गणित में, विभाजित अंतर एक कलन विधि है, जिसका उपयोग ऐतिहासिक रूप से लघुगणक और त्रिकोणमितीय कार्य ों की तालिकाओं की गणना के लिए किया जाता है।[citation needed चार्ल्स बैबेज का अंतर इंजन , एक प्रारंभिक यांत्रिक कैलकुलेटर , अपने संचालन में इस एल्गोरिदम का उपयोग करने के लिए डिज़ाइन किया गया था।[1] ( x 0 , y 0 ) , … , ( x n , y n ) {\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n},y_{n})} न्यूटन बहुपद में इन बिंदुओं के बहुपद प्रक्षेप के गुणांक की गणना करती है।
परिभाषा n + 1 डेटा पॉइंट दिया गया है
( x 0 , y 0 ) , … , ( x n , y n ) {\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}
जहां
x k {\displaystyle x_{k}} जोड़ीवार अलग-अलग माना जाता है, आगे विभाजित मतभेदों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
[ y k ] := y k , k ∈ { 0 , … , n } [ y k , … , y k + j ] := [ y k + 1 , … , y k + j ] − [ y k , … , y k + j − 1 ] x k + j − x k , k ∈ { 0 , … , n − j } , j ∈ { 1 , … , n } . {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathopen {[}}y_{k}]&:=y_{k},&&k\in \{0,\ldots ,n\}\\{\mathopen {[}}y_{k},\ldots ,y_{k+j}]&:={\frac {[y_{k+1},\ldots ,y_{k+j}]-[y_{k},\ldots ,y_{k+j-1}]}{x_{k+j}-x_{k}}},&&k\in \{0,\ldots ,n-j\},\ j\in \{1,\ldots ,n\}.\end{aligned}}}
गणना की पुनरावर्ती प्रक्रिया को स्पष्ट करने के लिए, विभाजित अंतरों को सारणीबद्ध रूप में रखा जा सकता है, जहां कॉलम उपरोक्त j के मान के अनुरूप होते हैं, और तालिका में प्रत्येक प्रविष्टि की गणना उसके तत्काल निचले बाएँ और उसके तत्काल ऊपरी बाएँ प्रविष्टियों के अंतर से की जाती है, जो संबंधित x-मानों के अंतर से विभाजित होती है:
x 0 y 0 = [ y 0 ] [ y 0 , y 1 ] x 1 y 1 = [ y 1 ] [ y 0 , y 1 , y 2 ] [ y 1 , y 2 ] [ y 0 , y 1 , y 2 , y 3 ] x 2 y 2 = [ y 2 ] [ y 1 , y 2 , y 3 ] [ y 2 , y 3 ] x 3 y 3 = [ y 3 ] {\displaystyle {\begin{matrix}x_{0}&y_{0}=[y_{0}]&&&\\&&[y_{0},y_{1}]&&\\x_{1}&y_{1}=[y_{1}]&&[y_{0},y_{1},y_{2}]&\\&&[y_{1},y_{2}]&&[y_{0},y_{1},y_{2},y_{3}]\\x_{2}&y_{2}=[y_{2}]&&[y_{1},y_{2},y_{3}]&\\&&[y_{2},y_{3}]&&\\x_{3}&y_{3}=[y_{3}]&&&\\\end{matrix}}}
संकेतन ध्यान दें कि विभाजित अंतर [ y k , … , y k + j ] {\displaystyle [y_{k},\ldots ,y_{k+j}]} x k , … , x k + j {\displaystyle x_{k},\ldots ,x_{k+j}} y k , … , y k + j {\displaystyle y_{k},\ldots ,y_{k+j}}
( x 0 , f ( x 0 ) ) , … , ( x k , f ( x n ) ) {\displaystyle (x_{0},f(x_{0})),\ldots ,(x_{k},f(x_{n}))}
कोई कभी-कभी लिखता है
f [ x k , … , x k + j ] {\displaystyle f[x_{k},\ldots ,x_{k+j}]}
लिखने के बजाय विभाजित अंतर के लिए
[ f ( x k ) , … , f ( x k + j ) ] {\displaystyle [f(x_{k}),\ldots ,f(x_{k+j})]}
या
