लॉगरैंक परीक्षण

लॉगरैंक परीक्षण, या लॉग-रैंक परीक्षण, दो नमूनों के उत्तरजीविता विश्लेषण वितरण की तुलना करने के लिए एक परिकल्पना परीक्षण है। यह एक गैर-पैरामीट्रिक परीक्षण है और जब डेटा सही ढंग से तिरछा हो और सेंसरिंग (सांख्यिकी) हो तो इसका उपयोग करना उचित है (तकनीकी रूप से, सेंसरिंग गैर-जानकारीपूर्ण होनी चाहिए)। नियंत्रण उपचार की तुलना में नए उपचार की प्रभावकारिता स्थापित करने के लिए नैदानिक ​​​​परीक्षणों में इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है जब माप घटना का समय होता है (जैसे कि प्रारंभिक उपचार से दिल का दौरा पड़ने तक का समय)। परीक्षण को कभी-कभी मेंटल-कॉक्स परीक्षण भी कहा जाता है। लॉगरैंक परीक्षण को समय-स्तरीकृत कोचरन-मेंटल-हेन्सज़ेल सांख्यिकी | कोचरन-मेंटल-हेन्सज़ेल परीक्षण के रूप में भी देखा जा सकता है।

परीक्षण सबसे पहले नाथन मेंटल द्वारा प्रस्तावित किया गया था और इसे रिचर्ड द फिफ्थ और जूलियन पेटो द्वारा लॉगरैंक टेस्ट नाम दिया गया था।

परिभाषा

लॉगरैंक परीक्षण आँकड़ा प्रत्येक देखे गए घटना समय पर दो समूहों के निरंतर अर्थ में विफलता दर # विफलता दर के अनुमानों की तुलना करता है। इसका निर्माण प्रत्येक देखे गए घटना समय पर किसी एक समूह में देखी गई और अपेक्षित घटनाओं की संख्या की गणना करके और फिर उन सभी समय बिंदुओं पर एक समग्र सारांश प्राप्त करने के लिए उन्हें जोड़कर किया जाता है जहां कोई घटना होती है।

रोगियों के दो समूहों पर विचार करें, उदाहरण के लिए, उपचार बनाम नियंत्रण। होने देना $1,\ldots ,J$ किसी भी समूह में देखी गई घटनाओं का अलग-अलग समय हो। होने देना $N_{1,j}$ और $N_{2,j}$ अवधि की शुरुआत में जोखिम वाले विषयों की संख्या (जिनका अभी तक कोई कार्यक्रम नहीं हुआ है या सेंसर नहीं किया गया है)। $j$ क्रमशः समूहों में. होने देना $O_{1,j}$ और $O_{2,j}$ समय पर समूहों में देखी गई घटनाओं की संख्या हो $j$. अंत में, परिभाषित करें $N_{j}=N_{1,j}+N_{2,j}$ और $O_{j}=O_{1,j}+O_{2,j}$.

शून्य परिकल्पना यह है कि दोनों समूहों के जोखिम कार्य समान हैं, $H_{0}:h_{1}(t)=h_{2}(t)$. अत:, के अंतर्गत $H_{0}$, प्रत्येक समूह के लिए $i=1,2$, $O_{i,j}$ पैरामीटरों के साथ हाइपरज्यामितीय वितरण का अनुसरण करता है $N_{j}$, $N_{i,j}$, $O_{j}$. इस वितरण का अपेक्षित मूल्य है $E_{i,j}=O_{j}{\frac {N_{i,j}}{N_{j}}}$ और विचरण $V_{i,j}=E_{i,j}\left({\frac {N_{j}-O_{j}}{N_{j}}}\right)\left({\frac {N_{j}-N_{i,j}}{N_{j}-1}}\right)$.

सभी के लिए $j=1,\ldots ,J$, लॉगरैंक आँकड़ा तुलना करता है $O_{i,j}$ इसकी अपेक्षा के अनुरूप $E_{i,j}$ अंतर्गत $H_{0}$. इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$Z_{i}={\frac {\sum _{j=1}^{J}(O_{i,j}-E_{i,j})}{\sqrt {\sum _{j=1}^{J}V_{i,j}}}}\ \xrightarrow {d} \ {\mathcal {N}}(0,1)$ (के लिए $i=1$ या $2$)

केंद्रीय सीमा प्रमेय#लायपुनोव सीएलटी द्वारा, प्रत्येक का वितरण $Z_{i}$ मानक सामान्य वितरण के समान अभिसरण करता है $J$ अनंत तक पहुंचता है और इसलिए पर्याप्त रूप से बड़े के लिए मानक सामान्य वितरण द्वारा अनुमान लगाया जा सकता है $J$. इस मात्रा को पहले चार क्षणों के मिलान के साथ पियर्सन प्रकार I या II (बीटा) वितरण के बराबर करके एक बेहतर अनुमान प्राप्त किया जा सकता है, जैसा कि पेटो और पेटो पेपर के परिशिष्ट बी में वर्णित है।

