मैट्रिक्स का लघुगणक

गणित में, एक मैट्रिक्स का लघुगणक एक अन्य मैट्रिक्स (गणित) होता है, जैसे कि बाद वाले मैट्रिक्स का मैट्रिक्स घातांक मूल मैट्रिक्स के बराबर होता है। इस प्रकार यह अदिश लघुगणक का सामान्यीकरण है और कुछ अर्थों में मैट्रिक्स घातांक का व्युत्क्रम फलन है। सभी आव्यूहों में लघुगणक नहीं होता और जिन आव्यूहों में लघुगणक होता है उनमें एक से अधिक लघुगणक हो सकते हैं। आव्यूहों के लघुगणक का अध्ययन लाई सिद्धांत की ओर ले जाता है क्योंकि जब किसी मैट्रिक्स में लघुगणक होता है तो वह लाई समूह के एक तत्व में होता है और लघुगणक लाई बीजगणित के वेक्टर स्थान का संगत तत्व होता है।

परिभाषा

मैट्रिक्स_एक्सपोनेंशियल ए द्वारा परिभाषित किया गया है

$e^{A}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}$.

एक मैट्रिक्स बी को देखते हुए, दूसरे मैट्रिक्स ए को 'मैट्रिक्स लॉगरिदम' कहा जाता है B if e^A = B. क्योंकि घातांकीय फलन सम्मिश्र संख्याओं के लिए विशेषण नहीं है (उदा. $e^{\pi i}=e^{3\pi i}=-1$), संख्याओं में एकाधिक जटिल लघुगणक हो सकते हैं, और इसके परिणामस्वरूप, कुछ आव्यूहों में एक से अधिक लघुगणक हो सकते हैं, जैसा कि नीचे बताया गया है।

शक्ति श्रृंखला अभिव्यक्ति

यदि बी पहचान मैट्रिक्स के पर्याप्त रूप से करीब है, तो बी के लघुगणक की गणना निम्नलिखित शक्ति श्रृंखला के माध्यम से की जा सकती है:

$\log(B)=\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)^{k+1}{\frac {(B-I)^{k}}{k}}}=(B-I)-{\frac {(B-I)^{2}}{2}}+{\frac {(B-I)^{3}}{3}}-{\frac {(B-I)^{4}}{4}}+\cdots$.

विशेष रूप से, यदि $\left\|B-I\right\|<1$, फिर पूर्ववर्ती श्रृंखला अभिसरण करती है और $e^{\log(B)}=B$.

उदाहरण: समतल में घूर्णन का लघुगणक

समतल में घूमना एक सरल उदाहरण देता है। मूल बिंदु के चारों ओर कोण α का घूर्णन 2×2-मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है

$A={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\\\end{pmatrix}}.$

किसी भी पूर्णांक n के लिए, मैट्रिक्स

$B_{n}=(\alpha +2\pi n){\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}},$

A का लघुगणक है।

style="background: #F0F2F5; font-size:87%; padding:0.2em 0.3em; text-align:center; " | Proof

$\log(A)=B_{n}~$⇔$~~e^{B_{n}}=A$ $e^{B_{n}}=\sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}B_{n}^{k}~$ कहां $(B_{n})^{0}=1~I_{2},$ $(B_{n})^{1}=(\alpha +2\pi n){\begin{pmatrix}0&-1\\+1&0\\\end{pmatrix}},$ $(B_{n})^{2}=(\alpha +2\pi n)^{2}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}},$ $(B_{n})^{3}=(\alpha +2\pi n)^{3}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}},$ $(B_{n})^{4}=(\alpha +2\pi n)^{4}~I_{2}$ … $\sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}B_{n}^{k}={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\\\end{pmatrix}}=A~.$ प्राणी

इस प्रकार, मैट्रिक्स A में अपरिमित रूप से कई लघुगणक हैं। यह इस तथ्य से मेल खाता है कि घूर्णन कोण केवल 2π के गुणकों तक ही निर्धारित होता है।