[ y k , … , y k + j ] . {\displaystyle [y_{k},\ldots ,y_{k+j}].} नोड्स x पर फ़ंक्शन के विभाजित अंतर के लिए कई अन्य नोटेशन0 , ..., एक्सn
[ x 0 , … , x n ] f , [ x 0 , … , x n ; f ] , D [ x 0 , … , x n ] f {\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathopen {[}}x_{0},\ldots ,x_{n}]f,\\&{\mathopen {[}}x_{0},\ldots ,x_{n};f],\\&D[x_{0},\ldots ,x_{n}]f\end{aligned}}}
उदाहरण के लिए मतभेद विभाजित k = 0 {\displaystyle k=0} j {\displaystyle j}
[ y 0 ] = y 0 [ y 0 , y 1 ] = y 1 − y 0 x 1 − x 0 [ y 0 , y 1 , y 2 ] = [ y 1 , y 2 ] − [ y 0 , y 1 ] x 2 − x 0 = y 2 − y 1 x 2 − x 1 − y 1 − y 0 x 1 − x 0 x 2 − x 0 = y 2 − y 1 ( x 2 − x 1 ) ( x 2 − x 0 ) − y 1 − y 0 ( x 1 − x 0 ) ( x 2 − x 0 ) [ y 0 , y 1 , y 2 , y 3 ] = [ y 1 , y 2 , y 3 ] − [ y 0 , y 1 , y 2 ] x 3 − x 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathopen {[}}y_{0}]&=y_{0}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1}]&={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2}]&={\frac {{\mathopen {[}}y_{1},y_{2}]-{\mathopen {[}}y_{0},y_{1}]}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{0})}}-{\frac {y_{1}-y_{0}}{(x_{1}-x_{0})(x_{2}-x_{0})}}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2},y_{3}]&={\frac {{\mathopen {[}}y_{1},y_{2},y_{3}]-{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2}]}{x_{3}-x_{0}}}\end{aligned}}}
गुण रैखिक कार्यात्मक ( f + g ) [ x 0 , … , x n ] = f [ x 0 , … , x n ] + g [ x 0 , … , x n ] ( λ ⋅ f ) [ x 0 , … , x n ] = λ ⋅ f [ x 0 , … , x n ] {\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)[x_{0},\dots ,x_{n}]&=f[x_{0},\dots ,x_{n}]+g[x_{0},\dots ,x_{n}]\\(\lambda \cdot f)[x_{0},\dots ,x_{n}]&=\lambda \cdot f[x_{0},\dots ,x_{n}]\end{aligned}}} लाइबनिज़ नियम (सामान्यीकृत उत्पाद नियम) ( f ⋅ g ) [ x 0 , … , x n ] = f [ x 0 ] ⋅ g [ x 0 , … , x n ] + f [ x 0 , x 1 ] ⋅ g [ x 1 , … , x n ] + ⋯ + f [ x 0 , … , x n ] ⋅ g [ x n ] = ∑ r = 0 n f [ x 0 , … , x r ] ⋅ g [ x r , … , x n ] {\displaystyle (f\cdot g)[x_{0},\dots ,x_{n}]=f[x_{0}]\cdot g[x_{0},\dots ,x_{n}]+f[x_{0},x_{1}]\cdot g[x_{1},\dots ,x_{n}]+\dots +f[x_{0},\dots ,x_{n}]\cdot g[x_{n}]=\sum _{r=0}^{n}f[x_{0},\ldots ,x_{r}]\cdot g[x_{r},\ldots ,x_{n}]}
विभाजित अंतर सममित हैं: यदि σ : { 0 , … , n } → { 0 , … , n } {\displaystyle \sigma :\{0,\dots ,n\}\to \{0,\dots ,n\}} f [ x 0 , … , x n ] = f [ x σ ( 0 ) , … , x σ ( n ) ] {\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]=f[x_{\sigma (0)},\dots ,x_{\sigma (n)}]}
