संवृत और विवृत प्रतिचित्र (ओपन एंड क्लोज्ड मैप)

गणित में, विशेष रूप से टोपोलॉजी में, एक खुला नक्शा दो टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच एक फ़ंक्शन (गणित) है जो खुले सेट को खुले सेट में मैप करता है।^[1]^[2]^[3] यानी एक फंक्शन $f:X\to Y$ यदि किसी खुले सेट के लिए खुला है $U$ में $X,$ छवि (गणित) $f(U)$ में खुला है $Y.$ इसी तरह, एक बंद नक्शा एक ऐसा फ़ंक्शन है जो बंद सेटों को बंद सेटों में मैप करता है।^[3]^[4] एक नक्शा खुला, बंद, दोनों या एक भी नहीं हो सकता है;^[5] विशेष रूप से, एक खुले मानचित्र को बंद करने की आवश्यकता नहीं है और इसके विपरीत।^[6] खुला^[7] और बंद^[8] मानचित्र आवश्यक रूप से सतत कार्य (टोपोलॉजी) नहीं हैं।^[4]इसके अलावा, निरंतरता सामान्य मामले में खुलेपन और बंदता से स्वतंत्र है और एक निरंतर कार्य में एक, दोनों, या कोई भी संपत्ति नहीं हो सकती है;^[3]यह तथ्य तब भी सत्य रहता है, जब कोई स्वयं को मीट्रिक स्थानों तक सीमित रखता है।^[9] हालाँकि उनकी परिभाषाएँ अधिक स्वाभाविक लगती हैं, खुले और बंद मानचित्र निरंतर मानचित्रों की तुलना में बहुत कम महत्वपूर्ण हैं। याद रखें, परिभाषा के अनुसार, एक फ़ंक्शन $f:X\to Y$ यदि प्रत्येक खुले सेट की पूर्वछवि निरंतर है $Y$ में खुला है $X.$ ^[2](समान रूप से, यदि प्रत्येक बंद सेट की प्रीइमेज $Y$ में बंद है $X$ ).

खुले मानचित्रों का प्रारंभिक अध्ययन सिमिओन स्टोइलो और गॉर्डन थॉमस व्हाईबर्न द्वारा किया गया था।^[10]

परिभाषाएँ और लक्षण वर्णन

अगर $S$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का एक उपसमुच्चय है तो चलिए ${\overline {S}}$ और $\operatorname {Cl} S$ (सम्मान. $\operatorname {Int} S$ ) समापन (टोपोलॉजी) (संबंधित आंतरिक (टोपोलॉजी) ) को दर्शाता है $S$ उस स्थान में. होने देना $f:X\to Y$ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच एक फ़ंक्शन बनें। अगर $S$ तो क्या कोई सेट है $f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}$ की छवि कहलाती है $S$ अंतर्गत $f.$

प्रतिस्पर्धी परिभाषाएँ

की दो अलग-अलग प्रतिस्पर्धी, लेकिन बारीकी से संबंधित परिभाषाएँ हैंopen map जिसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जहां इन दोनों परिभाषाओं को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है: यह एक मानचित्र है जो खुले सेट को खुले सेट में भेजता है। निम्नलिखित शब्दावली का उपयोग कभी-कभी दो परिभाषाओं के बीच अंतर करने के लिए किया जाता है।

नक्षा $f:X\to Y$ ए कहा जाता है

Strongly open mapअगर जब भी $U$ डोमेन का एक खुला सेट है $X$ तब $f(U)$ का एक खुला उपसमुच्चय है $f$ का कोडोमेन $Y.$ *Relatively open mapअगर जब भी $U$ डोमेन का एक खुला उपसमूह है $X$ तब $f(U)$ का एक खुला उपसमुच्चय है $f$ की छवि (गणित) $\operatorname {Im} f:=f(X),$ जहां हमेशा की तरह, यह सेट इसके द्वारा प्रेरित उप-स्थान टोपोलॉजी से संपन्न है $f$ का कोडोमेन $Y.$ ^[11]

प्रत्येक मजबूती से खुला नक्शा अपेक्षाकृत खुला नक्शा होता है। हालाँकि, ये परिभाषाएँ सामान्य रूप से समकक्ष नहीं हैं।

