संवेग संचालिका

क्वांटम यांत्रिकी में, संवेग संचालक रैखिक संवेग (भौतिकी) से जुड़ा संचालक (भौतिकी) है। गति संचालक, स्थिति प्रतिनिधित्व में, एक अंतर संचालक का एक उदाहरण है। एक स्थानिक आयाम में एक कण के स्थिति के लिए, परिभाषा है:

$${\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$$

जहां ħ प्लैंक का घटा हुआ स्थिरांक है, i काल्पनिक इकाई है, x स्थानिक समन्वय है, और एक आंशिक व्युत्पन्न (d/dx) के बजाय एक कुल व्युत्पन्न ($\partial /\partial x$ द्वारा दर्शाया गया है ) का उपयोग किया जाता हैके स्थान पर चूँकि तरंग फलन भी समय का एक कार्य है। टोपी एक संचालक को इंगित करती है. भिन्न तरंग फलन पर संचालक का अनुप्रयोग इस प्रकार है:

$${\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}$$

हिल्बर्ट स्पेस के आधार पर जिसमें संवेग निरूपण में अभिव्यक्त संवेग आइजिनस्टेट सम्मिलित हैं, संचालक की कार्रवाई बस p से गुणा होती है, यानी यह एक गुणन संचालक है, जैसे स्थिति प्रतिनिधित्व में स्थिति संचालक एक गुणन संचालक है। ध्यान दें कि उपरोक्त परिभाषा विहित गति है, जो एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में आवेशित कणों के लिए गेज-अपरिवर्तनीय नहीं है और मापने योग्य भौतिक मात्रा नहीं है। उस स्थिति में, विहित गति गतिज गति के समान नहीं है।

1920 के दशक में क्वांटम यांत्रिकी विकसित होने के समय, गति संचालकको को कई सैद्धांतिक भौतिकविदों द्वारा पाया गया था, जिनमें नील्स बोह्र, अर्नोल्ड सोमरफेल्ड, इरविन श्रोडिंगर और यूजीन विग्नर सम्मिलित थे। इसके अस्तित्व और स्वरूप को कभी-कभी क्वांटम यांत्रिकी के मूलभूत सिद्धांतों में से एक के रूप में लिया जाता है।

डी ब्रॉगली समतल तरंगों से उत्पत्ति

संवेग और ऊर्जा संचालकों का निर्माण निम्नलिखित तरह से किया जा सकता है।

एक आयाम

एक आयाम में शुरू करते हुए, श्रोडिंगर के एकल मुक्त कण के समीकरण के लिए समतल तरंग समाधान का उपयोग करते हुए,

$$\psi (x,t)=e^{{\frac {i}{\hbar }}(px-Et)},$$

जहां p को x- दिशा में गति के रूप में व्याख्या किया जाता है और E कण ऊर्जा है। अंतरिक्ष के संबंध में पहला क्रम आंशिक व्युत्पन्न

$${\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial x}}={\frac {ip}{\hbar }}e^{{\frac {i}{\hbar }}(px-Et)}={\frac {ip}{\hbar }}\psi .$$

है।

यह संचालक तुल्यता

$${\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$$

का सुझाव देता है, इसलिए कण का संवेग और वह मान जो तब मापा जाता है जब कोई कण समतल तरंग अवस्था में होता है, उपरोक्त संचालक का इवोल्यूशन होता है।

चूंकि आंशिक व्युत्पन्न एक रैखिक संचालक है, गति संचालक भी रैखिक है, और क्योंकि किसी भी तरंग फलन को अन्य राज्यों के जितना कि सुपरइम्पोज़िशन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जब यह गति संचालक संपूर्ण सुपरइम्पोज़्ड तरंग पर कार्य करता है, तो यह प्रत्येक विमान तरंग घटक के लिए गति आइगेनवैल्यू उत्पन्न करता है। ये नए घटक फिर नई स्थिति बनाने के लिए सुपरइम्पोज़ होते हैं, सामान्य तौर पर पुराने तरंग फलन का एक गुणक नहीं।

तीन आयाम

तीन आयामों में व्युत्पत्ति समान है, सिवाय इसके कि एक आंशिक व्युत्पन्न के बजाय ग्रेडिएंट संचालक की का उपयोग किया जाता है। तीन आयामों में, श्रोडिंगर के समीकरण का समतल तरंग समाधान है:

$$\psi =e^{{\frac {i}{\hbar }}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)}$$