न्यूटन बहुपद में बहुपद प्रक्षेप: यदि P {\displaystyle P} ≤ n {\displaystyle \leq n} p [ x 0 , … , x n ] {\displaystyle p[x_{0},\dots ,x_{n}]} P n − 1 ( x ) = p [ x 0 ] + p [ x 0 , x 1 ] ( x − x 0 ) + p [ x 0 , x 1 , x 2 ] ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) + ⋯ + p [ x 0 , … , x n ] ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ⋯ ( x − x n − 1 ) {\displaystyle P_{n-1}(x)=p[x_{0}]+p[x_{0},x_{1}](x-x_{0})+p[x_{0},x_{1},x_{2}](x-x_{0})(x-x_{1})+\cdots +p[x_{0},\ldots ,x_{n}](x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{n-1})}
अगर p {\displaystyle p} < n {\displaystyle <n} p [ x 0 , … , x n ] = 0. {\displaystyle p[x_{0},\dots ,x_{n}]=0.}
विभाजित अंतरों के लिए माध्य मान प्रमेय : यदि f {\displaystyle f} f [ x 0 , … , x n ] = f ( n ) ( ξ ) n ! {\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}} ξ {\displaystyle \xi } x k {\displaystyle x_{k}} मैट्रिक्स फॉर्म विभाजित अंतर योजना को ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स में रखा जा सकता है:
T f ( x 0 , … , x n ) = ( f [ x 0 ] f [ x 0 , x 1 ] f [ x 0 , x 1 , x 2 ] … f [ x 0 , … , x n ] 0 f [ x 1 ] f [ x 1 , x 2 ] … f [ x 1 , … , x n ] 0 0 f [ x 2 ] … f [ x 2 , … , x n ] ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 … f [ x n ] ) . {\displaystyle T_{f}(x_{0},\dots ,x_{n})={\begin{pmatrix}f[x_{0}]&f[x_{0},x_{1}]&f[x_{0},x_{1},x_{2}]&\ldots &f[x_{0},\dots ,x_{n}]\\0&f[x_{1}]&f[x_{1},x_{2}]&\ldots &f[x_{1},\dots ,x_{n}]\\0&0&f[x_{2}]&\ldots &f[x_{2},\dots ,x_{n}]\\\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &f[x_{n}]\end{pmatrix}}.}
फिर यह कायम रहता है
T f + g ( x ) = T f ( x ) + T g ( x ) {\displaystyle T_{f+g}(x)=T_{f}(x)+T_{g}(x)} T λ f ( x ) = λ T f ( x ) {\displaystyle T_{\lambda f}(x)=\lambda T_{f}(x)} λ {\displaystyle \lambda } T f ⋅ g ( x ) = T f ( x ) ⋅ T g ( x ) {\displaystyle T_{f\cdot g}(x)=T_{f}(x)\cdot T_{g}(x)}
यह लीबनिज नियम का अनुसरण करता है। इसका अर्थ यह है कि ऐसे आव्यूहों का गुणन क्रमविनिमेयता है। संक्षेप में, नोड्स x के समान सेट के संबंध में विभाजित अंतर योजनाओं के मैट्रिक्स एक क्रमविनिमेय रिंग बनाते हैं।तब से T f ( x ) {\displaystyle T_{f}(x)} eigenvalues स्पष्ट रूप से हैं f ( x 0 ) , … , f ( x n ) {\displaystyle f(x_{0}),\dots ,f(x_{n})}
