घात श्रेणी

गणित में, घात श्रेणी (चर में) रूप की अनंत श्रेणी होती है:

$$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+\dots$$

जहाँ a_nवें पद के गुणांक का प्रतिनिधित्व करता है और c स्थिरांक है। घात श्रेणी गणितीय विश्लेषण में उपयोगी होती है, जहां वे असीम रूप से भिन्न फलन की टेलर श्रेणी के रूप में उत्पन्न होती हैं। वास्तव में, बोरेल की प्रमेय का तात्पर्य है कि प्रत्येक घात श्रेणी कुछ सुचारु कार्य की टेलर श्रेणी है।

कई स्थितियों में, c (श्रेणी का केंद्र) शून्य के समान होता है, उदाहरण के लिए मैकलॉरिन श्रेणी पर विचार करते समय होता है। ऐसी स्थिति में, घात श्रेणी सरल रूप लेती है:

$$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots .$$

गणितीय विश्लेषण में उनकी भूमिका से परे, घात श्रेणी साहचर्य में जनक फलन (एक प्रकार की औपचारिक घात श्रेणी) और इलेक्ट्रॉनिक इंजीनियरिंग (जेड-ट्रांसफॉर्म के नाम के अनुसार) के रूप में भी होती है। वास्तविक संख्याओं के लिए परिचित दशमलव संकेतन को पूर्णांक गुणांक के साथ घात श्रेणी के उदाहरण के रूप में भी देखा जा सकता है, किन्तु तर्क x के साथ 1⁄10 पर निश्चित किया गया है। संख्या सिद्धांत में, पी-एडिक संख्या|पी-एडिक संख्याओं की अवधारणा भी घात श्रेणी से निकटता से संबंधित है।

उदाहरण

बहुपद

घातीय फलन (नीले रंग में), और इसकी मैकलॉरिन श्रेणी (लाल रंग में) के पूर्व n + 1 शब्दों के योग से इसका सुधार सन्निकटन है। इसलिए,
n=0 देता है $f(x)=1$,
n=1 $f(x)=1+x$,
n=2 $f(x)=1+x+x^{2}/2$,
n=3 $f(x)=1+x+x^{2}/2+x^{3}/6$ इत्यादि।

किसी भी बहुपद को किसी भी केंद्र c के चारों ओर घात श्रेणी के रूप में सरलता से व्यक्त किया जा सकता है, चूँकि सीमित रूप से कई गुणांकों को त्यागकर सभी शून्य होंगे क्योंकि परिभाषा के अनुसार घात श्रेणी में अनंत रूप से कई पद होते हैं। उदाहरण के लिए, बहुपद ${\textstyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ को केंद्र के चारों ओर घात श्रेणी के रूप में लिखा जा सकता है ${\textstyle c=0}$ के रूप में लिखा जा सकता है:

$$f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots$$

या केंद्र के निकट ${\textstyle c=1}$ के रूप में लिखा जा सकता है:

$$f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots$$

इसका कारण टेलर श्रेणी के चारों ओर f(x) का विस्तार है ${\textstyle x=1}$ है:

$$f(x)=f(1)+{\frac {f'(1)}{1!}}(x-1)+{\frac {f''(1)}{2!}}(x-1)^{2}+{\frac {f'''(1)}{3!}}(x-1)^{3}+\cdots ,$$

जैसा ${\textstyle f(x=1)=1+2+3=6}$ और गैर-शून्य व्युत्पन्न हैं ${\textstyle f'(x)=2x+2}$, इसलिए ${\textstyle f'(1)=4}$ और ${\textstyle f''(x)=2}$, स्थिरांक हैं।

या वास्तव में किसी अन्य केंद्र के निकट विस्तार संभव है। कोई घात श्रेणी को अनंत डिग्री के बहुपदों के रूप में देख सकता है, चूँकि घात श्रेणी बहुपद नहीं हैं।