और ढाल है

$${\begin{aligned}\nabla \psi &=\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\\&={\frac {i}{\hbar }}\left(p_{x}\mathbf {e} _{x}+p_{y}\mathbf {e} _{y}+p_{z}\mathbf {e} _{z}\right)\psi \\&={\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \psi \end{aligned}}$$

कहाँ e_x, e_y, और e_z इसलिए, तीन स्थानिक आयामों के लिए इकाई सदिश हैं

$$\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla$$

यह गति संचालक स्थिति स्थान में है क्योंकि आंशिक व्युत्पन्न स्थानिक चर के संबंध में लिया गया था।

परिभाषा (स्थिति स्थान)

See also: Position and momentum space

बिना विद्युत आवेश और बिना स्पिन (भौतिकी) वाले एक कण के लिए, संवेग संचालक को स्थिति के आधार पर इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla$$

कहाँ ∇ ग्रेडियेंट संचालक है, ħ घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है, और i काल्पनिक इकाई है.

एक स्थानिक आयाम में, यह बन जाता है

$${\hat {p}}={\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\partial \over \partial x}.$$

यह विहित संवेग की अभिव्यक्ति है। आवेशित कण के लिए q एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में, गेज परिवर्तन के दौरान, स्थिति अंतरिक्ष तरंग फलन एक टोपोलॉजिकल समूह यू (1) समूह परिवर्तन से गुजरता है, और ${\textstyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$ इसका मूल्य बदल देगा. इसलिए, विहित गति गेज अपरिवर्तनीय नहीं है, और इसलिए मापने योग्य भौतिक मात्रा नहीं है।

गतिज गति, एक गेज अपरिवर्तनीय भौतिक मात्रा, विहित गति, अदिश क्षमता के संदर्भ में व्यक्त की जा सकती हैφ और वेक्टर क्षमताA:

$$\mathbf {\hat {P}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A}$$

उपरोक्त अभिव्यक्ति को न्यूनतम युग्मन कहा जाता है। विद्युत रूप से तटस्थ कणों के लिए, विहित गति गतिज गति के बराबर है।

गुण

हर्मिटीसिटी

गति संचालक हमेशा एक हर्मिटियन संचालक होता है (अधिक तकनीकी रूप से, गणित शब्दावली में एक स्व-सहायक संचालक) जब यह भौतिक (विशेष रूप से, सामान्य तरंग फलन) क्वांटम स्थितियों पर कार्य करता है। (कुछ कृत्रिम स्थितियों में, जैसे कि क्वांटम अर्ध-अनंत अंतराल पर स्थित है [0, ∞), संवेग संचालिका को हर्मिटियन बनाने का कोई तरीका नहीं है। यह इस तथ्य से निकटता से संबंधित है कि एक अर्ध-अनंत अंतराल में अनुवादात्मक समरूपता नहीं हो सकती है - अधिक विशेष रूप से, इसमें एकात्मक संचालक अनुवाद संचालक (क्वांटम यांत्रिकी) नहीं है। #अतिसूक्ष्म अनुवादों से व्युत्पत्ति देखें।)

विहित रूपान्तरण संबंध

Further information: Canonical commutation relation

संवेग आधार और स्थिति आधार का उचित उपयोग करके कोई भी इसे आसानी से दिखा सकता है:

$$\left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar .$$

वर्नर हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत इस सीमा को परिभाषित करता है कि किसी एकल अवलोकन योग्य प्रणाली की गति और स्थिति को एक बार में कितनी सटीकता से जाना जा सकता है। क्वांटम यांत्रिकी में, स्थिति संचालक और संवेग विहित संयुग्म चर हैं।

फूरियर रूपांतरण

निम्नलिखित चर्चा ब्रा-केट नोटेशन का उपयोग करती है। कोई लिख सकता है

$$\psi (x)=\langle x|\psi \rangle =\int \!\!dp~\langle x|p\rangle \langle p|\psi \rangle =\int \!\!dp~{e^{ixp/\hbar }{\tilde {\psi }}(p) \over {\sqrt {2\pi \hbar }}},$$
 इसलिए टिल्ड, समन्वय स्थान से संवेग स्थान में परिवर्तित होने में, फूरियर रूपांतरण का प्रतिनिधित्व करता है। फिर यह उसे धारण करता है
$${\hat {p}}=\int \!\!dp~|p\rangle p\langle p|=-i\hbar \int \!\!dx~|x\rangle {\frac {d}{dx}}\langle x|~,$$

