वुडबरी आव्यूह समरूपता

गणित में (विशेष रूप से रैखिक बीजगणित), वुडबरी आव्यूह समरूपता, जिसका नाम मैक्स ए. वुडबरी के नाम पर रखा गया है, जो यह कहते है कि कुछ आव्यूह (गणित) के पद-k सुधार के व्युत्क्रम की गणना मूल आव्यूह के व्युत्क्रम में पद-k सुधार करके की जा सकती है। अतः इस सूत्र के वैकल्पिक नाम 'आव्यूह व्युत्क्रमता लेम्मा', 'शर्मन-मॉरिसन-वुडबरी सूत्र' या मात्र 'वुडबरी सूत्र' हैं। यद्यपि, वुडबरी रिपोर्ट से पहले यह समरूपता कई लेखों में छपी थी।

इस प्रकार से वुडबरी आव्यूह समरूपता

$\left(A+UCV\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}$

है, जहां A, U, C और V अनुरूप आव्यूह हैं: A n×n है, C k×k है, U n×k है, और V k×n है। इसे व्युत्क्रमणीय आव्यूह ब्लॉक वार व्युत्क्रम का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।

जबकि समरूपता मुख्य रूप से आव्यूह पर उपयोग की जाती है, यह सामान्य वलय (गणित) या Ab-श्रेणी में होती है।

इस प्रकार से वुडबरी आव्यूह समरूपता व्युत्क्रमों की तुच्छ गणना और रैखिक समीकरणों के हल की अनुमति देती है। यद्यपि, सूत्र की संख्यात्मक स्थिरता के विषय में बहुत कम सूचना है। अतः इसकी त्रुटि सीमा के संबंध में कोई प्रकाशित परिणाम नहीं हैं। उपाख्यानात्मक प्रमाण से पता चलता है कि यह प्रतीत होने वाले सौम्य उदाहरणों के लिए भी भिन्न हो सकता है (जब मूल और संशोधित आव्यूह दोनों ठीक रूप से प्रतिबंधित हैं)।

चर्चा

इस परिणाम को सिद्ध करने के लिए, हम सरल परिणाम को सिद्ध करके प्रारम्भ करेंगे। इस प्रकार से A और C को समरूपता आव्यूह I के साथ प्रतिस्थापित करने पर, हमें और समरूपता प्राप्त होती है जो थोड़ी सरल है:

$\left(I+UV\right)^{-1}=I-U\left(I+VU\right)^{-1}V.$

अतः इस घटी हुई समरूपता से मूल समीकरण को पुनः प्राप्त करने के लिए, समुच्चय $U=A^{-1}X$ और $V=CY$ है।

इस समरूपता को ही दो सरल समरूपताों के संयोजन के रूप में देखा जा सकता है। इस प्रकार से हम पहली समरूपता

$I=(I+P)^{-1}(I+P)=(I+P)^{-1}+(I+P)^{-1}P$

से प्राप्त करते हैं, इस प्रकार,

$(I+P)^{-1}=I-(I+P)^{-1}P$,

और इसी प्रकार

$(I+P)^{-1}=I-P(I+P)^{-1}.$

दूसरी समरूपता तथाकथित पुश-थ्रू समरूपता

$(I+UV)^{-1}U=U(I+VU)^{-1}$

है जिसे हम दाईं ओर $(I+VU)^{-1}$ और बाईं ओर $(I+UV)^{-1}$

से गुणा करने के बाद

$U(I+VU)=(I+UV)U$

से प्राप्त करते हैं।

सभी को एक साथ रखने पर,

$\left(I+UV\right)^{-1}=I-UV\left(I+UV\right)^{-1}=I-U\left(I+VU\right)^{-1}V.$

जहां पहली और दूसरी समानता क्रमशः पहली और दूसरी समरूपता से आती है।

विशेष स्थिति

जब $V,U$ सदिश होते हैं, तो समरूपता शर्मन-मॉरिसन सूत्र तक कम हो जाती है।

इस प्रकार से अदिश स्थिति में, घटा हुआ संस्करण मात्र

${\frac {1}{1+uv}}=1-{\frac {uv}{1+uv}}$ है।

योग का व्युत्क्रम

यदि n = k और U = V = I_n तो, समरूपता आव्यूह

${\begin{aligned}\left({A}+{B}\right)^{-1}&=A^{-1}-A^{-1}(B^{-1}+A^{-1})^{-1}A^{-1}\\&={A}^{-1}-{A}^{-1}\left({A}{B}^{-1}+{I}\right)^{-1}\end{aligned}}$ है।

उपरोक्त समीकरण के सबसे दाईं ओर के पदों के एक संविलय को जारी रखने से हुआ की समरूपता