ज्यामितीय श्रेणी, घातांकीय फलन और ज्या

ज्यामितीय श्रेणी सूत्र;

$${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,$$

जिसके लिए ${\textstyle |x|<1}$ मान्य है, घात श्रेणी के सबसे महत्वपूर्ण उदाहरणों में से है, जैसे कि घातीय फलन सूत्र हैं;

$$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,$$

और ज्या सूत्र

$$\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,$$

सभी वास्तविक x के लिए मान्य हैं।

ये घात श्रेणी भी टेलर श्रेणी के उदाहरण हैं।

घातांक के समुच्चय पर

किसी घात शृंखला में नकारात्मक घातों की अनुमति नहीं है; उदाहरण के लिए, ${\textstyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$ इसे घात श्रेणी नहीं माना जाता है (चूँकि यह लॉरेंट श्रेणी है)। इसी प्रकार, भिन्नात्मक घात जैसे ${\textstyle x^{\frac {1}{2}}}$ की अनुमति नहीं है (किन्तु पुइसेक्स श्रेणी देखें)। गुणांक ${\textstyle a_{n}}$ पर निर्भर रहने की अनुमति नहीं है ${\textstyle x}$, इस प्रकार उदाहरण के लिए:

$$\sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots$$

कोई घात शृंखला नहीं है।

अभिसरण की त्रिज्या

घात श्रेणी ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}$ चर x के कुछ मानों के लिए अभिसरण श्रेणी है , जिसमें सदैव x = c सम्मिलित होगा (सदैव के जैसे, $(x-c)^{0}$ के रूप में मूल्यांकन 1 है और श्रेणी का योग इस प्रकार है $a_{0}$ के लिए x = c)। x के अन्य मानों के लिए श्रेणी भिन्न हो सकती है। यदि c अभिसरण का एकमात्र बिंदु नहीं है, तो सदैव 0 < r ≤ ∞ के साथ संख्या r होती है, जिससे शृंखला जब भी अभिसरित होती है |x – c| < r और जब भी |x – c| > r विचलन होता है। संख्या r को घात श्रेणी के अभिसरण की त्रिज्या कहा जाता है; सामान्यतः इसे इस प्रकार दिया जाता है:

$$r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}$$

या, समकक्ष,

$$r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}$$

(यह कॉची-हैडामर्ड प्रमेय है; अंकन की व्याख्या के लिए सीमा श्रेष्ठ और सीमा निम्न देखें)। संबंध;

$$r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|$$

यदि यह सीमा उपस्थित है तो वह भी संतुष्ट है।

सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय इस प्रकार है कि |x – c| < r को श्रेणी की अभिसरण डिस्क कहा जाता है। अभिसरण की डिस्क के अंदर श्रेणी पूर्ण अभिसरण, और अभिसरण की डिस्क के प्रत्येक सघन स्थान उपसमुच्चय पर समान अभिसरणकरती है।

|x – c| = r, के लिए श्रेणी के अभिसरण पर कोई सामान्य कथन नहीं है। चूँकि, एबेल के प्रमेय में कहा गया है कि यदि श्रेणी कुछ मूल्य z के लिए अभिसरण है, जैसे कि |z – c| = r, तो x = z के लिए श्रेणी का योग x = c + t (z – c) के लिए श्रेणी के योग की सीमा है, जहां t 1 से कम एक वास्तविक चर है जो 1 की ओर प्रवृत्त होता है।

घात श्रेणी पर संचालन

जोड़ना और घटाना

जब दो फलन f और g को एक ही केंद्र c के चारों ओर घात श्रेणी में विघटित किया जाता है, तो फलन के योग या अंतर की घात श्रेणी शब्दवार जोड़ और घटाव द्वारा प्राप्त की जा सकती है। अर्थात यदि;

