सहनशीलता अंतराल

Not to be confused with Engineering tolerance.

सहिष्णुता अंतराल (टीआई) एक सांख्यिकीय अंतराल है जिसके भीतर, कुछ आत्मविश्वास स्तर के साथ, जनसंख्या का एक निर्दिष्ट नमूना (सांख्यिकी) अनुपात आता है। अधिक विशेष रूप से, ए 100×p%/100×(1−α) सहनशीलता अंतराल वह सीमाएं प्रदान करता है जिसके भीतर जनसंख्या का कम से कम एक निश्चित अनुपात (पी) आत्मविश्वास के दिए गए स्तर (1−α) के साथ आता है। एक नमूने के आधार पर ए (पी, 1−α) सहनशीलता अंतराल (टीआई) का निर्माण किया जाता है ताकि इसमें आत्मविश्वास 1−α के साथ नमूना आबादी का कम से कम अनुपात पी शामिल हो; ऐसे TI को आमतौर पर p-content - (1−α) कवरेज TI कहा जाता है। A (p, 1−α) ऊपरी सहनशीलता सीमा (TL) जनसंख्या के 100 p प्रतिशत के लिए बस 1−α ऊपरी आत्मविश्वास सीमा है।

गणना

एक तरफा सामान्य सहनशीलता अंतराल का गैर-केंद्रीय टी-वितरण|गैरकेंद्रीय टी-वितरण के आधार पर नमूना माध्य और नमूना विचरण के संदर्भ में एक सटीक समाधान होता है। गैर-केंद्रीय ची-वर्ग वितरण के आधार पर दो-तरफा सामान्य सहिष्णुता अंतराल प्राप्त किया जा सकता है।

अन्य अंतरालों से संबंध

Further information: Interval estimation

पैरामीटर-ज्ञात मामले में, 95% सहनशीलता अंतराल और 95% पूर्वानुमान अंतराल समान हैं। यदि हम किसी जनसंख्या के सटीक मापदंडों को जानते हैं, तो हम उस सीमा की गणना करने में सक्षम होंगे जिसके भीतर जनसंख्या का एक निश्चित अनुपात आता है। उदाहरण के लिए, यदि हम जानते हैं कि जनसंख्या माध्य के साथ सामान्य वितरण है $\mu$ और मानक विचलन $\sigma$, फिर अंतराल $\mu \pm 1.96\sigma$ इसमें 95% जनसंख्या शामिल है (1.96 सामान्य रूप से वितरित जनसंख्या के 95% कवरेज के लिए z के स्कोर है)।

हालाँकि, यदि हमारे पास जनसंख्या से केवल एक नमूना है, तो हम केवल नमूना माध्य ही जानते हैं ${\hat {\mu }}$ और नमूना मानक विचलन ${\hat {\sigma }}$, जो केवल वास्तविक मापदंडों के अनुमान हैं। उस मामले में, ${\hat {\mu }}\pm 1.96{\hat {\sigma }}$ इन अनुमानों में भिन्नता के कारण जरूरी नहीं कि इसमें 95% आबादी शामिल हो। एक सहिष्णुता अंतराल एक आत्मविश्वास स्तर का परिचय देकर इस भिन्नता को सीमित करता है $\gamma$, जो वह आत्मविश्वास है जिसके साथ यह अंतराल वास्तव में जनसंख्या के निर्दिष्ट अनुपात को शामिल करता है। सामान्य रूप से वितरित जनसंख्या के लिए, z-स्कोर को ak फ़ैक्टर या 'सहिष्णुता फ़ैक्टर' में बदला जा सकता है किसी प्रदत्त के लिए $\gamma$ लुकअप तालिकाओं या कई सन्निकटन सूत्रों के माध्यम से। जैसे-जैसे स्वतंत्रता की डिग्री अनंत तक पहुंचती है, भविष्यवाणी और सहनशीलता का अंतराल बराबर हो जाता है। सहिष्णुता अंतराल को आत्मविश्वास अंतराल और भविष्यवाणी अंतराल की तुलना में कम व्यापक रूप से जाना जाता है, इस स्थिति पर कुछ शिक्षकों ने खेद व्यक्त किया है, क्योंकि इससे अन्य अंतरालों का दुरुपयोग हो सकता है जहां सहिष्णुता अंतराल अधिक उपयुक्त है। सहिष्णुता अंतराल आत्मविश्वास अंतराल से भिन्न होता है जिसमें आत्मविश्वास अंतराल एकल-मूल्य वाले जनसंख्या पैरामीटर (उदाहरण के लिए माध्य या विचरण) को कुछ आत्मविश्वास के साथ बांधता है, जबकि सहिष्णुता अंतराल डेटा मानों की सीमा को सीमित करता है जिसमें एक विशिष्ट अनुपात शामिल होता है आबादी। जबकि आत्मविश्वास अंतराल का आकार पूरी तरह से नमूनाकरण त्रुटि के कारण होता है, और नमूना आकार बढ़ने पर वास्तविक जनसंख्या पैरामीटर पर शून्य-चौड़ाई अंतराल तक पहुंच जाएगा, सहिष्णुता अंतराल का आकार आंशिक रूप से नमूनाकरण त्रुटि और आंशिक रूप से जनसंख्या में वास्तविक भिन्नता के कारण होता है, और जैसे-जैसे नमूना आकार बढ़ेगा, जनसंख्या की संभाव्यता अंतराल के करीब पहुंच जाएगी।