चेतावनी: कई लेखक खुले मानचित्र को इस अर्थ में परिभाषित करते हैंrelatively खुला मानचित्र (उदाहरण के लिए, गणित का विश्वकोश) जबकि अन्य खुले मानचित्र को अर्थ के रूप में परिभाषित करते हैंstrongly नक्शा खोलें. सामान्य तौर पर, ये परिभाषाएँ हैं not समतुल्य इसलिए यह सलाह दी जाती है कि हमेशा यह जांचें कि लेखक खुले मानचित्र की किस परिभाषा का उपयोग कर रहा है।

एक विशेषण फ़ंक्शन मानचित्र अपेक्षाकृत खुला होता है यदि और केवल यदि यह दृढ़ता से खुला हो; इसलिए इस महत्वपूर्ण विशेष मामले के लिए परिभाषाएँ समतुल्य हैं। अधिक सामान्यतः, एक मानचित्र $f:X\to Y$ अपेक्षाकृत खुला है यदि और केवल यदि विशेषण फलन $f:X\to f(X)$ एक दृढ़ता से खुला नक्शा है.

क्योंकि $X$ सदैव एक खुला उपसमुच्चय होता है $X,$ छवि $f(X)=\operatorname {Im} f$ एक दृढ़ता से खुले मानचित्र का $f:X\to Y$ इसके कोडोमेन का एक खुला उपसमुच्चय होना चाहिए $Y.$ वास्तव में, एक अपेक्षाकृत खुला मानचित्र एक दृढ़ता से खुला मानचित्र होता है यदि और केवल तभी जब इसकी छवि इसके कोडोमेन का एक खुला उपसमुच्चय हो। सारांश,

एक नक्शा दृढ़ता से खुला होता है यदि और केवल तभी जब वह अपेक्षाकृत खुला हो और उसकी छवि उसके कोडोमेन का एक खुला उपसमुच्चय हो।

इस लक्षण वर्णन का उपयोग करके, खुले मानचित्र की इन दो परिभाषाओं में से एक से जुड़े परिणामों को दूसरी परिभाषा से जुड़ी स्थिति में लागू करना अक्सर सीधा होता है।

उपरोक्त चर्चा बंद मानचित्रों पर भी लागू होगी यदि खुले शब्द के प्रत्येक उदाहरण को बंद शब्द से बदल दिया जाए।

नक्शे खोलें

नक्षा $f:X\to Y$ एक कहा जाता हैopen map या एstrongly open map यदि यह निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से किसी को पूरा करता है:

परिभाषा: $f:X\to Y$ इसके डोमेन के खुले उपसमुच्चय को इसके कोडोमेन के खुले उपसमुच्चय के साथ मैप करता है; अर्थात्, किसी भी खुले उपसमुच्चय के लिए $U$ का $X$ , $f(U)$ का एक खुला उपसमुच्चय है $Y.$

f:X\to Y

\operatorname {Im} f:=f(X)

Y.

प्रत्येक के लिए $x\in X$ $x\in X$ और प्रत्येक पड़ोस (टोपोलॉजी) $N$ $N$ का $x$ $x$ (हालांकि छोटा), $f(N)$ $f(N)$ का पड़ोस है $f(x)$ $f(x)$ . हम इस स्थिति में पड़ोस शब्द के पहले या दोनों उदाहरणों को खुले पड़ोस से बदल सकते हैं और परिणाम अभी भी एक समकक्ष स्थिति होगी:
- हरएक के लिए $x\in X$ और हर खुला पड़ोस $N$ का $x$ , $f(N)$ का पड़ोस है $f(x)$ .
- हरएक के लिए $x\in X$ और हर खुला पड़ोस $N$ का $x$ , $f(N)$ का खुला पड़ोस है $f(x)$ .
<ली> $f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {Int} _{Y}(f(A))$ $f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {Int} _{Y}(f(A))$ सभी उपसमुच्चय के लिए $A$ $A$ का $X,$ $X,$ कहाँ $\operatorname {Int}$ $\operatorname {Int}$ सेट के टोपोलॉजिकल इंटीरियर को दर्शाता है।
जब भी $C$ $C$ का एक बंद सेट है $X$ $X$ फिर सेट $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}$ $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}$ का एक बंद उपसमुच्चय है $Y.$ $Y.$
- यह निर्धारित पहचान और संबंधों की सूची का परिणाम है $f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},$ जो सभी उपसमुच्चय के लिए मान्य है $R\subseteq X.$

अगर ${\mathcal {B}}$ के लिए एक आधार (टोपोलॉजी) है $X$ तो निम्नलिखित को इस सूची में जोड़ा जा सकता है:

<ली मान= 6 > $f$ इसके कोडोमेन में बेसिक ओपन सेट को ओपन सेट में मैप करता है (अर्थात, किसी भी बेसिक ओपन सेट के लिए $B\in {\mathcal {B}},$ $f(B)$ का एक खुला उपसमुच्चय है $Y$ ).

