रैखिक अंतर्वेशन

दो लाल बिंदुओं को देखते हुए, नीली रेखा बिंदुओं और मान के बीच रैखिक अंतराग्रहीय है y पर x रैखिक अंतर्वेशन द्वारा पाया जा सकता है।

गणित में, रैखिक अंतर्वेशन ज्ञात डेटा बिंदुओं के एक अलग समुच्चय की सीमा के भीतर नए डेटा बिंदुओं का निर्माण करने के लिए रैखिक बहुपदों का उपयोग करके वक्र फिटिंग की एक विधि है।

दो ज्ञात बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन

इस ज्यामितीय दृश्य में, हरे वृत्त के मान को लाल और नीले वृत्तों के बीच की क्षैतिज दूरी से गुणा करने पर, लाल वृत्त के मान के योग को हरे और नीले वृत्तों के बीच की क्षैतिज दूरी से गुणा करने पर, और नीले वृत्त के मान को हरे और लाल वृत्तों के बीच की क्षैतिज दूरी से गुणा करने पर प्राप्त मान के योग के बराबर होता है।

यदि दो ज्ञात बिंदु निर्देशांक $(x_{0},y_{0})$ और $(x_{1},y_{1})$ द्वारा दिए गए हैं, तो रैखिक अंतराग्रहीय इन बिंदुओं के बीच की सीधी रेखा है। अंतराल $(x_{0},x_{1})$ में मान $x$ के लिए, सीधी रेखा के साथ $y$ का मान ढलान के समीकरण से दिया गया है

$${\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}},$$

जिसे दाईं ओर की आकृति से ज्यामितीय रूप से प्राप्त किया जा सकता है। यह $n=1$ के साथ बहुपद अंतर्वेशन का एक विशेष मामला है।

इस समीकरण को हल करने के लिए $y$, जो कि अज्ञात मान है $x$, देता है

$${\begin{aligned}y&=y_{0}+(x-x_{0}){\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\\&={\frac {y_{0}(x_{1}-x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}+{\frac {y_{1}(x-x_{0})-y_{0}(x-x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}\\&={\frac {y_{1}x-y_{1}x_{0}-y_{0}x+y_{0}x_{0}+y_{0}x_{1}-y_{0}x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\\&={\frac {y_{0}(x_{1}-x)+y_{1}(x-x_{0})}{x_{1}-x_{0}}},\end{aligned}}$$

जो अंतराल में रैखिक अंतर्वेशन का सूत्र है $(x_{0},x_{1})$. इस अंतराल के बाहर, सूत्र रैखिक बाह्य गणन के समान है।

इस सूत्र को भारित औसत के रूप में भी समझा जा सकता है। वज़न अंतिम बिंदु से अज्ञात बिंदु तक की दूरी से विपरीत रूप से संबंधित होते हैं; निकटतम बिंदु का दूर के बिंदु की तुलना में अधिक प्रभाव होता है। इस प्रकार, वजन हैं ${\textstyle 1-(x-x_{0})/(x_{1}-x_{0})}$ और ${\textstyle 1-(x_{1}-x)/(x_{1}-x_{0})}$, जो अज्ञात बिंदु और प्रत्येक अंतिम बिंदु के बीच सामान्यीकृत दूरी हैं। क्योंकि इनका योग 1 होता है,

$${\begin{aligned}y&=y_{0}\left(1-{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)+y_{1}\left(1-{\frac {x_{1}-x}{x_{1}-x_{0}}}\right)\\&=y_{0}\left(1-{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)+y_{1}\left({\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)\\&=y_{0}\left({\frac {x_{1}-x}{x_{1}-x_{0}}}\right)+y_{1}\left({\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)\end{aligned}}$$

ऊपर दिए गए रैखिक अंतर्वेशन के लिए सूत्र प्राप्त करना है।

डेटा समुच्चय का अंतर्वेशन

डेटा समुच्चय (लाल बिंदु) पर रैखिक अंतर्वेशन में रैखिक अंतराग्रहीय (नीली रेखाएं) के टुकड़े होते हैं।