लाई सिद्धांत की भाषा में, रोटेशन मैट्रिक्स ए, लाई ग्रुप वृत्त समूह|एसओ(2) के तत्व हैं। संबंधित लघुगणक बी, ली बीजगणित so(2) के तत्व हैं, जिसमें सभी तिरछा-सममित मैट्रिक्स | तिरछा-सममित मैट्रिक्स शामिल हैं। गणित का सवाल

${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}$

झूठ बीजगणित का एक जनरेटर है इसलिए(2)।

अस्तित्व

जब जटिल सेटिंग में विचार किया जाता है तो इस प्रश्न का उत्तर सबसे आसान होता है कि मैट्रिक्स में लघुगणक है या नहीं। एक जटिल मैट्रिक्स में एक लघुगणक होता है यदि और केवल तभी जब यह उलटा मैट्रिक्स हो। लघुगणक अद्वितीय नहीं है, लेकिन यदि किसी मैट्रिक्स में कोई नकारात्मक वास्तविक eigenvalues ​​​​नहीं है, तो एक अद्वितीय लघुगणक है जिसमें सभी eigenvalues ​​​​पट्टी {z ∈ 'C' | −π < Im z < π}. इस लघुगणक को प्रमुख लघुगणक के रूप में जाना जाता है। उत्तर वास्तविक सेटिंग में अधिक शामिल है। एक वास्तविक मैट्रिक्स में एक वास्तविक लघुगणक होता है यदि और केवल यदि यह उलटा हो और नकारात्मक eigenvalue से संबंधित प्रत्येक जॉर्डन ब्लॉक सम संख्या में होता है। यदि एक उलटा वास्तविक मैट्रिक्स जॉर्डन ब्लॉक के साथ शर्त को पूरा नहीं करता है, तो इसमें केवल गैर-वास्तविक लघुगणक हैं। इसे अदिश मामले में पहले से ही देखा जा सकता है: लघुगणक की कोई भी शाखा -1 पर वास्तविक नहीं हो सकती है। वास्तविक 2×2 आव्यूहों के वास्तविक मैट्रिक्स लघुगणक के अस्तित्व पर बाद के अनुभाग में विचार किया गया है।

गुण

यदि A और B दोनों धनात्मक-निश्चित आव्यूह हैं, तो

$\operatorname {tr} {\log {(AB)}}=\operatorname {tr} {\log {(A)}}+\operatorname {tr} {\log {(B)}}.$

मान लीजिए कि ए और बी आवागमन करते हैं, जिसका अर्थ है कि एबी = बीए। तब

$\log {(AB)}=\log {(A)}+\log {(B)}\,$

अगर और केवल अगर $\operatorname {arg} (\mu _{j})+\operatorname {arg} (\nu _{j})\in (-\pi ,\pi ]$, कहाँ $\mu _{j}$ का एक प्रतिरूप है $A$ और $\nu _{j}$ का संगत eigenvalue है $B$. विशेष रूप से, $\log(AB)=\log(A)+\log(B)$ जब ए और बी आवागमन करते हैं और दोनों निश्चित मैट्रिक्स | सकारात्मक-निश्चित हैं। सेटिंग बी = ए^{इस समीकरण में −1} प्राप्त होता है

$\log {(A^{-1})}=-\log {(A)}.$

इसी तरह, गैर-यात्रा के लिए भी $A$ और $B$, कोई इसे दिखा सकता है

$\log {(A+tB)}=\log {(A)}+t\int _{0}^{\infty }dz~{\frac {I}{A+zI}}B{\frac {I}{A+zI}}+O(t^{2}).$

अधिक सामान्यतः, की एक श्रृंखला का विस्तार $\log {(A+tB)}$ की शक्तियों में $t$ लघुगणक की अभिन्न परिभाषा का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है

$\log {(X+\lambda I)}-\log {(X)}=\int _{0}^{\lambda }dz{\frac {I}{X+zI}},$

दोनों पर लागू $X=A$ और $X=A+tB$ सीमा में $\lambda \rightarrow \infty$.

