माध्य-संरक्षण प्रसार

संभाव्यता और आंकड़ों में माध्य-संरक्षण प्रसार (एमपीएस) एक संभाव्यता वितरण A से दूसरे संभाव्यता वितरण B में परिवर्तन है जहां A के संभाव्यता घनत्व फलन या संभाव्यता द्रव्यमान फलन के एक या अधिक भागों के प्रसार से B बनता है जबकि माध्य (अपेक्षित मान) को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है। इस प्रकार माध्य-संरक्षण प्रसार की अवधारणा उनके जोखिम की डिग्री के अनुसार समान-माध्य प्रायिकता (संभावना वितरण) का प्रसंभाव्य क्रम प्रदान करती है। यह क्रम आंशिक है, जिसका अर्थ है कि दो समान-माध्य प्रायिकता में से यह आवश्यक रूप से सत्य नहीं है कि उनमें से एक दूसरे का माध्य-संरक्षण प्रसार है। वितरण A को B का माध्य-संरक्षण संकुचन कहा जाता है यदि B, A का माध्य-संरक्षण प्रसार है।

माध्य-संरक्षण प्रसार द्वारा प्रायिकता का निर्धारण करना दूसरे क्रम के प्रसंभाव्य प्रभुत्व द्वारा प्रायिकता के निर्धारण की एक विशेष स्थिति है अर्थात् समान साधनों की विशेष स्थिति यदि B, A का माध्य-संरक्षण प्रसार है, तो A, B पर दूसरे क्रम का प्रसंभाव्य रूप से प्रभावशाली है यदि A और B के साधन समान हैं तो यह विपरीत है।

यदि B, A का माध्य-संरक्षण प्रसार है, तो B में A की तुलना में अधिक भिन्नता होती है A और B के अपेक्षित मान समान हैं लेकिन इसके विपरीत सामान्य रूप से सत्य नहीं है, क्योंकि माध्य द्वारा क्रमबद्ध करते समय भिन्नता एक पूर्ण क्रम है और प्रसार को संरक्षित करना केवल आंशिक है।

उदाहरण

यह उदाहरण दिखाता है कि माध्य-संरक्षण प्रसार के लिए यह आवश्यक नहीं है कि सभी या अधिकांश संभाव्यता द्रव्यमान माध्य से दूर चले जाएं। माना A की प्रायिकता $1/100$ के बराबर है। प्रत्येक परिणाम पर $x_{Ai}$ के साथ $x_{Ai}=198$ के लिए $i=1,\dots ,50$ और $x_{Ai}=202$ के लिए $i=51,\dots ,100$ और B को समान संभावनाएँ $1/100$ दें। प्रत्येक परिणाम पर $x_{Bi}$ के साथ $x_{B1}=100$, $x_{Bi}=200$ के लिए $i=2,\dots ,99$, और $x_{B100}=300$ है। यहाँ B का निर्माण A से 198 से 100 तक 1% प्रायिकता का एक भाग 198 से 200 तक 49 प्रायिकता अंक को स्थानांतरित करके किया गया है। फिर एक प्रायिकता अंक को 202 से 300 तक ले जाकर और 49 प्रायिकता अंक को 202 से 200 तक ले जाकर बनाया गया है। यह दो माध्य-संरक्षण प्रसार का अनुक्रम स्वयं एक माध्य-संरक्षण प्रसार है। इस तथ्य के अतिरिक्त कि प्रायिकता द्रव्यमान का 98% माध्य (200) तक चला गया है।

गणितीय परिभाषाएँ

मान लीजिए कि $x_{A}$ और $x_{B}$ प्रायिकता A और B से संबद्ध यादृच्छिक चर हैं। तब B, A का माध्य-संरक्षण प्रसार है यदि और केवल यदि $x_{B}{\overset {d}{=}}(x_{A}+z)$ कुछ यादृच्छिक चर $z$ के लिए जिसमें $x_{A}$ के सभी मानों के लिए $E(z\mid x_{A})=0$ है। यहां पर D का अर्थ "वितरण में समान है" अर्थात्, " समान वितरण है।"

माध्य-संरक्षण प्रसार को A और B के संचयी वितरण फलन $F_{A}$ और $F_{B}$ के संदर्भ में भी परिभाषित किया जा सकता है। यदि A और B के समान माध्य हैं तो B, A का माध्य-संरक्षण प्रसार है यदि और केवल यदि कुछ x पर समिश्र असमानता के साथ सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के लिए $F_{A}$ के अंतर्गत ऋण अनंत से $x$ तक का क्षेत्र ऋण अनंत से $x$ तक $F_{B}$ के अंतर्गत क्षेत्रफल से कम या उसके बराबर है।

ये दोनों गणितीय परिभाषाएँ समान साधनों की स्थिति में दूसरे क्रम के प्रसंभाव्य प्रभुत्व को दोहराती हैं।

अपेक्षित उपयोगिता सिद्धांत से संबंध

यदि B, A का माध्य-संरक्षण प्रसार है तो अवतल उपयोगिता वाले सभी अपेक्षित उपयोगिता अधिकतमकर्ताओं द्वारा A को प्राथमिकता दी जाएगी। इसका व्युत्क्रम यह भी है यदि A और B के पास समान साधन हैं और अवतल उपयोगिता वाले सभी अपेक्षित उपयोगिता अधिकतमकर्ताओं द्वारा A को प्राथमिकता दी जाती है, तो B, A का औसत-संरक्षण प्रसार है।

यह भी देखें

• प्रसंभाव्य अनुक्रम
• जोखिम (सांख्यिकी)
• मापनी पैरामीटर

अग्रिम पठन

• Mas-Colell, A.; Whinston, M. D.; Green, J. R. (1995). Microeconomic Theory. New York: Oxford University Press. pp. 197–199. ISBN 0-19-510268-1 – via Google Books.