अर्थात्, समन्वय स्थान में अभिनय करने वाला संवेग स्थानिक आवृत्ति से मेल खाता है,

$$\langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\psi (x).$$

गति के आधार पर स्थिति संचालक के लिए एक समान परिणाम लागू होता है,

$$\langle p|{\hat {x}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {d}{dp}}\psi (p),$$

जिससे आगे उपयोगी संबंध बनेंगे,

$$\langle p|{\hat {x}}|p'\rangle =i\hbar {\frac {d}{dp}}\delta (p-p'),$$

$$\langle x|{\hat {p}}|x'\rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\delta (x-x'),$$

कहाँ δ डिराक के डेल्टा फलन के लिए है।

अतिसूक्ष्म अनुवादों से व्युत्पत्ति

See also: Noether's theorem and Stone's theorem on one-parameter unitary groups

अनुवाद संचालक (क्वांटम यांत्रिकी) को दर्शाया गया है T(ε), कहाँ ε अनुवाद की लंबाई दर्शाता है. यह निम्नलिखित पहचान को संतुष्ट करता है:

$$T(\varepsilon )|\psi \rangle =\int dxT(\varepsilon )|x\rangle \langle x|\psi \rangle$$

वह बन जाता है

$$\int dx|x+\varepsilon \rangle \langle x|\psi \rangle =\int dx|x\rangle \langle x-\varepsilon |\psi \rangle =\int dx|x\rangle \psi (x-\varepsilon )$$

फलन मान रहा हूँ ψ विश्लेषणात्मक फलन होने के लिए (यानी जटिल विमान के कुछ डोमेन में भिन्न कार्य), कोई टेलर श्रृंखला में विस्तार कर सकता है x:

$$\psi (x-\varepsilon )=\psi (x)-\varepsilon {\frac {d\psi }{dx}}$$

अत: के अतिसूक्ष्म मानों के लिए ε:

$$T(\varepsilon )=1-\varepsilon {d \over dx}=1-{i \over \hbar }\varepsilon \left(-i\hbar {d \over dx}\right)$$

जैसा कि शास्त्रीय यांत्रिकी से ज्ञात है, संवेग अनुवाद (भौतिकी) का जनक है, इसलिए अनुवाद और संवेग संचालकों के बीच संबंध है:

$$T(\varepsilon )=1-{\frac {i}{\hbar }}\varepsilon {\hat {p}}$$

इस प्रकार

$${\hat {p}}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}.$$

4-संवेग संचालिका

उपरोक्त 3डी संवेग संचालक और ऊर्जा संचालक को 4-गति में सम्मिलित करना (1-रूप के साथ) (+ − − −) मीट्रिक हस्ताक्षर):

$$P_{\mu }=\left({\frac {E}{c}},-\mathbf {p} \right)$$

4-मोमेंटम संचालक प्राप्त करता है:

$${\hat {P}}_{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\hat {E}},-\mathbf {\hat {p}} \right)=i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)=i\hbar \partial _{\mu }$$

कहाँ ∂_μ 4-ढाल है, और −iħ  बन जाता है +iħ  3-मोमेंटम संचालक से पहले। यह संचालक सापेक्षतावादी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में होता है, जैसे कि डायराक समीकरण और अन्य सापेक्षतावादी तरंग समीकरण, चूंकि ऊर्जा और गति उपरोक्त 4-गति वेक्टर में संयोजित होते हैं, गति और ऊर्जा संचालक अंतरिक्ष और समय डेरिवेटिव के अनुरूप होते हैं, और उन्हें लोरेंत्ज़ सहप्रसरण के लिए पहले क्रम के आंशिक व्युत्पन्न होने की आवश्यकता होती है।

गामा मैट्रिक्स के साथ अनुबंध करके 4-मोमेंटम का डिराक संचालक और डिराक स्लैश दिया जाता है:

$$\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }=i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }={\hat {P}}=i\hbar \partial \!\!\!/$$

यदि हस्ताक्षर थे (− + + +), संचालक होगा

$${\hat {P}}_{\mu }=\left(-{\frac {1}{c}}{\hat {E}},\mathbf {\hat {p}} \right)=-i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)=-i\hbar \partial _{\mu }$$

बजाय।

यह भी देखें

• विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का गणितीय विवरण
• अनुवाद संचालक (क्वांटम यांत्रिकी)
• सापेक्ष तरंग समीकरण
• पॉली-लुबांस्की स्यूडोवेक्टर