेमेरीडी का प्रमेय

Main article: स्ज़ेमेरीडी का प्रमेय

स्ज़ेमेरीडी का प्रमेय पूर्णांकों के उपसमुच्चय में अंकगणितीय प्रगति से संबंधित अंकगणितीय संयोजन विज्ञान का परिणाम है। 1936 में, एर्दो और तुरान ने अनुमान लगाया कि धनात्मक प्राकृतिक घनत्व वाले पूर्णांक A के प्रत्येक समुच्चय में प्रत्येक के के लिए k शब्द अंकगणितीय प्रगति होती है। यह अनुमान, जो ज़ेमेरेडी का प्रमेय बन गया, वैन डेर वेर्डन के प्रमेय के कथन को सामान्यीकृत करता है।

ग्रीन-ताओ प्रमेय और विस्तार

Main article: ग्रीन-ताओ प्रमेय

ग्रीन-ताओ प्रमेय, जिसे बेन ग्रीन और टेरेंस ताओ ने 2004 में सिद्ध किया था, में कहा गया है कि अभाज्य संख्याओं के अनुक्रम में अनैतिक ढंग से लंबी अंकगणितीय प्रगति होती है। दूसरे शब्दों में, k पदों के साथ अभाज्य संख्याओं की अंकगणितीय प्रगति उपस्थित है, जहाँ k कोई भी प्राकृतिक संख्या हो सकती है। प्रमाण ज़ेमेरेडी के प्रमेय का विस्तार है।

2006 में, टेरेंस ताओ और टैमर ज़िगलर ने बहुपद प्रगति को कवर करने के लिए परिणाम को बढ़ाया। अधिक सटीक रूप से, किसी भी पूर्णांक-मूल्य वाले बहुपद P₁,..., P_k को अज्ञात m में सभी स्थिर पद 0 के साथ दिए जाने पर, अनंत रूप से कई पूर्णांक x, m होते हैं जैसे कि x + P₁(m), ..., x + P_k(m) एक साथ अभाज्य हैं। विशेष स्तिथि जब बहुपद m, 2m, ..., km होते हैं तो पिछले परिणाम का तात्पर्य है कि अभाज्य संख्याओं की लंबाई k अंकगणितीय प्रगति है।

ब्रुइलार्ड-ग्रीन-ताओ प्रमेय

2011 में इमैनुएल ब्रुइलार्ड, बेन ग्रीन और टेरेंस ताओ द्वारा सिद्ध किया गया ब्रुइलार्ड-ग्रीन-ताओ प्रमेय, अनुमानित समूहों का संपूर्ण वर्गीकरण देता है। इस परिणाम को फ़्रीमैन के प्रमेय के नॉनबेलियन संस्करण और बहुपद वृद्धि के समूहों पर ग्रोमोव के प्रमेय के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।

उदाहरण

यदि A, N पूर्णांकों का एक समुच्चय है, तो योगफल कितना बड़ा या छोटा हो सकता है

$A+A:=\{x+y:x,y\in A\},$

अंतर समुच्चय

$A-A:=\{x-y:x,y\in A\},$

और गुणनफल समुच्चय

$A\cdot A:=\{xy:x,y\in A\}$

हो, और इन समुच्चय के आकार किस प्रकार संबंधित हैं? (भ्रमित न हों: अंतर समुच्चय और गुणनफल समुच्चय शब्दों के अन्य अर्थ हो सकते हैं)

विस्तार

अध्ययन किए जा रहे समुच्चय पूर्णांकों के अतिरिक्त बीजगणितीय संरचनाओं के उपसमुच्चय भी हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, समूह, वलय और क्षेत्र आदि।

यह भी देखें

• योज्य संख्या सिद्धांत
• अनुमानित समूह
• कोनों प्रमेय
• एर्गोडिक रैमसे सिद्धांत
• अंकगणितीय प्रगति से संबंधित समस्याएँ
• श्नीरेलमन घनत्व
• शैप्ले-फोकमैन लेम्मा
• सिडॉन समुच्चय
• सम-मुक्त समुच्चय
• योग-गुणनफल समस्या

संदर्भ

• Łaba, Izabella (2008). "From harmonic analysis to arithmetic combinatorics". Bull. Amer. Math. Soc. 45 (1): 77–115. doi:10.1090/S0273-0979-07-01189-5.
• Additive Combinatorics and Theoretical Computer Science, Luca Trevisan, SIGACT News, June 2009
• Bibak, Khodakhast (2013). "Additive combinatorics with a view towards computer science and cryptography". In Borwein, Jonathan M.; Shparlinski, Igor E.; Zudilin, Wadim (eds.). Number Theory and Related Fields: In Memory of Alf van der Poorten. Vol. 43. New York: Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. pp. 99–128. arXiv:1108.3790. doi:10.1007/978-1-4614-6642-0_4. ISBN 978-1-4614-6642-0. S2CID 14979158.
• Open problems in additive combinatorics, E Croot, V Lev
• From Rotating Needles to Stability of Waves: Emerging Connections between Combinatorics, Analysis, and PDE, Terence Tao, AMS Notices March 2001
• Tao, Terence; Vu, Van H. (2006). Additive combinatorics. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 105. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-85386-9. MR 2289012. Zbl 1127.11002.
• Granville, Andrew; Nathanson, Melvyn B.; Solymosi, József, eds. (2007). Additive Combinatorics. CRM Proceedings & Lecture Notes. Vol. 43. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4351-2. Zbl 1124.11003.
• Mann, Henry (1976). Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory (Corrected reprint of 1965 Wiley ed.). Huntington, New York: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN 0-88275-418-1.
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: the Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 164. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94656-X. MR 1395371.
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 165. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94655-1. MR 1477155.

अग्रिम पठन

• Some Highlights of Arithmetic Combinatorics, resources by Terence Tao
• Additive Combinatorics: Winter 2007, K Soundararajan
• Earliest Connections of Additive Combinatorics and Computer Science, Luca Trevisan