होने देना δ ξ {\displaystyle \delta _{\xi }} क्रोनकर डेल्टा जैसा फ़ंक्शन बनें, अर्थात δ ξ ( t ) = { 1 : t = ξ , 0 : else . {\displaystyle \delta _{\xi }(t)={\begin{cases}1&:t=\xi ,\\0&:{\mbox{else}}.\end{cases}}} f ⋅ δ ξ = f ( ξ ) ⋅ δ ξ {\displaystyle f\cdot \delta _{\xi }=f(\xi )\cdot \delta _{\xi }} δ ξ {\displaystyle \delta _{\xi }} eigenfunction है। वह है T δ x i ( x ) {\displaystyle T_{\delta _{x_{i}}}(x)} eigenmatrix है T f ( x ) {\displaystyle T_{f}(x)} T f ( x ) ⋅ T δ x i ( x ) = f ( x i ) ⋅ T δ x i ( x ) {\displaystyle T_{f}(x)\cdot T_{\delta _{x_{i}}}(x)=f(x_{i})\cdot T_{\delta _{x_{i}}}(x)} T δ x i ( x ) {\displaystyle T_{\delta _{x_{i}}}(x)} मैट्रिक्स रैंक T δ x i ( x ) {\displaystyle T_{\delta _{x_{i}}}(x)} T f ( x ) {\displaystyle T_{f}(x)} i {\displaystyle i} T δ x i ( x ) {\displaystyle T_{\delta _{x_{i}}}(x)} U ( x ) {\displaystyle U(x)} U ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) = ( 1 1 ( x 1 − x 0 ) 1 ( x 2 − x 0 ) ( x 2 − x 1 ) 1 ( x 3 − x 0 ) ( x 3 − x 1 ) ( x 3 − x 2 ) 0 1 1 ( x 2 − x 1 ) 1 ( x 3 − x 1 ) ( x 3 − x 2 ) 0 0 1 1 ( x 3 − x 2 ) 0 0 0 1 ) {\displaystyle U(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{pmatrix}1&{\frac {1}{(x_{1}-x_{0})}}&{\frac {1}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})}}&{\frac {1}{(x_{3}-x_{0})(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})}}\\0&1&{\frac {1}{(x_{2}-x_{1})}}&{\frac {1}{(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})}}\\0&0&1&{\frac {1}{(x_{3}-x_{2})}}\\0&0&0&1\end{pmatrix}}} विकर्णीय मैट्रिक्स T f ( x ) {\displaystyle T_{f}(x)} U ( x ) ⋅ diag ( f ( x 0 ) , … , f ( x n ) ) = T f ( x ) ⋅ U ( x ) . {\displaystyle U(x)\cdot \operatorname {diag} (f(x_{0}),\dots ,f(x_{n}))=T_{f}(x)\cdot U(x).}
बहुपद और घात श्रृंखला गणित का सवाल
J = ( x 0 1 0 0 ⋯ 0 0 x 1 1 0 ⋯ 0 0 0 x 2 1 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0 0 0 0 ⋱ 1 0 0 0 0 x n ) {\displaystyle J={\begin{pmatrix}x_{0}&1&0&0&\cdots &0\\0&x_{1}&1&0&\cdots &0\\0&0&x_{2}&1&&0\\\vdots &\vdots &&\ddots &\ddots &\\0&0&0&0&\;\ddots &1\\0&0&0&0&&x_{n}\end{pmatrix}}} इसमें नोड्स के संबंध में पहचान फ़ंक्शन के लिए विभाजित अंतर योजना शामिल है x 0 , … , x n {\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}} J m {\displaystyle J^{m}} एकपद ी के लिए विभाजित अंतर शामिल हैं m {\displaystyle m} p {\displaystyle p} p {\displaystyle p} J {\displaystyle J}
p ( ξ ) = a 0 + a 1 ⋅ ξ + ⋯ + a m ⋅ ξ m {\displaystyle p(\xi )=a_{0}+a_{1}\cdot \xi +\dots +a_{m}\cdot \xi ^{m}}
और
p ( J ) = a 0 + a 1 ⋅ J + ⋯ + a m ⋅ J m {\displaystyle p(J)=a_{0}+a_{1}\cdot J+\dots +a_{m}\cdot J^{m}}
तब
T p ( x ) = p ( J ) . {\displaystyle T_{p}(x)=p(J).}
इसे ओपिट्ज़ सूत्र के नाम से जाना जाता है।
[2] [3]
अब की डिग्री बढ़ाने पर विचार करें
p {\displaystyle p} अनंत तक, यानी टेलर बहुपद को
टेलर श्रृंखला में बदल दें।
होने देना
