द्वैध हान बहुपद

गणित में, दोहरे हान बहुपद एक समूह हैं जो एस्की योजना के अतिज्यामितीय ऑर्थोगोनल बहुपद के रूप में आते हैं। ये बहुपद एक असमान नियम पर परिभाषित होते हैं, जिसे $x(s)=s(s+1)$ रूप में लिखा जा सकता हैं

$w_{n}^{(c)}(s,a,b)={\frac {(a-b+1)_{n}(a+c+1)_{n}}{n!}}{}_{3}F_{2}(-n,a-s,a+s+1;a-b+a,a+c+1;1)$

के लिए $n=0,1,...,N-1$ और पैरामीटर $a,b,c$ तक सीमित हैं $-{\frac {1}{2}}<a<b,|c|<1+a,b=a+N$.

ध्यान दें कि $(u)_{k}$ गिरती और बढ़ती फैक्टोरियल है, जिसे अन्यथा पोचहैमर प्रतीक के रूप में जाना जाता है, और ${}_{3}F_{2}(\cdot )$ सामान्यीकृत हाइपरज्यामितीय फलन है

Roelof Koekoek, Peter A. Lesky, and René F. Swarttouw (2010, 14) उनकी संपत्तियों की विस्तृत सूची दें।

रूढ़िवादिता

दोहरे हान बहुपदों में रूढ़िवादिता की स्थिति होती है

$\sum _{s=a}^{b-1}w_{n}^{(c)}(s,a,b)w_{m}^{(c)}(s,a,b)\rho (s)[\Delta x(s-{\frac {1}{2}})]=\delta _{nm}d_{n}^{2}$

के लिए $n,m=0,1,...,N-1$. कहाँ $\Delta x(s)=x(s+1)-x(s)$,

$\rho (s)={\frac {\Gamma (a+s+1)\Gamma (c+s+1)}{\Gamma (s-a+1)\Gamma (b-s)\Gamma (b+s+1)\Gamma (s-c+1)}}$

और

$d_{n}^{2}={\frac {\Gamma (a+c+n+a)}{n!(b-a-n-1)!\Gamma (b-c-n)}}.$

संख्यात्मक अस्थिरता

के मूल्य के रूप में $n$ बढ़ता है, असतत बहुपदों द्वारा प्राप्त मान भी बढ़ता है। परिणामस्वरूप, बहुपदों की गणना में संख्यात्मक स्थिरता प्राप्त करने के लिए आप पुनर्सामान्यीकृत दोहरे हान बहुपद का उपयोग करेंगे जैसा कि परिभाषित किया गया है

${\hat {w}}_{n}^{(c)}(s,a,b)=w_{n}^{(c)}(s,a,b){\sqrt {{\frac {\rho (s)}{d_{n}^{2}}}[\Delta x(s-{\frac {1}{2}})]}}$

के लिए $n=0,1,...,N-1$.

तब रूढ़िवादिता की स्थिति बन जाती है

$\sum _{s=a}^{b-1}{\hat {w}}_{n}^{(c)}(s,a,b){\hat {w}}_{m}^{(c)}(s,a,b)=\delta _{m,n}$

के लिए $n,m=0,1,...,N-1$

अन्य बहुपदों से संबंध

हैन बहुपद, $h_{n}(x,N;\alpha ,\beta )$, एकसमान जाली पर परिभाषित किया गया है $x(s)=s$, और पैरामीटर $a,b,c$ के रूप में परिभाषित किया गया है $a=(\alpha +\beta )/2,b=a+N,c=(\beta -\alpha )/2$. फिर सेटिंग $\alpha =\beta =0$ हैन बहुपद चेबीशेव बहुपद बन जाते हैं। ध्यान दें कि दोहरे Hahn बहुपद में एक अतिरिक्त पैरामीटर q के साथ q-एनालॉग होता है जिसे दोहरे q-Hahn बहुपद के रूप में जाना जाता है।

राका बहुपद दोहरे हान बहुपद का एक सामान्यीकरण है।

संदर्भ

• Zhu, Hongqing (2007), "Image analysis by discrete orthogonal dual Hahn moments" (PDF), Pattern Recognition Letters, 28 (13): 1688–1704, doi:10.1016/j.patrec.2007.04.013
• Hahn, Wolfgang (1949), "Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen", Mathematische Nachrichten, 2 (1–2): 4–34, doi:10.1002/mana.19490020103, ISSN 0025-584X, MR 0030647
• Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F. (2010), Hypergeometric orthogonal polynomials and their q-analogues, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN 978-3-642-05013-8, MR 2656096
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Hahn Class: Definitions", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248