एक सेट की क्षमता

गणित में, यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक सेट की क्षमता उस सेट के आकार का एक माप है। मान लीजिए, लेब्सेग माप के विपरीत, जो एक सेट की मात्रा या भौतिक सीमा को मापता है, क्षमता एक सेट की विद्युत चार्ज रखने की क्षमता का गणितीय एनालॉग है। अधिक सटीक रूप से, यह सेट की धारिता है: किसी दिए गए संभावित ऊर्जा को बनाए रखते हुए एक सेट द्वारा धारण किया जा सकने वाला कुल चार्ज। संभावित ऊर्जा की गणना हार्मोनिक या न्यूटोनियन क्षमता के लिए अनंत पर एक आदर्श जमीन के संबंध में और कंडेनसर क्षमता के लिए एक सतह के संबंध में की जाती है।

ऐतिहासिक नोट

एक सेट की क्षमता और कैपेसिटेबल सेट की धारणा 1950 में गुस्ताव चॉक्वेट द्वारा पेश की गई थी: विस्तृत विवरण के लिए, संदर्भ देखें (Choquet 1986).

परिभाषाएँ

संघनित्र क्षमता

मान लीजिए Σ एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष ℝⁿ में एक बंद, चिकनी, (एन - 1)-आयामी हाइपरसतह है , n ≥ 3; K, n-आयामी सघन स्थान (यानी, बंद सेट और परिबद्ध सेट) सेट को निरूपित करेगा, जिसकी सीमा Σ है। मान लीजिए S एक और (n - 1)-आयामी हाइपरसतह है जो Σ को घेरता है: विद्युत चुंबकत्व में इसकी उत्पत्ति के संदर्भ में, जोड़ी (Σ,S) को एक संधारित्र के रूप में जाना जाता है। एस के सापेक्ष Σ की 'संघनित्र क्षमता', जिसे सी(Σ, एस) या कैप(Σ, एस) कहा जाता है, सतह अभिन्न द्वारा दी गई है

$C(\Sigma ,S)=-{\frac {1}{(n-2)\sigma _{n}}}\int _{S'}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,\mathrm {d} \sigma ',$

कहाँ:

• u Σ और S के बीच क्षेत्र D पर सीमा शर्तों Σ पर u(x) = 1 और S पर u(x) = 0 के साथ परिभाषित अद्वितीय हार्मोनिक फ़ंक्शन है;
• S′ Σ और S के बीच की कोई मध्यवर्ती सतह है;
• ν S' के लिए बाहरी इकाई सामान्य क्षेत्र है और

${\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x)=\nabla u(x)\cdot \nu (x)$

S' के पार u का सामान्य व्युत्पन्न है; और

• σ_n= 2π^n⁄2 ⁄ Γ(n⁄ 2) ℝⁿ में इकाई गोले का सतह क्षेत्र है.

C(Σ,S) को वॉल्यूम इंटीग्रल द्वारा समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है

$C(\Sigma ,S)={\frac {1}{(n-2)\sigma _{n}}}\int _{D}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x.$

कंडेनसर क्षमता में परिवर्तनशील लक्षण वर्णन होता है: C(Σ, S) डिरिचलेट की ऊर्जा कार्यात्मकता का न्यूनतम है

$I[v]={\frac {1}{(n-2)\sigma _{n}}}\int _{D}|\nabla v|^{2}\mathrm {d} x$

D पर सभी निरंतर-भिन्न-भिन्न कार्यों पर v, Σ पर v(x) = 1 और S पर v(x) = 0 के साथ।

हार्मोनिक/न्यूटोनियन क्षमता

अनुमानतः, K की हार्मोनिक क्षमता, Σ से घिरा क्षेत्र, अनंत के संबंध में Σ की कंडेनसर क्षमता लेकर पाया जा सकता है। अधिक सटीक रूप से, मान लीजिए कि K के पूरक में u हार्मोनिक फ़ंक्शन है जो Σ पर u = 1 और u(x) → 0 को x → ∞ के रूप में संतुष्ट करता है। इस प्रकार यू सरल परत Σ की न्यूटोनियन क्षमता है। फिर K की 'हार्मोनिक क्षमता' (जिसे 'न्यूटोनियन क्षमता' के रूप में भी जाना जाता है) को C(K) या कैप(K) द्वारा दर्शाया जाता है। तब परिभाषित किया जाता है

$C(K)=\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus K}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x.$

यदि S, K को पूरी तरह से घेरने वाला एक सुधार योग्य हाइपरसरफेस है, तो हार्मोनिक क्षमता को u के बाहरी सामान्य व्युत्पन्न के S पर अभिन्न अंग के रूप में समान रूप से फिर से लिखा जा सकता है:

$C(K)=\int _{S}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,\mathrm {d} \sigma .$

हार्मोनिक क्षमता को कंडेनसर क्षमता की सीमा के रूप में भी समझा जा सकता है। समझदारी से, चलो एस_r ℝⁿ में मूल बिंदु के चारों ओर त्रिज्या r के गोले को निरूपित करता है। चूँकि K परिबद्ध है, पर्याप्त रूप से बड़े r के लिए, Sr, K को घेरेगा और (Σ, Sr) एक संघनित्र युग्म बनाएगा। हार्मोनिक क्षमता तब सीमा होती है क्योंकि r अनंत की ओर प्रवृत्त होता है

$C(K)=\lim _{r\to \infty }C(\Sigma ,S_{r}).$

हार्मोनिक क्षमता कंडक्टर K की इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता का गणितीय रूप से अमूर्त संस्करण है और हमेशा गैर-नकारात्मक और सीमित होती है: 0 ≤ C(K) <+∞।

सामान्यीकरण

ऊपर दिए गए विशेष सीमा मूल्यों को प्राप्त करने वाली ऊर्जा कार्यात्मकता के न्यूनतम के रूप में एक सेट की क्षमता का लक्षण वर्णन, विविधताओं की गणना में अन्य ऊर्जा कार्यात्मकताओं तक बढ़ाया जा सकता है।

विचलन प्रपत्र अण्डाकार ऑपरेटर

विचलन रूप के साथ एक समान अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण का समाधान

$\nabla \cdot (A\nabla u)=0$

संबद्ध ऊर्जा कार्यात्मकता के न्यूनीकरणकर्ता हैं

$I[u]=\int _{D}(\nabla u)^{T}A(\nabla u)\,\mathrm {d} x$

उचित सीमा शर्तों के अधीन।

E युक्त डोमेन D के संबंध में एक सेट E की क्षमता को E पर v(x) = 1 के साथ D पर सभी निरंतर-विभेदित फ़ंक्शन v पर ऊर्जा की अधिकतम मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है; और D की सीमा पर v(x) = 0.

न्यूनतम ऊर्जा एक फ़ंक्शन द्वारा प्राप्त की जाती है जिसे डी के संबंध में ई की कैपेसिटरी क्षमता के रूप में जाना जाता है, और यह ई के संकेतक फ़ंक्शन द्वारा प्रदान किए गए बाधा फ़ंक्शन के साथ डी पर बाधा समस्या को हल करता है। कैपेसिटरी क्षमता को वैकल्पिक रूप से अद्वितीय समाधान के रूप में जाना जाता है उपयुक्त सीमा शर्तों के साथ समीकरण का।

यह भी देखें

• विश्लेषणात्मक क्षमता
• क्षमता
• न्यूटोनियन क्षमता
• संभावित सिद्धांत

संदर्भ

• Brélot, Marcel (1967) [1960], Lectures on potential theory (Notes by K. N. Gowrisankaran and M. K. Venkatesha Murthy.) (PDF), Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics and Physics. Mathematics., vol. No. 19 (2nd ed.), Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, pp. ii+170+iv, MR 0259146, Zbl 0257.31001. The second edition of these lecture notes, revised and enlarged with the help of S. Ramaswamy, re–typeset, proof read once and freely available for download.
• Choquet, Gustave (1986), "La naissance de la théorie des capacités: réflexion sur une expérience personnelle", Comptes rendus de l'Académie des sciences. Série générale, La Vie des sciences (in French), 3 (4): 385–397, MR 0867115, Zbl 0607.01017{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link), available from Gallica. A historical account of the development of capacity theory by its founder and one of the main contributors; an English translation of the title reads: "The birth of capacity theory: reflections on a personal experience".
• Doob, Joseph Leo (1984), Classical potential theory and its probabilistic counterpart, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 262, Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag, pp. xxiv+846, ISBN 0-387-90881-1, MR 0731258, Zbl 0549.31001
• Littman, W.; Stampacchia, G.; Weinberger, H. (1963), "Regular points for elliptic equations with discontinuous coefficients", Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa – Classe di Scienze, Serie III, 17 (12): 43–77, MR 0161019, Zbl 0116.30302, available at NUMDAM.
• Ransford, Thomas (1995), Potential theory in the complex plane, London Mathematical Society Student Texts, vol. 28, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-46654-7, Zbl 0828.31001
• Solomentsev, E. D. (2001) [1994], "Capacity of a set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press