बंद मानचित्र

नक्षा $f:X\to Y$ ए कहा जाता हैrelatively closed mapअगर जब भी $C$ डोमेन का एक बंद सेट है $X$ तब $f(C)$ का एक बंद उपसमुच्चय है $f$ की छवि (गणित) $\operatorname {Im} f:=f(X),$ जहां हमेशा की तरह, यह सेट इसके द्वारा प्रेरित उप-स्थान टोपोलॉजी से संपन्न है $f$ का कोडोमेन $Y.$ नक्षा $f:X\to Y$ ए कहा जाता हैclosed map या एstrongly closed map यदि यह निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से किसी को पूरा करता है:

परिभाषा: $f:X\to Y$ इसके डोमेन के बंद उपसमुच्चय को इसके कोडोमेन के बंद उपसमुच्चय से मैप करता है; अर्थात्, किसी भी बंद उपसमुच्चय के लिए $C$ का $X,$ $f(C)$ का एक बंद उपसमुच्चय है $Y.$ <वह> $f:X\to Y$ यह एक अपेक्षाकृत बंद मानचित्र और उसकी छवि है $\operatorname {Im} f:=f(X)$ इसके कोडोमेन का एक बंद उपसमुच्चय है $Y.$

{\overline {f(A)}}\subseteq f\left({\overline {A}}\right)

A\subseteq X.

{\overline {f(C)}}\subseteq f(C)

C\subseteq X.

{\overline {f(C)}}=f(C)

C\subseteq X.

जब भी $U$ का एक खुला उपसमुच्चय है $X$ फिर सेट $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq U\right\}$ का एक खुला उपसमुच्चय है $Y.$
यदि $x_{\bullet }$ में एक नेट (गणित) है $X$ और $y\in Y$ एक बिंदु ऐसा है $f\left(x_{\bullet }\right)\to y$ में $Y,$ तब $x_{\bullet }$ में एकत्रित हो जाता है $X$ सेट पर $f^{-1}(y).$ *अभिसरण $x_{\bullet }\to f^{-1}(y)$ इसका मतलब है कि प्रत्येक खुला उपसमुच्चय $X$ उसमें सम्मिलित है $f^{-1}(y)$ शामिल है $x_{j}$ सभी पर्याप्त बड़े सूचकांकों के लिए $j.$

एक विशेषण फ़ंक्शन मानचित्र दृढ़ता से बंद होता है यदि और केवल यदि यह अपेक्षाकृत बंद होता है। तो इस महत्वपूर्ण विशेष मामले के लिए, दोनों परिभाषाएँ समतुल्य हैं। परिभाषा के अनुसार, मानचित्र $f:X\to Y$ एक अपेक्षाकृत बंद नक्शा है यदि और केवल यदि विशेषण फ़ंक्शन $f:X\to \operatorname {Im} f$ एक दृढ़ता से बंद नक्शा है.

यदि सतत फ़ंक्शन की खुली सेट परिभाषा में (जो कि कथन है: एक खुले सेट की प्रत्येक प्रीइमेज खुली है), ओपन शब्द के दोनों उदाहरणों को बंद के साथ बदल दिया जाता है, तो परिणामों का विवरण (एक बंद सेट की प्रत्येक प्रीइमेज बंद है) है equivalent निरंतरता के लिए. खुले मानचित्र की परिभाषा के साथ ऐसा नहीं होता है (जो है: एक खुले सेट की प्रत्येक छवि खुली है) क्योंकि यह कथन (एक बंद सेट की प्रत्येक छवि बंद है) बंद मानचित्र की परिभाषा है, जो सामान्य रूप से है not खुलेपन के बराबर। ऐसे खुले मानचित्र भी मौजूद हैं जो बंद नहीं हैं और ऐसे बंद मानचित्र भी मौजूद हैं जो खुले नहीं हैं। खुले/बंद मानचित्रों और सतत मानचित्रों के बीच यह अंतर अंततः किसी भी सेट के कारण होता है $S,$ केवल $f(X\setminus S)\supseteq f(X)\setminus f(S)$ सामान्य तौर पर इसकी गारंटी होती है, जबकि पूर्वछवियों के लिए समानता की गारंटी होती है $f^{-1}(Y\setminus S)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(S)$ हमेशा धारण करता है.