सहिष्णुता अंतराल एक भविष्यवाणी अंतराल से संबंधित है जिसमें दोनों भविष्य के नमूनों में भिन्नता पर सीमाएं लगाते हैं। हालाँकि, पूर्वानुमान अंतराल केवल एक भविष्य के नमूने को सीमित करता है, जबकि एक सहिष्णुता अंतराल पूरी आबादी को सीमित करता है (समकक्ष, भविष्य के नमूनों का एक मनमाना अनुक्रम)। दूसरे शब्दों में, एक पूर्वानुमान अंतराल औसतन जनसंख्या के एक निर्दिष्ट अनुपात को कवर करता है, जबकि एक सहिष्णुता अंतराल इसे एक निश्चित आत्मविश्वास स्तर के साथ कवर करता है, जिससे सहिष्णुता अंतराल अधिक उपयुक्त हो जाता है यदि एक अंतराल का उद्देश्य कई भविष्य के नमूनों को बाध्य करना है।

उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरण देता है: <ब्लॉकउद्धरण>तो एक बार फिर से एक कहावत पर विचार करें संयुक्त राज्य अमेरिका पर्यावरण संरक्षण एजेंसी ऑटोमोबाइल परीक्षण परिदृश्य में ईंधन अर्थव्यवस्था, जिसमें माइलेज के आंकड़े उत्पन्न करने के लिए एक विशेष मॉडल के कई नाममात्र समान ऑटो का परीक्षण किया जाता है $y_{1},y_{2},...,y_{n}$. यदि इस तरह के डेटा को मॉडल के औसत माइलेज के लिए 95% विश्वास अंतराल उत्पन्न करने के लिए संसाधित किया जाता है, तो उदाहरण के लिए, ऐसे ऑटो के निर्मित बेड़े के पहले 5,000 मील के दौरान औसत या कुल गैसोलीन खपत का अनुमान लगाने के लिए इसका उपयोग करना संभव है। उपयोग के। हालाँकि, इस तरह का अंतराल, इन कारों में से किसी एक को किराए पर लेने वाले व्यक्ति के लिए बहुत मददगार नहीं होगा और सोच रहा होगा कि गैस का (पूरा) 10-गैलन टैंक उसे 350 मील अपने गंतव्य तक ले जाने के लिए पर्याप्त होगा या नहीं। उस कार्य के लिए, पूर्वानुमान अंतराल अधिक उपयोगी होगा। (95% आश्वस्त होने के विभिन्न निहितार्थों पर विचार करें $\mu \geq 35$ 95% आश्वस्त होने के विपरीत $y_{n+1}\geq 35$.) लेकिन न तो इसके लिए कोई कॉन्फिडेंस इंटरवल है $\mu$ न ही एक भी अतिरिक्त माइलेज के लिए पूर्वानुमान अंतराल बिल्कुल वही है जिसकी आवश्यकता एक डिज़ाइन इंजीनियर को होती है जिसे यह निर्धारित करने का काम सौंपा जाता है कि मॉडल को वास्तव में कितने बड़े गैस टैंक की गारंटी देने की आवश्यकता है कि उत्पादित 99% ऑटो में 400-मील की क्रूज़िंग रेंज होगी। इंजीनियर को वास्तव में एक अंश के लिए सहनशीलता अंतराल की आवश्यकता होती है $p=.99$ ऐसे ऑटो के माइलेज की. एक और उदाहरण दिया गया है:<ब्लॉककोट>एयर लेड का स्तर कहां से एकत्र किया गया $n=15$ सुविधा के भीतर विभिन्न क्षेत्र। यह नोट किया गया कि लॉग-रूपांतरित लीड स्तर एक सामान्य वितरण को अच्छी तरह से फिट करते हैं (अर्थात, डेटा एक लॉगनॉर्मल वितरण से हैं। चलो $\mu$ और $\sigma ^{2}$क्रमशः, लॉग-रूपांतरित डेटा के लिए जनसंख्या माध्य और विचरण को निरूपित करें। अगर $X$ इस प्रकार हमारे पास संगत यादृच्छिक चर को दर्शाता है $X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$. हमने ध्यान दिया कि $\exp(\mu )$ औसत वायु नेतृत्व स्तर है। के लिए एक विश्वास अंतराल $\mu$ विद्यार्थी के t-वितरण|t-वितरण के आधार पर, सामान्य तरीके से बनाया जा सकता है; यह बदले में औसत वायु नेतृत्व स्तर के लिए एक विश्वास अंतराल प्रदान करेगा। अगर ${\bar {X}}$ और $S$ आकार n के नमूने के लिए लॉग-रूपांतरित डेटा के नमूना माध्य और मानक विचलन को निरूपित करें, इसके लिए 95% विश्वास अंतराल $\mu$ द्वारा दिया गया है ${\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}$, कहाँ $t_{m,1-\alpha }$ को दर्शाता है $1-\alpha$ एक विद्यार्थी के t-वितरण की मात्रा|t-वितरण के साथ $m$ स्वतंत्रता की कोटियां। मध्य वायु नेतृत्व स्तर के लिए बाध्य 95% ऊपरी विश्वास प्राप्त करना भी रुचिकर हो सकता है। इस तरह के लिए बाध्य $\mu$ द्वारा दिया गया है ${\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S/{\sqrt {n}}$. परिणामस्वरूप, मध्य वायु नेतृत्व के लिए बाध्य 95% ऊपरी विश्वास द्वारा दिया जाता है $\exp {\left({\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S/{\sqrt {n}}\right)}$. अब मान लीजिए कि हम प्रयोगशाला के भीतर एक विशेष क्षेत्र में वायु सीसे के स्तर की भविष्यवाणी करना चाहते हैं। लॉग-रूपांतरित लीड स्तर के लिए 95% ऊपरी पूर्वानुमान सीमा दी गई है ${\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S{\sqrt {\left(1+1/n\right)}}$. दो-तरफा भविष्यवाणी अंतराल की गणना इसी तरह की जा सकती है। इन अंतरालों का अर्थ और व्याख्या सर्वविदित है। उदाहरण के लिए, यदि विश्वास अंतराल ${\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}$ स्वतंत्र नमूनों से बार-बार गणना की जाती है, इस प्रकार गणना किए गए 95% अंतरालों में का सही मूल्य शामिल होगा $\mu$, लंबे समय में। दूसरे शब्दों में, अंतराल का उद्देश्य पैरामीटर से संबंधित जानकारी प्रदान करना है $\mu$ केवल। एक पूर्वानुमान अंतराल की एक समान व्याख्या होती है, और इसका उद्देश्य केवल एकल लीड स्तर से संबंधित जानकारी प्रदान करना होता है। अब मान लीजिए कि हम नमूने का उपयोग करके यह निष्कर्ष निकालना चाहते हैं कि कम से कम 95% जनसंख्या का नेतृत्व स्तर एक सीमा से नीचे है या नहीं। विश्वास अंतराल और पूर्वानुमान अंतराल इस प्रश्न का उत्तर नहीं दे सकते, क्योंकि विश्वास अंतराल केवल मध्य लीड स्तर के लिए है, और पूर्वानुमान अंतराल केवल एकल लीड स्तर के लिए है। जो आवश्यक है वह एक सहनशीलता अंतराल है; अधिक विशेष रूप से, ऊपरी सहनशीलता सीमा। ऊपरी सहनशीलता सीमा की गणना इस शर्त के अधीन की जानी है कि कम से कम 95% आबादी का नेतृत्व स्तर एक निश्चित आत्मविश्वास स्तर, मान लीजिए 99% के साथ, सीमा से नीचे है।

यह भी देखें

• इंजीनियरिंग सहनशीलता
• सुरक्षा के कारक

अग्रिम पठन

• Hahn, Gerald J.; Meeker, William Q.; Escobar, Luis A. (2017). Statistical Intervals: A Guide for Practitioners and Researchers (2nd ed.). John Wiley & Sons, Incorporated. ISBN 978-0-471-68717-7.

• K. Krishnamoorthy (2009). Statistical Tolerance Regions: Theory, Applications, and Computation. John Wiley and Sons. ISBN 978-0-470-38026-0.; Chap. 1, "Preliminaries", is available at http://media.wiley.com/product_data/excerpt/68/04703802/0470380268.pdf
• Derek S. Young (August 2010). "tolerance: An R Package for Estimating Tolerance Intervals". Journal of Statistical Software. 36 (5): 1–39. ISSN 1548-7660. Retrieved 19 February 2013.
• ISO 16269-6, Statistical interpretation of data, Part 6: Determination of statistical tolerance intervals, Technical Committee ISO/TC 69, Applications of statistical methods. Available at http://standardsproposals.bsigroup.com/home/getpdf/458