डेटा बिंदुओं (x₀, y₀), (x₁, y₁), ..., (x_n, y_n) के एक समुच्चय पर रैखिक अंतर्वेशन को डेटा बिंदुओं की प्रत्येक जोड़ी के बीच रैखिक अंतराग्रहीय (इंटरपोलेंट) के संयोजन के रूप में परिभाषित किया गया है। इसके परिणामस्वरूप एक सतत वक्र बनता है, जिसमें एक असंतत व्युत्पन्न (सामान्य तौर पर) होता है, इस प्रकार भिन्नता वर्ग $C^{0}$. होता है।

सन्निकटन के रूप में रैखिक अंतर्वेशन

रैखिक अंतर्वेशन का उपयोग प्रायः किसी फलन (गणित) के मान का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है f अन्य बिंदुओं पर उस फलन के दो ज्ञात मानों का उपयोग करना है। इस सन्निकटन की त्रुटि को इस प्रकार परिभाषित किया गया है।

$$R_{T}=f(x)-p(x),$$

कहाँ p ऊपर परिभाषित रैखिक अंतर्वेशन बहुपद को दर्शाता है:

$p(x)=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}).$

इसे रोले के प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है कि यदि f में एक सतत दूसरा व्युत्पन्न है, तो त्रुटि परिबद्ध है

$$|R_{T}|\leq {\frac {(x_{1}-x_{0})^{2}}{8}}\max _{x_{0}\leq x\leq x_{1}}\left|f''(x)\right|.$$

अर्थात्, किसी दिए गए फलन पर दो बिंदुओं के बीच का सन्निकटन, अनुमानित फलन के दूसरे व्युत्पन्न के साथ खराब हो जाता है। यह सहज रूप से भी सही है: फलन जितना "कर्वियर" होता है, सरल रैखिक अंतर्वेश के साथ किए गए अनुमान उतने ही खराब हो जाते हैं।

इतिहास और अनुप्रयोग

तालिकाओं में रिक्त स्थान को भरने के लिए प्राचीन काल से ही रैखिक अंतर्वेश का उपयोग किया जाता रहा है। मान लीजिए कि किसी के पास 1970, 1980, 1990 और 2000 में किसी देश की जनसंख्या को सूचीबद्ध करने वाली एक तालिका है और वह 1994 में जनसंख्या का अनुमान लगाना चाहता है। रैखिक अंतर्वेश ऐसा करने का एक आसान तरीका है। ऐसा माना जाता है कि इसका उपयोग सेल्यूसिड साम्राज्य (पिछली तीन शताब्दियों ईसा पूर्व) और यूनानी खगोलशास्त्री और गणितज्ञ हिप्पार्कस (दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व) द्वारा किया गया था। रैखिक अंतर्वेश का विवरण गणितीय कला पर नौ अध्याय नामक प्राचीन चीनी गणितीय पाठ में पाया जा सकता है, जो 200 ईसा पूर्व से 100 ईस्वी तक का है और टॉलेमी द्वारा लिखित अल्मागेस्ट (दूसरी शताब्दी ईस्वी) में पाया जा सकता है।

दो मानों के बीच रैखिक अंतर्वेश का मूलभूत संचालन प्रायः कंप्यूटर ग्राफिक्स में उपयोग किया जाता है। उस क्षेत्र के शब्दजाल में, इसे कभी-कभी लेर्प (lerp) (रैखिक अंतर्वेश से) कहा जाता है। इस शब्द का उपयोग ऑपरेशन के लिए क्रिया या संज्ञा के रूप में किया जा सकता है। जैसे "ब्रेसेनहैम का एल्गोरिदम रेखा के दो अंतिम बिंदुओं के बीच क्रमिक रूप से घूमता रहता है।"

लेर्प संचालन सभी आधुनिक कंप्यूटर ग्राफिक्स प्रोसेसर के हार्डवेयर में निर्मित होते हैं। इन्हें प्रायः अधिक जटिल ऑपरेशनों के लिए बिल्डिंग ब्लॉक्स के रूप में उपयोग किया जाता है: उदाहरण के लिए, एक बिलिनियर अंतर्वेशन को तीन लेरप्स में पूरा किया जा सकता है। क्योंकि यह ऑपरेशन सस्ता है, यह बहुत अधिक तालिका प्रविष्टियों के बिना सुचारू कार्यों के लिए त्वरित लुकअप के साथ सटीक लुकअप तालिकाओं को लागू करने का एक अच्छा तरीका है।

एक्सटेंशन

Comparison of linear and bilinear interpolation some 1- and 2-dimensional interpolations.
Black and red/yellow/green/blue dots correspond to the interpolated point and neighbouring samples, respectively.
Their heights above the ground correspond to their values.

