सामान्यीकृत क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स

गणित में, एक सामान्यीकृत क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स (या मोनोमियल मैट्रिक्स) एक मैट्रिक्स (गणित) है जिसमें क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स के समान गैर-शून्य पैटर्न होता है, अर्थात प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ में बिल्कुल एक गैर-शून्य प्रविष्टि होती है। क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स के विपरीत, जहां गैर-शून्य प्रविष्टि 1 होनी चाहिए, सामान्यीकृत क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स में गैर-शून्य प्रविष्टि कोई भी गैर-शून्य मान हो सकती है। सामान्यीकृत क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स का एक उदाहरण है

${\begin{bmatrix}0&0&3&0\\0&-7&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}.$

संरचना

एक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स ए एक सामान्यीकृत क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स है यदि और केवल यदि इसे एक व्युत्क्रमणीय विकर्ण मैट्रिक्स डी और एक (अंतर्निहित व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स) क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स पी के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है: यानी,

$A=DP.$

समूह संरचना

फ़ील्ड (गणित) F में प्रविष्टियों के साथ n × n सामान्यीकृत क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स का सेट (गणित) सामान्य रैखिक समूह GL(n, F) का एक उपसमूह बनाता है, जिसमें उलटा मैट्रिक्स विकर्ण मैट्रिक्स का समूह Δ(n, F) होता है। ) एक सामान्य उपसमूह बनाता है। वास्तव में, सामान्यीकृत क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स विकर्ण मैट्रिक्स के सामान्यीकरणकर्ता हैं, जिसका अर्थ है कि सामान्यीकृत क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स जीएल (एन, एफ) का सबसे बड़ा उपसमूह हैं जिसमें विकर्ण मैट्रिक्स सामान्य हैं।

सामान्यीकृत क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स का अमूर्त समूह एफ का पुष्प उत्पाद है^×और एस_n. सीधे तौर पर, इसका मतलब यह है कि यह सममित समूह S द्वारा Δ(n, F) का अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद है_n:

एस_n ⋉ Δ(एन, एफ),

जहां एस_n निर्देशांक और विकर्ण आव्यूहों को क्रमपरिवर्तित करके कार्य करता है Δ(n, F) n-गुना उत्पाद (F) के लिए समूह समरूपता है^×)ⁿ.

सटीक होने के लिए, सामान्यीकृत क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स इस अमूर्त पुष्प उत्पाद का एक (वफादार) रैखिक प्रतिनिधित्व है: मैट्रिक्स के उपसमूह के रूप में अमूर्त समूह का एक अहसास।

उपसमूह

• उपसमूह जहां सभी प्रविष्टियां 1 हैं, बिल्कुल क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स है, जो सममित समूह के लिए समरूपी है।
• वह उपसमूह जहां सभी प्रविष्टियाँ ±1 हैं, हस्ताक्षरित क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स है, जो हाइपरऑक्टाहेड्रल समूह है।
• वह उपसमूह जहां प्रविष्टियाँ एकता की मूल जड़ें हैं $\mu _{m}$ एक सामान्यीकृत सममित समूह के लिए समरूपी है।
• विकर्ण आव्यूहों का उपसमूह एबेलियन समूह, सामान्य और अधिकतम एबेलियन उपसमूह है। भागफल समूह सममित समूह है, और यह निर्माण वास्तव में सामान्य रैखिक समूह का वेइल समूह है: विकर्ण मैट्रिक्स सामान्य रैखिक समूह में एक अधिकतम टोरस हैं (और अपने स्वयं के केंद्रीकरणकर्ता हैं), सामान्यीकृत क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स सामान्यीकरणकर्ता हैं इस टोरस का, और भागफल का, $N(T)/Z(T)=N(T)/T\cong S_{n}$ वेइल समूह है.

