हिल्बर्ट मैट्रिक्स

रैखिक बीजगणित में, हिल्बर्ट (1894),द्वारा प्रस्तुत हिल्बर्ट आव्यूह, एक ऐसा वर्ग आव्यूह है जिसमें प्रविष्टियाँ इकाई भिन्न

$H_{ij}={\frac {1}{i+j-1}}$ होती हैं।

अतः इस प्रकार उदाहरण के लिए, यह 5 × 5 हिल्बर्ट आव्यूह है:

$H={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.$

इस प्रकार हिल्बर्ट आव्यूह को समाकलन

$H_{ij}=\int _{0}^{1}x^{i+j-2}\,dx,$

से व्युत्पन्न माना जा सकता है, जो कि x की घातों के लिए ग्रामियन आव्यूह के रूप में उपयोग किया जाता हैं। अतः इस प्रकार यह बहुपदों द्वारा यादृच्छिक फलनों के न्यूनतम वर्ग सन्निकटन में उत्पन्न होता है।

हिल्बर्ट आव्यूह निकृष्ट स्थिति वाले आव्यूह के विहित उदाहरण हैं, इस प्रकार जिनका संख्यात्मक विश्लेषण में उपयोग करना अत्यधिक कठिन है। उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए आव्यूह की 2-मानदंड स्थिति संख्या लगभग 4.8×10⁵ है।

ऐतिहासिक टिप्पणी

अतः हिल्बर्ट (1894) सन्निकटन सिद्धांत में निम्नलिखित प्रश्न का अध्ययन करने के लिए हिल्बर्ट आव्यूह का प्रारम्भ किया: "मान लीजिए कि I = [a, b], एक वास्तविक अंतराल है। इस प्रकार क्या तब पूर्णांक गुणांक के साथ एक गैर-शून्य बहुपद P खोजना संभव है, जैसे कि अभिन्न

$\int _{a}^{b}P(x)^{2}dx$

किसी दिए गए परिबद्ध ε > 0 से छोटा है, अतः इस प्रकार यादृच्छिक रूप से छोटा लिया गया है?" इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हिल्बर्ट हिल्बर्ट आव्यूह के निर्धारक के लिए एक यथार्थ सूत्र प्राप्त करता है और उनके स्पर्शोन्मुखता की जांच करता है। इस प्रकार उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि उनके प्रश्न का उत्तर धनात्मक है यदि अंतराल की लंबाई b − a 4 से छोटी है।

गुण

अतः हिल्बर्ट आव्यूह सममित आव्यूह और धनात्मक-निश्चित आव्यूह है। हिल्बर्ट आव्यूह भी पूर्ण रूप से धनात्मक है (जिसका अर्थ है कि प्रत्येक उपआव्यूह का निर्धारक धनात्मक है)।

इस प्रकार हिल्बर्ट आव्यूह हैंकेल आव्यूह का एक उदाहरण है। यह कॉची आव्यूह का एक विशिष्ट उदाहरण भी है।

कॉची निर्धारक के एक विशेष स्थितियों के रूप में, निर्धारक को संवृत-रूप अभिव्यक्ति में व्यक्त किया जा सकता है। इस प्रकार n × n हिल्बर्ट आव्यूह का निर्धारक

$\det(H)={\frac {c_{n}^{4}}{c_{2n}}},$

है, जहाँ

$c_{n}=\prod _{i=1}^{n-1}i^{n-i}=\prod _{i=1}^{n-1}i!.$

इस प्रकार हिल्बर्ट ने पहले ही इस जिज्ञासु तथ्य का उल्लेख किया है कि हिल्बर्ट आव्यूह का निर्धारक एक पूर्णांक का व्युत्क्रम है (ओइआईएस में अनुक्रम OEIS: A005249देखें), जो समरूपता

${\frac {1}{\det(H)}}={\frac {c_{2n}}{c_{n}^{4}}}=n!\cdot \prod _{i=1}^{2n-1}{\binom {i}{[i/2]}}$ से भी अनुसरण करता है।

अतः स्टर्लिंग के भाज्य संबंधी सन्निकटन का उपयोग करके, कोई निम्नलिखित स्पर्शोन्मुख परिणाम स्थापित कर सकता है:

$\det(H)\sim a_{n}\,n^{-1/4}(2\pi )^{n}\,4^{-n^{2}},$

इस प्रकार जहाँ a_n स्थिरांक $e^{1/4}\,2^{1/12}\,A^{-3}\approx 0.6450$ में $n\to \infty$ के रूप में परिवर्तित होता है, जहां A ग्लैशर-किंकेलिन स्थिरांक है।

अतः हिल्बर्ट आव्यूह का व्युत्क्रम द्विपद गुणांक का उपयोग करके संवृत रूप में व्यक्त किया जा सकता है; इसकी प्रविष्टियाँ

$(H^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1){\binom {n+i-1}{n-j}}{\binom {n+j-1}{n-i}}{\binom {i+j-2}{i-1}}^{2},$

हैं, जहाँ n आव्यूह का क्रम है। इसका तात्पर्य यह है कि व्युत्क्रम आव्यूह की प्रविष्टियाँ सभी पूर्णांक हैं, और यह कि चिह्न एक चेकरबोर्ड पैटर्न बनाते हैं, जो मुख्य विकर्ण पर धनात्मक होते हैं। इस प्रकार उदाहरण के लिए,

${\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}^{-1}=\left[{\begin{array}{rrrrr}25&-300&1050&-1400&630\\-300&4800&-18900&26880&-12600\\1050&-18900&79380&-117600&56700\\-1400&26880&-117600&179200&-88200\\630&-12600&56700&-88200&44100\end{array}}\right].$

n × n हिल्बर्ट आव्यूह की स्थिति संख्या $O\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4n}/{\sqrt {n}}\right)$ के रूप में बढ़ती है।

अनुप्रयोग

अतः बहुपद वितरणों पर क्रियान्वित क्षणों की विधि के परिणामस्वरूप हेंकेल आव्यूह बनता है, इस प्रकार जो अंतराल [0, 1] पर संभाव्यता वितरण का अनुमान लगाने के विशेष स्थितियों में हिल्बर्ट आव्यूह में परिणामित होता है। बहुपद वितरण सन्निकटन के भार पैरामीटर प्राप्त करने के लिए इस आव्यूह को प्रतिलोमित करने की आवश्यकता है।

अग्रिम पठन

• Hilbert, David (1894), "Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms", Acta Mathematica, 18: 155–159, doi:10.1007/BF02418278, ISSN 0001-5962, JFM 25.0817.02. Reprinted in Hilbert, David. "article 21". Collected papers. Vol. II.
• Beckermann, Bernhard (2000). "The condition number of real Vandermonde, Krylov and positive definite Hankel matrices". Numerische Mathematik. 85 (4): 553–577. CiteSeerX 10.1.1.23.5979. doi:10.1007/PL00005392. S2CID 17777214.
• Choi, M.-D. (1983). "Tricks or Treats with the Hilbert Matrix". American Mathematical Monthly. 90 (5): 301–312. doi:10.2307/2975779. JSTOR 2975779.
• Todd, John (1954). "The Condition Number of the Finite Segment of the Hilbert Matrix". National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series. 39: 109–116.
• Wilf, H. S. (1970). Finite Sections of Some Classical Inequalities. Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-04809-1.