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}$$

और,

$$g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}$$

तब;

$$f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.$$

यह सत्य नहीं है कि यदि दो घात श्रेणी है ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ और ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}}$ तब अभिसरण की त्रिज्या समान ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}}$ होती है अभिसरण की यह त्रिज्या भी है। यदि ${\textstyle a_{n}=(-1)^{n}}$ और ${\textstyle b_{n}=(-1)^{n+1}\left(1-{\frac {1}{3^{n}}}\right)}$, तो दोनों श्रेणीओं में 1 के अभिसरण की समान त्रिज्या है, किन्तु श्रेणी ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}}}x^{n}}$ अभिसरण की त्रिज्या 3 है।

दो घात श्रेणीओं के योग में, कम से कम, दो श्रेणीओं के अभिसरण की दो त्रिज्याओं में से छोटी त्रिज्या के अभिसरण की त्रिज्या होगी (और यह दोनों में से किसी से अधिक हो सकती है, जैसा कि ऊपर दिए गए उदाहरण में देखा गया है)।

गुणा और भाग

समान परिभाषाओं के साथ $f(x)$ और $g(x)$ के लिए, उत्पाद की घातश्रेणी और फलन का भागफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}f(x)g(x)&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.\end{aligned}}$$

क्रम ${\textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ को अनुक्रमों के कनवल्शन $a_{n}$ और $b_{n}$. के रूप में जाना जाता है।

विभाजन के लिए, यदि कोई अनुक्रम को $d_{n}$ द्वारा परिभाषित करता है;

$${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}$$

तब,

$$f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)$$

और कोई भी नियमों का पुनरावर्ती रूप से $d_{n}$ गुणांकों की तुलना करके समाधान कर सकता है।

संगत समीकरणों का समाधान करने से गुणांक के कुछ आव्यूहों के निर्धारकों के आधार पर सूत्र $f(x)$ और $g(x)$ प्राप्त होते हैं:

$$d_{0}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}$$

$$d_{n}={\frac {1}{b_{0}^{n+1}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{n}\\a_{n-1}&b_{0}&b_{1}&\cdots &b_{n-1}\\a_{n-2}&0&b_{0}&\cdots &b_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{0}&0&0&\cdots &b_{0}\end{vmatrix}}$$

विभेदीकरण और एकीकरण

फलन $f(x)$ उपरोक्त के अनुसार घात श्रेणी के रूप में दिया गया है, यह अभिसरण के क्षेत्र के आंतरिक पर व्युत्पन्न है। प्रत्येक पद को भिन्न-भिन्न मानकर इसे सरलता से विभेदित और एकीकृत किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}f'(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n(x-c)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}(n+1)(x-c)^{n},\\\int f(x)\,dx&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}(x-c)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}(x-c)^{n}}{n}}+k.\end{aligned}}$$

इन दोनों श्रेणीओं में मूल श्रेणी के समान ही अभिसरण की त्रिज्या है।

विश्लेषणात्मक फलन

Main article: विश्लेषणात्मक फलन

'R' या 'C' के कुछ खुले उपसमुच्चय U पर परिभाषित फलन f को विश्लेषणात्मक कहा जाता है यदि यह स्थानीय रूप से अभिसरण घात श्रेणी द्वारा दिया जाता है। इसका तात्पर्य यह है कि प्रत्येक a ∈ U में विवृत निकट V ⊆ U है, जैसे कि केंद्र a के साथ घात श्रेणी उपस्थित है जो प्रत्येक x ∈ V के लिए f(x) में परिवर्तित होती है।

अभिसरण की सकारात्मक त्रिज्या वाली प्रत्येक घात श्रेणी अपने अभिसरण क्षेत्र के आंतरिक भाग पर विश्लेषणात्मक होती है। सभी होलोमोर्फिक फलन जटिल-विश्लेषणात्मक हैं। विश्लेषणात्मक फलन के योग और उत्पाद विश्लेषणात्मक होते हैं, जैसे कि भागफल तब तक विश्लेषणात्मक होते हैं जब तक हर गैर-शून्य होता है।