f {\displaystyle f} एक ऐसा फ़ंक्शन बनें जो पावर श्रृंखला से मेल खाता हो।
आप विभाजित अंतर योजना की गणना कर सकते हैं
f {\displaystyle f} संबंधित मैट्रिक्स श्रृंखला को लागू करके
J {\displaystyle J} :
अगर
f ( ξ ) = ∑ k = 0 ∞ a k ξ k {\displaystyle f(\xi )=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\xi ^{k}}
और
f ( J ) = ∑ k = 0 ∞ a k J k {\displaystyle f(J)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}J^{k}}
तब
T f ( x ) = f ( J ) . {\displaystyle T_{f}(x)=f(J).}
वैकल्पिक लक्षण वर्णन विस्तृत रूप
f [ x 0 ] = f ( x 0 ) f [ x 0 , x 1 ] = f ( x 0 ) ( x 0 − x 1 ) + f ( x 1 ) ( x 1 − x 0 ) f [ x 0 , x 1 , x 2 ] = f ( x 0 ) ( x 0 − x 1 ) ⋅ ( x 0 − x 2 ) + f ( x 1 ) ( x 1 − x 0 ) ⋅ ( x 1 − x 2 ) + f ( x 2 ) ( x 2 − x 0 ) ⋅ ( x 2 − x 1 ) f [ x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ] = f ( x 0 ) ( x 0 − x 1 ) ⋅ ( x 0 − x 2 ) ⋅ ( x 0 − x 3 ) + f ( x 1 ) ( x 1 − x 0 ) ⋅ ( x 1 − x 2 ) ⋅ ( x 1 − x 3 )
बहुपद फलन की सहायता से
ω ( ξ ) = ( ξ − x 0 ) ⋯ ( ξ − x n ) {\displaystyle \omega (\xi )=(\xi -x_{0})\cdots (\xi -x_{n})} इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है
f [ x 0 , … , x n ] = ∑ j = 0 n f ( x j ) ω ′ ( x j ) . {\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]=\sum _{j=0}^{n}{\frac {f(x_{j})}{\omega '(x_{j})}}.}
पीनो फॉर्म अगर x 0 < x 1 < ⋯ < x n {\displaystyle x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}} n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} [4]
f [ x 0 , … , x n ] = 1 ( n − 1 ) ! ∫ x 0 x n f ( n ) ( t ) B n − 1 ( t ) d t {\displaystyle f[x_{0},\ldots ,x_{n}]={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{x_{0}}^{x_{n}}f^{(n)}(t)\;B_{n-1}(t)\,dt}
कहाँ
f ( n ) {\displaystyle f^{(n)}} है
n {\displaystyle n} -फ़ंक्शन का व्युत्पन्न
f {\displaystyle f} और
B n − 1 {\displaystyle B_{n-1}} डिग्री की एक निश्चित
बी-पट्टी है
n − 1 {\displaystyle n-1} डेटा बिंदुओं के लिए
x 0 , … , x n {\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}} , सूत्र द्वारा दिया गया है
B n − 1 ( t ) = ∑ k = 0 n ( max ( 0 , x k − t ) ) n − 1 ω ′ ( x k ) {\displaystyle B_{n-1}(t)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(\max(0,x_{k}-t))^{n-1}}{\omega '(x_{k})}}}
यह
पीनो का कर्नेल प्रमेय का परिणाम है; इसे विभाजित मतभेदों का पीनो रूप कहा जाता है
B n − 1 {\displaystyle B_{n-1}} विभाजित मतभेदों के लिए पीनो कर्नेल है, सभी का नाम ग्यूसेप पीनो के नाम पर रखा गया है।
आगे का अंतर जब डेटा बिंदुओं को समान रूप से वितरित किया जाता है तो हमें विशेष मामला मिलता है जिसे फॉरवर्ड डिफरेंस कहा जाता है। अधिक सामान्य विभाजित अंतरों की तुलना में उनकी गणना करना आसान है।