उदाहरण

कार्यक्रम $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ द्वारा परिभाषित $f(x)=x^{2}$ निरंतर, बंद और अपेक्षाकृत खुला है, लेकिन (दृढ़ता से) खुला नहीं है। इसका कारण यह है कि यदि $U=(a,b)$ में कोई खुला अंतराल है $f$ का डोमेन $\mathbb {R}$ वैसा करता है not रोकना $0$ तब $f(U)=(\min\{a^{2},b^{2}\},\max\{a^{2},b^{2}\}),$ जहां यह खुला अंतराल दोनों का एक खुला उपसमुच्चय है $\mathbb {R}$ और $\operatorname {Im} f:=f(\mathbb {R} )=[0,\infty ).$ हालांकि, यदि $U=(a,b)$ में कोई खुला अंतराल है $\mathbb {R}$ उसमें सम्मिलित है $0$ तब $f(U)=[0,\max\{a^{2},b^{2}\}),$ जो कि एक खुला उपसमुच्चय नहीं है $f$ का कोडोमेन $\mathbb {R}$ लेकिन is का एक खुला उपसमुच्चय $\operatorname {Im} f=[0,\infty ).$ क्योंकि सभी खुले अंतरालों का सेट $\mathbb {R}$ यूक्लिडियन टोपोलॉजी के लिए एक आधार (टोपोलॉजी) है $\mathbb {R} ,$ इससे पता चलता है कि $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ अपेक्षाकृत खुला है लेकिन (दृढ़ता से) खुला नहीं है।

अगर $Y$ असतत टोपोलॉजी है (अर्थात, सभी उपसमुच्चय खुले और बंद हैं) फिर प्रत्येक फ़ंक्शन $f:X\to Y$ खुला और बंद दोनों है (लेकिन जरूरी नहीं कि निरंतर हो)। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्या से फर्श समारोह| $\mathbb {R}$ पूर्णांक तक| $\mathbb {Z}$ खुला और बंद है, लेकिन निरंतर नहीं। यह उदाहरण दिखाता है कि खुले या बंद मानचित्र के अंतर्गत जुड़े स्थान की छवि को कनेक्ट करने की आवश्यकता नहीं है।

जब भी हमारे पास टोपोलॉजिकल स्पेस का उत्पाद टोपोलॉजी होता है $X=\prod X_{i},$ प्राकृतिक अनुमान $p_{i}:X\to X_{i}$ खुले हैं^[12]^[13] (साथ ही निरंतर)। चूंकि फाइबर बंडलों और कवरिंग मानचित्रों के प्रक्षेपण उत्पादों के स्थानीय रूप से प्राकृतिक प्रक्षेपण हैं, इसलिए ये खुले मानचित्र भी हैं। हालाँकि अनुमानों को बंद करने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए प्रक्षेपण पर विचार करें $p_{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ पहले घटक पर; फिर सेट $A=\{(x,1/x):x\neq 0\}$ में बंद है $\mathbb {R} ^{2},$ लेकिन $p_{1}(A)=\mathbb {R} \setminus \{0\}$ में बंद नहीं है $\mathbb {R} .$ हालाँकि, एक कॉम्पैक्ट स्थान के लिए $Y,$ प्रक्षेपण $X\times Y\to X$ बन्द है। यह मूलतः ट्यूब लेम्मा है।

इकाई चक्र के प्रत्येक बिंदु पर हम सकारात्मक कोण को जोड़ सकते हैं $x$ -बिंदु को मूल बिंदु से जोड़ने वाली किरण के साथ अक्ष। यूनिट सर्कल से आधे खुले अंतराल (गणित) तक यह फ़ंक्शन विशेषण, खुला और बंद है, लेकिन निरंतर नहीं है। यह दर्शाता है कि खुले या बंद मानचित्र के नीचे एक सघन स्थान की छवि को कॉम्पैक्ट होने की आवश्यकता नहीं है। यह भी ध्यान दें कि यदि हम इसे इकाई वृत्त से वास्तविक संख्याओं तक का फलन मानें, तो यह न तो खुला है और न ही बंद है। कोडोमेन निर्दिष्ट करना आवश्यक है।