अगला उदाहरण: 3डी अंतरिक्ष में घूर्णन का लघुगणक

एक घुमाव R ℝ³ में SO(3) एक 3×3 ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स द्वारा दिया गया है।

ऐसे घूर्णन मैट्रिक्स का लघुगणक R की गणना रोड्रिग्स के रोटेशन फॉर्मूले के एंटीसिमेट्रिक भाग से आसानी से की जा सकती है, स्पष्ट रूप से एक्सिस-कोण प्रतिनिधित्व#लॉग मैप में SO.283.29 से so.283.29 तक। यह न्यूनतम फ्रोबेनियस मानदंड का लघुगणक उत्पन्न करता है, लेकिन जब विफल हो जाता है R का eigenvalues ​​−1 के बराबर है जहां यह अद्वितीय नहीं है।

आगे ध्यान दें कि, दिए गए रोटेशन मैट्रिक्स ए और बी,

$d_{g}(A,B):=\|\log(A^{\top }B)\|_{F}$

रोटेशन मैट्रिसेस के 3डी मैनिफोल्ड पर जियोडेसिक दूरी है।

विकर्णीय मैट्रिक्स के लघुगणक की गणना

विकर्णीय मैट्रिक्स उलटा के लिए एलएन ए खोजने की एक विधि निम्नलिखित है:

A के eigenvectors का मैट्रिक्स V खोजें (V का प्रत्येक स्तंभ A का eigenvector है)।

आव्यूह का व्युत्क्रम V ज्ञात कीजिए⁻¹वी का.

होने देना

$A'=V^{-1}AV.\,$

तब A' एक विकर्ण मैट्रिक्स होगा जिसके विकर्ण तत्व A के eigenvalues ​​​​हैं।

प्राप्त करने के लिए A' के प्रत्येक विकर्ण तत्व को उसके (प्राकृतिक) लघुगणक से बदलें $\log A'$.

तब

$\log A=V(\log A')V^{-1}.\,$

A का लघुगणक एक जटिल मैट्रिक्स हो सकता है, भले ही A वास्तविक हो, तो इस तथ्य से पता चलता है कि वास्तविक और सकारात्मक प्रविष्टियों वाले मैट्रिक्स में फिर भी नकारात्मक या जटिल eigenvalues ​​​​हो सकते हैं (उदाहरण के लिए रोटेशन मैट्रिक्स के लिए यह सच है)। मैट्रिक्स के लघुगणक की गैर-विशिष्टता एक जटिल संख्या के लघुगणक की गैर-विशिष्टता से उत्पन्न होती है।

एक गैर-विकर्णीय मैट्रिक्स का लघुगणक

ऊपर दर्शाया गया एल्गोरिदम गैर-विकर्णीय मैट्रिक्स जैसे कि के लिए काम नहीं करता है

${\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.$

ऐसे मैट्रिक्स के लिए किसी को इसके जॉर्डन सामान्य रूप को खोजने की आवश्यकता होती है और, ऊपर दिए गए विकर्ण प्रविष्टियों के लघुगणक की गणना करने के बजाय, जॉर्डन मैट्रिक्स के लघुगणक की गणना करनी होगी।

उत्तरार्द्ध को इस बात पर ध्यान देकर पूरा किया जाता है कि कोई जॉर्डन ब्लॉक को इस प्रकार लिख सकता है

$B={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\0&0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&0&\lambda \\\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}1&\lambda ^{-1}&0&0&\cdots &0\\0&1&\lambda ^{-1}&0&\cdots &0\\0&0&1&\lambda ^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&1&\lambda ^{-1}\\0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}=\lambda (I+K)$

जहां K एक मैट्रिक्स है जिसके मुख्य विकर्ण पर और नीचे शून्य है। (संख्या λ इस धारणा से शून्य नहीं है कि जिस मैट्रिक्स का लघुगणक लेने का प्रयास किया जाता है वह उलटा होता है।)

फिर, मर्केटर श्रृंखला द्वारा

$\log(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots$

एक मिलता है

$\log B=\log {\big (}\lambda (I+K){\big )}=\log(\lambda I)+\log(I+K)=(\log \lambda )I+K-{\frac {K^{2}}{2}}+{\frac {K^{3}}{3}}-{\frac {K^{4}}{4}}+\cdots$

इस श्रृंखला (गणित) में पदों की एक सीमित संख्या है (K^mशून्य है यदि m, K के आयाम के बराबर या उससे अधिक है), और इसलिए इसका योग अच्छी तरह से परिभाषित है।

