विरल बहुपद

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गणित में, एक विरल बहुपद (लैकुनरी बहुपद [1] या फ़ेनोनोमियल भी)[2] एक बहुपद है जिसमें इसकी डिग्री और चर की संख्या की तुलना में बहुत कम पद होते हैं। उदाहरण के लिए, x10 + 3x3 - 1 एक विरल बहुपद है क्योंकि यह 10 की घात वाला एक त्रिपद है।

विरल बहुपदों का अध्ययन करने की प्रेरणा उसकी डिग्री के अतिरिक्त बहुपद के एकपदी की संरचना पर ध्यान केंद्रित करना है, जैसा कि कोई देख सकता है, उदाहरण के लिए, बर्नस्टीन-कुश्निरेंको प्रमेय की तुलना बेज़ौट के प्रमेय से करके विरल बहुपदों पर शोध में कलन विधि पर काम भी सम्मिलित है जिसका चलने का समय डिग्री के अतिरिक्त शब्दों की संख्या के आधार पर बढ़ता है,[3] बहुपद गुणन सहित समस्याओं के लिए[4][5], बहुपद विभाजन,[6] रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम,[7] और बहुपद महत्तम सामान्य भाजक[8] विरल बहुपदों का उपयोग शुद्ध गणित में भी किया गया है, विशेष रूप से गैलोज़ समूहों के अध्ययन में, क्योंकि अन्य बहुपदों की तुलना में विरल बहुपदों के कुछ वर्गों के गैलोज़ समूहों को निर्धारित करना आसान है।[9]

विरल बहुपदों द्वारा निर्धारित बीजीय विविधता में एक सरल संरचना होती है, जो कुछ संबंधित अंतर समीकरण के समाधान की संरचना में भी परिलक्षित होती है।[2] इसके अतिरिक्त, एक विरल विरल बहुपद के लिए एक विरल सकारात्मकता उपस्थित है। इसमें कहा गया है कि एक बहुपद की गैर-ऋणात्मकता को एसओएस बहुपद द्वारा प्रमाणित किया जा सकता है जिसकी डिग्री केवल बहुपद के एकपदी की संख्या पर निर्भर करती है।[10]

विरल बहुपद अधिकांशतः घात समीकरणों के योग या अंतर में आते हैं। दो घनों का योग यह बताता है की (a + b)(a2 - 2ab + b2) = a3 + b3.यहाँ a3 + b3, एक विरल बहुपद है।

संदर्भ

  1. ↑ Rédei, L. (1973), Lacunary polynomials over finite fields, translated by Földes, I., Elsevier, MR 0352060
  2. ↑ 2.0 2.1 Khovanskiĭ, A. G. (1991), Fewnomials, Translations of Mathematical Monographs, vol. 88, translated by Zdravkovska, Smilka, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, doi:10.1090/mmono/088, ISBN 0-8218-4547-0, MR 1108621
  3. ↑ Roche, Daniel S. (2018), "What can (and can't) we do with sparse polynomials?", in Kauers, Manuel; Ovchinnikov, Alexey; Schost, Éric (eds.), Proceedings of the 2018 ACM on International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ISSAC 2018, New York, NY, USA, July 16-19, 2018, Association for Computing Machinery, pp. 25–30, arXiv:1807.08289, doi:10.1145/3208976.3209027, S2CID 49868973
  4. ↑ Nakos, Vasileios (2020), "Nearly optimal sparse polynomial multiplication", IEEE Transactions on Information Theory, 66 (11): 7231–7236, arXiv:1901.09355, doi:10.1109/TIT.2020.2989385, MR 4173637, S2CID 59316578
  5. ↑ Giorgi, Pascal; Grenet, Bruno; Perret du Cray, Armelle (2020), "Essentially optimal sparse polynomial multiplication", Proceedings of the 45th International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC '20)., Association for Computing Machinery, pp. 202–209, arXiv:2001.11959, doi:10.1145/3373207.3404026, S2CID 211003922
  6. ↑ Giorgi, Pascal; Grenet, Bruno; Perret du Cray, Armelle (2021), "On Exact Division and Divisibility Testing for Sparse Polynomials", Proceedings of the 2021 on International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC '21)., Association for Computing Machinery, pp. 163–170, arXiv:2102.04826, doi:10.1145/3452143.3465539, S2CID 231855563
  7. ↑ Pan, Victor Y. (2020), "Acceleration of subdivision root-finding for sparse polynomials", Computer algebra in scientific computing, Lecture Notes in Computer Science, vol. 12291, Cham: Springer, pp. 461–477, doi:10.1007/978-3-030-60026-6_27, MR 4184190, S2CID 224820309
  8. ↑ Zippel, Richard (1979), "Probabilistic algorithms for sparse polynomials", Symbolic and algebraic computation (EUROSAM '79, Internat. Sympos., Marseille, 1979), Lecture Notes in Computer Science, vol. 72, Berlin, New York: Springer, pp. 216–226, MR 0575692
  9. ↑ Cohen, S. D.; Movahhedi, A.; Salinier, A. (1999), "Galois groups of trinomials", Journal of Algebra, 222 (2): 561–573, doi:10.1006/jabr.1999.8033, MR 1734229
  10. ↑ Averkov, Gennadiy; Scheiderer, Claus (2023-03-07). "एकपदी वक्रों के उत्तल पतवार, और एक विरल सकारात्मकता". arXiv:2303.03826 [math.OC].


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