यदि कोई फलन विश्लेषणात्मक है, तो यह असीम रूप से भिन्न होता है, किन्तु वास्तविक स्थिति में इसका विपरीत सामान्यतः सत्य नहीं होता है। विश्लेषणात्मक फलन के लिए, गुणांक a_n के रूप में गणना की जा सकती है:

$$a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}}$$

जहां $f^{(n)}(c)$ c पर f के nवें अवकलज को दर्शाता है, और $f^{(0)}(c)=f(c)$है, इसका तात्पर्य यह है कि प्रत्येक विश्लेषणात्मक फलन को स्थानीय रूप से उसकी टेलर श्रेणी द्वारा दर्शाया जाता है।

विश्लेषणात्मक फलन का वैश्विक रूप निम्नलिखित अर्थों में उसके स्थानीय व्यवहार से पूर्ण रूप से निर्धारित होता है: यदि f और g दो विश्लेषणात्मक फलन हैं जो एक ही कनेक्टिविटी ओपन समुच्चय U पर परिभाषित हैं, और यदि कोई तत्व c ∈ U उपस्थित है जैसे कि f⁽ⁿ⁾(c) = g⁽ⁿ⁾(c) सभी के लिए n ≥ 0, तब सभी x ∈ U के लिए f(x) = g(x) है।

यदि अभिसरण r की त्रिज्या के साथ घात श्रेणी दी गई है, तो कोई श्रेणी की विश्लेषणात्मक निरंतरता पर विचार कर सकता है, अर्थात विश्लेषणात्मक फलन f जो कि { x | |x − c| < r} और इस समुच्चय पर दी गई पर घात श्रेणी से सहमत हैं। संख्या r निम्नलिखित अर्थ में अधिकतम है: |x − c| = r के साथ सदैव जटिल संख्या x उपस्थित होती है, यह इस प्रकार है कि श्रेणी की कोई भी विश्लेषणात्मक निरंतरता x पर परिभाषित नहीं की जा सकती है।

विश्लेषणात्मक फलन के व्युत्क्रम फलन की घात श्रेणी विस्तार को लैग्रेंज व्युत्क्रम प्रमेय का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।

सीमा के निकट व्यवहार

अभिसरण की सकारात्मक त्रिज्या के साथ घात श्रेणी का योग अभिसरण डिस्क के आंतरिक भाग में प्रत्येक बिंदु पर विश्लेषणात्मक कार्य है। चूँकि, उस डिस्क की सीमा पर बिंदुओं पर भिन्न व्यवहार हो सकता है। उदाहरण के लिए:

1. विचलन जबकि योग विश्लेषणात्मक फलन तक विस्तारित होता है: ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$ अभिसरण की त्रिज्या $1$ के समान है और प्रत्येक बिंदु $|z|=1$ पर विचलन होता है। फिर भी, योग $|z|<1$ है ${\textstyle {\frac {1}{1-z}}}$को छोड़कर, जो समतल के प्रत्येक बिंदु पर विश्लेषणात्मक $z=1$ है।
2. कुछ बिंदुओं पर अभिसरण दूसरों पर भिन्न: ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}}$ अभिसरण की त्रिज्या $1$ है, इसके लिए अभिसरण $z=-1$ होता है, जबकि यह $z=1$ भिन्न होता है।
3. सीमा के प्रत्येक बिंदु पर पूर्ण अभिसरण: ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}}$ अभिसरण की त्रिज्या $1$ है, जबकि यह प्रत्येक बिंदु पर पूर्णतः और समान रूप से अभिसरित होता है $|z|=1$ हाइपर-हार्मोनिक अभिसरण श्रेणी के साथ प्रारम्भ वीयरस्ट्रैस एम-परीक्षण के कारण ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ होता है।
4. अभिसरण की डिस्क के संवृत होने पर अभिसरण किन्तु निरंतर योग नहीं: सिएरपिंस्की ने उदाहरण दिया अभिसरण की त्रिज्या के साथ घात श्रेणी $1$ है, सभी बिंदुओं पर अभिसरण $|z|=1$ है, किन्तु योग असीमित कार्य है और, विशेष रूप से असंतत है। सीमा बिंदु पर एक तरफा निरंतरता के लिए पर्याप्त नियम हाबिल के प्रमेय द्वारा दी गई है।