इस दृष्टिकोण का उपयोग करके कोई पाता है

$\log {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.$

एक कार्यात्मक विश्लेषण परिप्रेक्ष्य

एक वर्ग मैट्रिक्स यूक्लिडियन स्थान आर पर एक रैखिक ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता हैⁿ जहां n मैट्रिक्स का आयाम है। चूँकि ऐसा स्थान परिमित-आयामी है, यह ऑपरेटर वास्तव में परिबद्ध ऑपरेटर है।

होलोमोर्फिक कार्यात्मक कैलकुलस के उपकरणों का उपयोग करते हुए, जटिल विमान में एक खुले सेट और एक बंधे हुए रैखिक ऑपरेटर टी पर परिभाषित एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन एफ को देखते हुए, कोई एफ (टी) की गणना कर सकता है जब तक एफ को टी के ऑपरेटर के स्पेक्ट्रम पर परिभाषित किया जाता है। .

फ़ंक्शन f(z)=log z को जटिल तल में किसी भी सरल रूप से जुड़े खुले सेट पर परिभाषित किया जा सकता है जिसमें मूल नहीं है, और यह ऐसे डोमेन पर होलोमोर्फिक है। इसका तात्पर्य यह है कि कोई एलएन टी को तब तक परिभाषित कर सकता है जब तक कि टी के स्पेक्ट्रम में मूल शामिल नहीं है और मूल से अनंत तक जाने वाला एक पथ है जो टी के स्पेक्ट्रम को पार नहीं करता है (उदाहरण के लिए, यदि टी का स्पेक्ट्रम एक वृत्त है) इसके अंदर उत्पत्ति, एलएन टी) को परिभाषित करना असंभव है।

'आर' पर एक रैखिक ऑपरेटर का स्पेक्ट्रमⁿ इसके मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​का सेट है, और इसलिए यह एक परिमित सेट है। जब तक मूल स्पेक्ट्रम में नहीं है (मैट्रिक्स उलटा है), पिछले पैराग्राफ से पथ की स्थिति संतुष्ट है, और एलएन टी अच्छी तरह से परिभाषित है। मैट्रिक्स लघुगणक की गैर-विशिष्टता इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि कोई व्यक्ति लघुगणक की एक से अधिक शाखा चुन सकता है जिसे मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​के सेट पर परिभाषित किया गया है।

एक झूठ समूह सिद्धांत परिप्रेक्ष्य

लाई समूहों के सिद्धांत में, लाई बीजगणित से एक घातीय मानचित्र (लाई सिद्धांत) होता है ${\mathfrak {g}}$ संगत लाई समूह जी के लिए

$\exp :{\mathfrak {g}}\rightarrow G.$

मैट्रिक्स झूठ समूहों के लिए, के तत्व ${\mathfrak {g}}$ और G वर्ग आव्यूह हैं और घातांकीय मानचित्र मैट्रिक्स घातांक द्वारा दिया गया है। उलटा नक्शा $\log =\exp ^{-1}$ बहुमूल्यांकित है और यहां चर्चा किए गए मैट्रिक्स लघुगणक के साथ मेल खाता है। लघुगणक लाई समूह जी से लाई बीजगणित में मैप करता है ${\mathfrak {g}}$. ध्यान दें कि घातीय मानचित्र शून्य मैट्रिक्स के पड़ोस यू के बीच एक स्थानीय भिन्नता है ${\underline {0}}\in {\mathfrak {g}}$ और पहचान मैट्रिक्स का एक पड़ोस V ${\underline {1}}\in G$. इस प्रकार (मैट्रिक्स) लघुगणक एक मानचित्र के रूप में अच्छी तरह से परिभाषित है,