$\left({A}+{B}\right)^{-1}={A}^{-1}-\left({A}+{A}{B}^{-1}{A}\right)^{-1}$ प्राप्त होती है।

इस प्रकार से समान समरूपता का एक अन्य उपयोगी रूप

$\left({A}-{B}\right)^{-1}={A}^{-1}+{A}^{-1}{B}\left({A}-{B}\right)^{-1},$

है, जो उपरोक्त के विपरीत, $B$ एकल होने पर भी मान्य है, और इसमें एक पुनरावर्ती संरचना है जो $A^{-1}B$ का वर्णक्रमीय त्रिज्या एक से कम होने पर

$\left({A}-{B}\right)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left({A}^{-1}{B}\right)^{k}{A}^{-1}$

उत्पन्न करती है। अर्थात्, यदि उपरोक्त योग अभिसरित होता है तो यह $(A-B)^{-1}$ के बराबर होता है।

अतः इस रूप का उपयोग त्रुटि वाले विस्तारों में किया जा सकता है जहां B A की त्रुटि है।

विविधताएँ

द्विपद व्युत्क्रम प्रमेय

यदि A, B, U, V क्रमशः n×n, k×k, n×k, k×n आकार के आव्यूह हैं, तो

$\left(A+UBV\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}UB\left(B+BVA^{-1}UB\right)^{-1}BVA^{-1}$

प्रदान किया गया है कि A और B + BVA⁻¹UB एकल नहीं हैं। इस प्रकार से उत्तरार्द्ध की गैर-विलक्षणता के लिए आवश्यक है कि B⁻¹ अस्तित्व में हो क्योंकि यह B(I + VA⁻¹UB) के बराबर है और बाद वाले की पद B की पद से अधिक नहीं हो सकती है।

चूँकि B व्युत्क्रमणीय है, दाहिनी ओर कोष्ठक में व्युत्क्रमित मात्रा को दर्शाने वाले दो B पदों को (B⁻¹)⁻¹ से प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप मूल वुडबरी समरूपता प्राप्त होती है।

इस प्रकार से जब B एकल हो और संभवतः गैर-वर्ग भी हो, तो इसके लिए भिन्नता:

$(A+UBV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(I+BVA^{-1}U)^{-1}BVA^{-1}.$

अतः कुछ स्थितियों के लिए सूत्र भी स्थित हैं जिनमें A एकल है।

धनात्मक अर्धनिश्चित आव्यूह के साथ छद्म व्युत्क्रम

इस प्रकार से सामान्यतः वुडबरी की समरूपता मान्य नहीं है यदि या अधिक व्युत्क्रमों को मूर-पेनरोज़ व्युत्क्रम या (मूर-पेनरोज़) छद्म व्युत्क्रम द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यद्यपि, यदि $A$ और $C$ धनात्मक अर्धनिश्चित आव्यूह हैं, और $V=U^{\mathrm {H} }$ (इसका तात्पर्य यह है कि $A+UCV$ स्वयं धनात्मक अर्धनिश्चित है), तो निम्न सूत्र सामान्यीकरण प्रदान करता है:

${\begin{aligned}(XX^{\mathrm {H} }+YY^{\mathrm {H} })^{+}&=(ZZ^{\mathrm {H} })^{+}+(I-YZ^{+})^{\mathrm {H} }X^{+\mathrm {H} }EX^{+}(I-YZ^{+}),\\Z&=(I-XX^{+})Y,\\E&=I-X^{+}Y(I-Z^{+}Z)F^{-1}(X^{+}Y)^{\mathrm {H} },\\F&=I+(I-Z^{+}Z)Y^{\mathrm {H} }(XX^{\mathrm {H} })^{+}Y(I-Z^{+}Z),\end{aligned}}$

जहाँ $A+UCU^{\mathrm {H} }$ को $XX^{\mathrm {H} }+YY^{\mathrm {H} }$ के रूप में लिखा जा सकता है क्योंकि कोई भी धनात्मक अर्धनिश्चित आव्यूह कुछ $M$ के लिए $MM^{\mathrm {H} }$ के बराबर है।

व्युत्पत्तियाँ

प्रत्यक्ष प्रमाण

इस प्रकार से सूत्र को यह जांच कर सिद्ध किया जा सकता है कि वुडबरी समरूपता के दाईं ओर $(A+UCV)$ गुना इसके कथित व्युत्क्रम से समरूपता आव्यूह मिलता है:

${\begin{aligned}U+UCVA^{-1}U&=UC\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)=\left(A+UCV\right)A^{-1}U\\\left(A+UCV\right)^{-1}UC&=A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}\end{aligned}}$