स्पर्शोन्मुख वितरण

यदि दोनों समूहों का उत्तरजीविता कार्य समान है, तो लॉगरैंक आँकड़ा लगभग मानक सामान्य है। एक तरफा स्तर $\alpha$ यदि परीक्षण शून्य परिकल्पना को अस्वीकार कर देगा $Z>z_{\alpha }$ कहाँ $z_{\alpha }$ ऊपरी है $\alpha$ मानक सामान्य वितरण की मात्रा. यदि खतरा अनुपात है $\lambda$, वहाँ हैं $n$ कुल विषय, $d$ यह संभावना है कि किसी भी समूह के किसी विषय में अंततः एक घटना होगी (ताकि)। $nd$ विश्लेषण के समय घटनाओं की अपेक्षित संख्या है), और प्रत्येक समूह में यादृच्छिक विषयों का अनुपात 50% है, तो लॉगरैंक आँकड़ा माध्य के साथ लगभग सामान्य है $(\log {\lambda })\,{\sqrt {\frac {n\,d}{4}}}$ और विचरण 1. एक तरफा स्तर के लिए $\alpha$ शक्ति के साथ परीक्षण करें $1-\beta$, आवश्यक नमूना आकार है $n={\frac {4\,(z_{\alpha }+z_{\beta })^{2}}{d\log ^{2}{\lambda }}}$ कहाँ $z_{\alpha }$ और $z_{\beta }$ मानक सामान्य वितरण की मात्राएँ हैं।

संयुक्त वितरण

कल्पना करना $Z_{1}$ और $Z_{2}$ एक ही अध्ययन में दो अलग-अलग समय बिंदुओं पर लॉगरैंक आँकड़े हैं ($Z_{1}$ पहले)। फिर से, मान लें कि दोनों समूहों में खतरे के कार्य खतरे के अनुपात के समानुपाती हैं $\lambda$ और $d_{1}$ और $d_{2}$ संभावनाएँ हैं कि एक विषय में दो समय बिंदुओं पर एक घटना होगी $d_{1}\leq d_{2}$. $Z_{1}$ और $Z_{2}$ माध्य के साथ लगभग द्विचर सामान्य हैं $\log {\lambda }\,{\sqrt {\frac {n\,d_{1}}{4}}}$ और $\log {\lambda }\,{\sqrt {\frac {n\,d_{2}}{4}}}$ और सहसंबंध ${\sqrt {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$. जब डेटा निगरानी समिति द्वारा एक अध्ययन के भीतर डेटा की कई बार जांच की जाती है, तो त्रुटि दर को सही ढंग से बनाए रखने के लिए संयुक्त वितरण से जुड़ी गणना की आवश्यकता होती है।

अन्य आँकड़ों से संबंध

• लॉगरैंक आँकड़ा दो समूहों की तुलना करने वाले आनुपातिक खतरों के मॉडल के लिए स्कोर परीक्षण के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। इसलिए यह उस मॉडल पर आधारित संभावना अनुपात परीक्षण आँकड़ों के समानुपाती है।
• लॉगरैंक आँकड़ा आनुपातिक खतरे के विकल्प के साथ वितरण के किसी भी परिवार के लिए संभावना अनुपात परीक्षण आँकड़ा के बराबर है। उदाहरण के लिए, यदि दो नमूनों के डेटा में घातीय वितरण है।
• अगर $Z$ लॉगरैंक आँकड़ा है, $D$ देखी गई घटनाओं की संख्या है, और ${\hat {\lambda }}$ तो, खतरे के अनुपात का अनुमान है $\log {\hat {\lambda }}\approx Z\,{\sqrt {4/D}}$. यह संबंध तब उपयोगी होता है जब दो मात्राएँ ज्ञात हों (उदाहरण के लिए किसी प्रकाशित लेख से), लेकिन तीसरी की आवश्यकता होती है।
• जब टिप्पणियों को सेंसर किया जाता है तो लॉगरैंक आँकड़े का उपयोग किया जा सकता है। यदि डेटा में सेंसर की गई टिप्पणियाँ मौजूद नहीं हैं तो विलकॉक्सन रैंक योग परीक्षण उपयुक्त है।
• लॉगरैंक आँकड़ा सभी गणनाओं को समान महत्व देता है, चाहे कोई भी घटना घटित होने का समय कुछ भी हो। बड़ी संख्या में अवलोकन होने पर पेटो लॉगरैंक परीक्षण आँकड़े पहले की घटनाओं को अधिक महत्व देते हैं।

धारणाओं का परीक्षण करें

लॉगरैंक परीक्षण कपलान-मेयर अनुमानक के समान मान्यताओं पर आधारित है | कपलान-मेयर अस्तित्व वक्र - अर्थात्, सेंसरिंग पूर्वानुमान से असंबंधित है, अध्ययन में जल्दी और देर से भर्ती किए गए विषयों और घटनाओं के लिए जीवित रहने की संभावनाएं समान हैं निर्दिष्ट समय पर हुआ। इन धारणाओं से विचलन सबसे अधिक मायने रखता है यदि वे तुलना किए जा रहे समूहों में अलग-अलग तरीके से संतुष्ट हैं, उदाहरण के लिए यदि एक समूह में दूसरे की तुलना में सेंसरिंग की अधिक संभावना है।

यह भी देखें

• कपलान-मेयर अनुमानक
• खतरे का अनुपात