परिशुद्धता

यदि C⁰ फलन अपर्याप्त है, उदाहरण के लिए, यदि डेटा बिंदुओं का उत्पादन करने वाली प्रक्रिया को C⁰ की तुलना में अधिक सुचारू माना जाता है, तो रैखिक अंतर्वेशन को स्पलाइन अंतर्वेशन या, कुछ मामलों में, बहुपद अंतर्वेशन के साथ बदलना साधारण है।

बहुभिन्नरूपी

यहां वर्णित रैखिक अंतर्वेशन एक स्थानिक आयाम में डेटा बिंदुओं के लिए है। दो स्थानिक आयामों के लिए, रैखिक अंतर्वेशन के विस्तार को द्विरेखीय अंतर्वेशन कहा जाता है, और तीन आयामों में, त्रिरेखीय अंतर्वेशन कहा जाता है। हालाँकि, ध्यान दें कि ये अंतराग्रहीय अब स्थानिक निर्देशांक के रैखिक कार्य नहीं हैं, बल्कि रैखिक कार्यों के उत्पाद हैं; यह नीचे दिए गए चित्र में द्विरेखीय अंतर्वेशन के स्पष्ट रूप से गैर-रैखिक उदाहरण द्वारा दर्शाया गया है। रैखिक अंतर्वेशन के अन्य विस्तारों को बेज़ियर सतहों सहित अन्य प्रकार के बहुभुज जाल जैसे त्रिकोणीय और टेट्राहेड्रल जाल पर लागू किया जा सकता है। इन्हें वास्तव में उच्च-आयामी खंडशः रैखिक फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (नीचे दूसरा चित्र देखें)।

के साथ इकाई वर्ग पर द्विरेखीय अंतर्वेशन का उदाहरण z मान 0, 1, 1 और 0.5 जैसा संकेत दिया गया है। बीच में अंतर्वेशित मानों को रंग द्वारा दर्शाया गया है।

दो आयामों (ऊपर) और उत्तल पॉलीटोप्स में एक टुकड़ावार रैखिक फलन जिस पर यह रैखिक है (नीचे)

प्रोग्रामिंग लैंग्वेज समर्थन

कई पुस्तकालयों और छायांकन लैंग्वेज में एक एलआरपी हेल्पर-फलन होता है (जीएलएसएल में इसे मिक्स के रूप में जाना जाता है), बंद इकाई अंतराल [0, 1] में एक पैरामीटर (t) के लिए दो इनपुट (v0, v1) के बीच एक अंतर्वेशन लौटाता है। Lerp फलन के बीच हस्ताक्षर दोनों रूपों (v0, v1, t) और (t, v0, v1) में विभिन्न प्रकार से कार्यान्वित किए जाते हैं।

// Imprecise method, which does not guarantee v = v1 when t = 1, due to floating-point arithmetic error.
// This method is monotonic. This form may be used when the hardware has a native fused multiply-add instruction.
float lerp(float v0, float v1, float t) {
  return v0 + t * (v1 - v0);
}

// Precise method, which guarantees v = v1 when t = 1. This method is monotonic only when v0 * v1 < 0.
// Lerping between same values might not produce the same value
float lerp(float v0, float v1, float t) {
  return (1 - t) * v0 + t * v1;
}

यह lerp फलन प्रायः अल्फा सम्मिश्रण के लिए उपयोग किया जाता है (पैरामीटर t अल्फा मान है), और सूत्र को एक सदिश के कई घटकों (जैसे स्थानिक x, y, z अक्ष या r, g, b रंग घटकों) को समानांतर में मिश्रित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है।

यह भी देखें

• द्विरेखीय अंतर्वेशन
• तख़्ता अंतर्वेशन
• बहुपद अंतर्वेशन
• डी कास्टेलजौ का एल्गोरिदम
• प्रथम-क्रम होल्ड
• बेज़ियर वक्र

संदर्भ

• Meijering, Erik (2002), "A chronology of interpolation: from ancient astronomy to modern signal and image processing", Proceedings of the IEEE, 90 (3): 319–342, doi:10.1109/5.993400.

बाहरी संबंध

• Equations of the Straight Line at cut-the-knot
• Well-behaved interpolation for numbers and pointers
• "Linear interpolation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Finite-increments formula", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]