गुण

• यदि एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स और इसका व्युत्क्रम दोनों गैर-नकारात्मक मैट्रिक्स हैं (अर्थात गैर-नकारात्मक प्रविष्टियों वाले मैट्रिक्स), तो मैट्रिक्स एक सामान्यीकृत क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स है।
• सामान्यीकृत क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स का निर्धारक द्वारा दिया गया है
  $$\det(G)=\det(P)\cdot \det(D)=\operatorname {sgn} (\pi )\cdot d_{11}\cdot \ldots \cdot d_{nn},$$
  कहाँ $\operatorname {sgn} (\pi )$ क्रमपरिवर्तन के क्रमपरिवर्तन का संकेत है $\pi$ के साथ जुड़े $P$ और $d_{11},\ldots ,d_{nn}$ के विकर्ण तत्व हैं $D$.

सामान्यीकरण

प्रविष्टियों को किसी फ़ील्ड के बजाय रिंग (गणित) में रखने की अनुमति देकर कोई और अधिक सामान्यीकरण कर सकता है। उस स्थिति में यदि गैर-शून्य प्रविष्टियों को रिंग में इकाई (रिंग सिद्धांत) होना आवश्यक है, तो व्यक्ति को फिर से एक समूह प्राप्त होता है। दूसरी ओर, यदि गैर-शून्य प्रविष्टियों को केवल गैर-शून्य होना आवश्यक है, लेकिन आवश्यक रूप से उलटा नहीं है, तो मैट्रिक्स का यह सेट इसके बजाय एक अर्धसमूह बनाता है।

कोई योजनाबद्ध रूप से गैर-शून्य प्रविष्टियों को समूह जी में झूठ बोलने की अनुमति भी दे सकता है, इस समझ के साथ कि मैट्रिक्स गुणन में केवल समूह तत्वों की एक जोड़ी को गुणा करना शामिल होगा, समूह तत्वों को जोड़ना नहीं। यह संकेतन का दुरुपयोग है, क्योंकि गुणा किए जाने वाले मैट्रिक्स के तत्व को गुणा और जोड़ की अनुमति देनी चाहिए, लेकिन (औपचारिक रूप से सही) अमूर्त समूह के लिए यह विचारोत्तेजक धारणा है $G\wr S_{n}$ (सममित समूह द्वारा समूह जी का पुष्पांजलि उत्पाद)।

हस्ताक्षरित क्रमपरिवर्तन समूह

Further information: Hyperoctahedral group

एक हस्ताक्षरित क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स एक सामान्यीकृत क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स है जिसकी गैर-शून्य प्रविष्टियाँ ±1 हैं, और पूर्णांक व्युत्क्रम के साथ पूर्णांक सामान्यीकृत क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स हैं।

गुण

• यह कॉक्सेटर समूह है $B_{n}$, और आदेश है (समूह सिद्धांत) $2^{n}n!$.
• यह अतिविम का समरूपता समूह और (द्वैत) क्रॉस-पॉलीटोप का है।
• मैट्रिक्स के उपसमूह 2 उपसमूह का इसका सूचकांक, उनके अंतर्निहित (अहस्ताक्षरित) क्रमपरिवर्तन के बराबर निर्धारक के साथ कॉक्सेटर समूह है $D_{n}$ और डेमीहाइपरक्यूब का समरूपता समूह है।
• यह ऑर्थोगोनल समूह का एक उपसमूह है।

अनुप्रयोग

एकपदी निरूपण

Main article: Monomial representation

एकपदी निरूपण के संदर्भ में प्रतिनिधित्व सिद्धांत में एकपदी आव्यूह पाए जाते हैं। समूह G का एकपदी निरूपण एक रैखिक निरूपण है ρ : G → GL(n, F) G का (यहाँ F प्रतिनिधित्व का परिभाषित क्षेत्र है) जैसे कि छवि (गणित) ρ(G) एकपदी मैट्रिक्स के समूह का एक उपसमूह है।

संदर्भ

• Joyner, David (2008). Adventures in group theory. Rubik's cube, Merlin's machine, and other mathematical toys (2nd updated and revised ed.). Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-9012-3. Zbl 1221.00013.