औपचारिक घात श्रेणी

Main article: औपचारिक घात श्रृंखला

अमूर्त बीजगणित में, व्यक्ति वास्तविक और जटिल संख्याओं के क्षेत्र तक सीमित हुए बिना और अभिसरण के विषय में विचार किए बिना घात श्रेणी के सार को पकड़ने का प्रयास करता है। यह औपचारिक घात श्रेणी की अवधारणा की ओर ले जाता है, जो बीजगणितीय कॉम्बिनेटरिक्स में महान उपयोगिता की अवधारणा है।

कई चर में घात श्रेणी

बहुपरिवर्तनीय कलन के प्रयोजनों के लिए सिद्धांत का विस्तार आवश्यक है। यहाँ घात श्रेणी को अनंत श्रेणी के रूप में परिभाषित किया गया है:

$$f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}(x_{k}-c_{k})^{j_{k}},$$

जहां j = (j₁, …, j_n) प्राकृतिक संख्याओं, गुणांकों a_{(j1, …, jn)} का सदिश है सामान्यतः वास्तविक या सम्मिश्र संख्याएँ और केंद्र c = (c₁, …, c_n) और तर्क x = (x₁, …, x_n) सामान्यतः वास्तविक या जटिल वेक्टर होते हैं। प्रतीक $\Pi$ गुणन को दर्शाने वाला उत्पाद प्रतीक है। इसे अधिक सुविधाजनक बहु सूचकांक नोटेशन में लिखा जा सकता है:

$$f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }(x-c)^{\alpha }.$$

जहां $\mathbb {N}$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है, इत्यादि $\mathbb {N} ^{n}$ प्राकृतिक संख्याओं के क्रमित n-टुपल्स का समुच्चय है।

ऐसी श्रेणी का सिद्धांत एकल-चर श्रेणी की तुलना में अधिक जटिल है, जिसमें अभिसरण के अधिक जटिल क्षेत्र हैं। उदाहरण के लिए, घात श्रेणी ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}}$ समुच्चय में बिल्कुल अभिसरण है $\{(x_{1},x_{2}):|x_{1}x_{2}|<1\}$ दो अतिपरवलय के मध्य है। (यह लॉग-उत्तल समुच्चय का उदाहरण है, इस अर्थ में कि बिंदुओं का समुच्चय $(\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)$, जहां $(x_{1},x_{2})$ उपरोक्त क्षेत्र में स्थित, उत्तल समुच्चय है। अधिक सामान्यतः, कोई यह दिखा सकता है कि जब c=0, पूर्ण अभिसरण के क्षेत्र का आंतरिक भाग सदैव इस अर्थ में लॉग-उत्तल समुच्चय होता है।) दूसरी ओर, अभिसरण के इस क्षेत्र के आंतरिक भाग में कोई अंतर और एकीकरण कर सकता है, जैसे कोई सामान्य घात श्रेणी के साथ कर सकता है।

घात श्रेणी का क्रम

मान लीजिए α घात श्रेणी f(x₁, x₂, …, x_n) के लिए बहु-सूचकांक है। घात श्रेणी f के क्रम को न्यूनतम मान के रूप में परिभाषित किया गया है $r$ इस प्रकार है कि a_α ≠ 0 है। $r=|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$, या $\infty$ यदि f ≡ 0 है। विशेष रूप से, एकल चर x में घात श्रेणी f(x) के लिए, f का क्रम गैर-शून्य गुणांक के साथ x की सबसे छोटी घात है। यह परिभाषा सरलता से लॉरेंट श्रेणी तक विस्तारित है।

संदर्भ

• Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Power series", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Formal Power Series". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Power Series". MathWorld.
• Powers of Complex Numbers by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.