n +1 डेटा पॉइंट दिया गया है
( x 0 , y 0 ) , … , ( x n , y n ) {\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}
साथ
x k = x 0 + k h , for k = 0 , … , n and fixed h > 0 {\displaystyle x_{k}=x_{0}+kh,\ {\text{ for }}\ k=0,\ldots ,n{\text{ and fixed }}h>0}
आगे के अंतरों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
Δ ( 0 ) y k := y k , k = 0 , … , n Δ ( j ) y k := Δ ( j − 1 ) y k + 1 − Δ ( j − 1 ) y k , k = 0 , … , n − j , j = 1 , … , n . {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ^{(0)}y_{k}&:=y_{k},\qquad k=0,\ldots ,n\\\Delta ^{(j)}y_{k}&:=\Delta ^{(j-1)}y_{k+1}-\Delta ^{(j-1)}y_{k},\qquad k=0,\ldots ,n-j,\ j=1,\dots ,n.\end{aligned}}} y 0 Δ y 0 y 1 Δ 2 y 0 Δ y 1 Δ 3 y 0 y 2 Δ 2 y 1 Δ y 2 y 3 {\displaystyle {\begin{matrix}y_{0}&&&\\&\Delta y_{0}&&\\y_{1}&&\Delta ^{2}y_{0}&\\&\Delta y_{1}&&\Delta ^{3}y_{0}\\y_{2}&&\Delta ^{2}y_{1}&\\&\Delta y_{2}&&\\y_{3}&&&\\\end{matrix}}}
विभाजित मतभेदों और आगे के मतभेदों के बीच संबंध है
[5] [ y 0 , y 1 , … , y n ] = 1 n ! h n Δ ( n ) y 0 . {\displaystyle [y_{0},y_{1},\ldots ,y_{n}]={\frac {1}{n!h^{n}}}\Delta ^{(n)}y_{0}.}
यह भी देखें अंतर भागफल नेविल का एल्गोरिदम
बहुपद प्रक्षेप
विभाजित अंतरों के लिए माध्य मान प्रमेय
नॉरलुंड-चावल अभिन्न
पास्कल का त्रिकोण संदर्भ
↑ Isaacson, Walter (2014). इनोवेटर्स . Simon & Schuster. p. 20. ISBN 978-1-4767-0869-0 ↑ de Boor, Carl , Divided Differences , Surv. Approx. Theory 1 (2005), 46–69, [1] ↑ Opitz, G. Steigungsmatrizen , Z. Angew. Math. Mech. (1964), 44, T52–T54
↑ Skof, Fulvia (2011-04-30). Giuseppe Peano between Mathematics and Logic: Proceeding of the International Conference in honour of Giuseppe Peano on the 150th anniversary of his birth and the centennial of the Formulario Mathematico Torino (Italy) October 2-3, 2008 ISBN 978-88-470-1836-5 ↑ Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (2011). संख्यात्मक विश्लेषण 129 . ISBN 9780538733519
Louis Melville Milne-Thomson (2000) [1933]. The Calculus of Finite Differences . American Mathematical Soc. Chapter 1: Divided Differences. ISBN 978-0-8218-2107-7 Myron B. Allen; Eli L. Isaacson (1998). Numerical Analysis for Applied Science . John Wiley & Sons. Appendix A. ISBN 978-1-118-03027-1 Ron Goldman (2002). Pyramid Algorithms: A Dynamic Programming Approach to Curves and Surfaces for Geometric Modeling . Morgan Kaufmann. Chapter 4:Newton Interpolation and Difference Triangles. ISBN 978-0-08-051547-2
बाहरी संबंध