$\log :G\supset V\rightarrow U\subset {\mathfrak {g}}.$

जैकोबी के सूत्र का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है

$\log(\det(A))=\mathrm {tr} (\log A)~.$

2 × 2 मामले में बाधाएँ

यदि 2 × 2 वास्तविक मैट्रिक्स में एक नकारात्मक निर्धारक है, तो इसका कोई वास्तविक लघुगणक नहीं है। पहले ध्यान दें कि किसी भी 2 × 2 वास्तविक मैट्रिक्स को जटिल संख्या z = x + y ε के तीन प्रकारों में से एक माना जा सकता है, जहां ε² ∈ { −1, 0, +1 }। यह z आव्यूहों के वलय (गणित) के एक जटिल उपतल पर एक बिंदु है। ऐसा मामला जहां निर्धारक ऋणात्मक है, केवल ε² =+1 वाले विमान में उत्पन्न होता है, जो एक विभाजित-जटिल संख्या विमान है। इस तल का केवल एक चौथाई भाग घातीय मानचित्र की छवि है, इसलिए लघुगणक केवल उस तिमाही (चतुर्थांश) पर परिभाषित किया गया है। अन्य तीन चतुर्थांश ε और -1 द्वारा उत्पन्न क्लेन चार-समूह के अंतर्गत इसकी छवियां हैं।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए a = log 2 ; तब कॉश ए = 5/4 और सिंह ए = 3/4। मैट्रिक्स के लिए, इसका मतलब यह है

$A=\exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh a&\sinh a\\\sinh a&\cosh a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.25&.75\\.75&1.25\end{pmatrix}}$.

तो इस अंतिम मैट्रिक्स में लघुगणक है

$\log A={\begin{pmatrix}0&\log 2\\\log 2&0\end{pmatrix}}$.

हालाँकि, इन आव्यूहों में लघुगणक नहीं होता है:

${\begin{pmatrix}3/4&5/4\\5/4&3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-3/4&-5/4\\-5/4&-3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-5/4&-3/4\\-3/4&-5/4\end{pmatrix}}$.

वे उपरोक्त मैट्रिक्स के चार-समूह द्वारा तीन अन्य संयुग्मों का प्रतिनिधित्व करते हैं जिनमें लघुगणक होता है।

एक गैर-एकवचन 2 x 2 मैट्रिक्स में आवश्यक रूप से एक लघुगणक नहीं होता है, लेकिन यह चार-समूह द्वारा एक मैट्रिक्स से संयुग्मित होता है जिसमें एक लघुगणक होता है।

इससे यह भी पता चलता है कि, उदाहरण के लिए, 2 बटा 2 मैट्रिक्स ए का वर्गमूल सीधे घातांक (लॉगए)/2 से प्राप्त किया जा सकता है,

${\sqrt {A}}={\begin{pmatrix}\cosh((\log 2)/2)&\sinh((\log 2)/2)\\\sinh((\log 2)/2)&\cosh((\log 2)/2)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.06&.35\\.35&1.06\end{pmatrix}}~.$

एक समृद्ध उदाहरण के लिए, पाइथागोरस ट्रिपल (p,q,r) से प्रारंभ करें और जाने a = log(p + r) − log q. तब

$e^{a}={\frac {p+r}{q}}=\cosh a+\sinh a$.

अब

$\exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r/q&p/q\\p/q&r/q\end{pmatrix}}$.

इस प्रकार

${\tfrac {1}{q}}{\begin{pmatrix}r&p\\p&r\end{pmatrix}}$

लघुगणक मैट्रिक्स है

${\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}$ ,

कहाँ a = log(p + r) − log q.

यह भी देखें

• मैट्रिक्स फ़ंक्शन
• मैट्रिक्स का वर्गमूल
• मैट्रिक्स घातांक
• बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ फॉर्मूला
• घातांकीय मानचित्र का व्युत्पन्न

संदर्भ

• Gantmacher, Felix R. (1959), The Theory of Matrices, vol. 1, New York: Chelsea, pp. 239–241.
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Culver, Walter J. (1966), "On the existence and uniqueness of the real logarithm of a matrix", Proceedings of the American Mathematical Society, 17 (5): 1146–1151, doi:10.1090/S0002-9939-1966-0202740-6, ISSN 0002-9939.
• Higham, Nicholas (2008), Functions of Matrices. Theory and Computation, SIAM, ISBN 978-0-89871-646-7.
• Engø, Kenth (June 2001), "On the BCH-formula in so(3)", BIT Numerical Mathematics, 41 (3): 629–632, doi:10.1023/A:1021979515229, ISSN 0006-3835, S2CID 126053191