पर्याप्त स्थितियाँ

प्रत्येक होमियोमोर्फिज्म खुला, बंद और निरंतर है। वास्तव में, एक विशेषण सतत मानचित्र एक समरूपता है यदि और केवल यदि यह खुला है, या समकक्ष रूप से, यदि और केवल यदि यह बंद है।

दो (दृढ़ता से) खुले मानचित्रों की कार्यात्मक संरचना एक खुला मानचित्र है और दो (दृढ़ता से) बंद मानचित्रों की संरचना एक बंद मानचित्र है।^[14]^[15] हालाँकि, दो अपेक्षाकृत खुले मानचित्रों की संरचना को अपेक्षाकृत खुला होने की आवश्यकता नहीं है और इसी तरह, दो अपेक्षाकृत बंद मानचित्रों की संरचना को अपेक्षाकृत बंद करने की आवश्यकता नहीं है। अगर $f:X\to Y$ दृढ़ता से खुला है (क्रमशः, दृढ़ता से बंद) और $g:Y\to Z$ तब अपेक्षाकृत खुला (क्रमशः, अपेक्षाकृत बंद) है $g\circ f:X\to Z$ अपेक्षाकृत खुला है (क्रमशः, अपेक्षाकृत बंद)।

होने देना $f:X\to Y$ एक नक्शा हो. कोई उपसमुच्चय दिया गया है $T\subseteq Y,$ अगर $f:X\to Y$ एक अपेक्षाकृत खुला (क्रमशः, अपेक्षाकृत बंद, दृढ़ता से खुला, दृढ़ता से बंद, निरंतर, विशेषण फ़ंक्शन) मानचित्र है तो इसके प्रतिबंध के बारे में भी यही सच है

 $f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T$

संतृप्त सेट के लिए| $f$ -संतृप्त उपसमुच्चय $f^{-1}(T).$ दो खुले नक्शों का स्पष्ट योग खुला है, या दो बंद नक्शों का बंद है।^[15] दो खुले मानचित्रों का श्रेणीबद्ध उत्पाद (टोपोलॉजी) खुला है, हालाँकि, दो बंद मानचित्रों के श्रेणीबद्ध उत्पाद को बंद करने की आवश्यकता नहीं है।^[14]^[15] एक विशेषण मानचित्र तभी खुला होता है जब वह बंद हो। एक विशेषण सतत मानचित्र का व्युत्क्रम एक विशेषण खुला/बंद मानचित्र है (और इसके विपरीत)। एक विशेषण खुला मानचित्र आवश्यक रूप से एक बंद मानचित्र नहीं होता है, और इसी तरह, एक विशेषण बंद मानचित्र आवश्यक रूप से एक खुला मानचित्र नहीं होता है। सभी स्थानीय होमोमोर्फिज्म, जिसमें कई गुना ्स पर सभी समन्वय चार्ट और सभी कवरिंग मानचित्र शामिल हैं, खुले मानचित्र हैं।

Closed map lemma — Every continuous function $f:X\to Y$ from a compact space $X$ to a Hausdorff space $Y$ is closed and proper (meaning that preimages of compact sets are compact).

बंद मानचित्र लेम्मा का एक प्रकार बताता है कि यदि स्थानीय रूप स्थानीय रूप से सघन स्थान हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान के बीच एक सतत कार्य उचित है तो यह भी बंद है।

जटिल विश्लेषण में, समान रूप से नामित ओपन मैपिंग प्रमेय (जटिल विश्लेषण) बताता है कि जटिल विमान के कनेक्टेड स्पेस ओपन उपसमुच्चय पर परिभाषित प्रत्येक गैर-स्थिर होलोमोर्फिक फ़ंक्शन एक खुला मानचित्र है।

डोमेन प्रमेय का अपरिवर्तन बताता है कि दो के बीच एक सतत और स्थानीय रूप से इंजेक्शन फ़ंक्शन $n$ -डायमेंशनल मैनिफोल्ड खुला होना चाहिए।

Invariance of domain — If $U$ is an open subset of $\mathbb {R} ^{n}$ and $f:U\to \mathbb {R} ^{n}$ is an injective continuous map, then $V:=f(U)$ is open in $\mathbb {R} ^{n}$ and $f$ is a homeomorphism between $U$ and $V.$

कार्यात्मक विश्लेषण में, ओपन मैपिंग प्रमेय (कार्यात्मक विश्लेषण) बताता है कि बानाच रिक्त स्थान के बीच प्रत्येक विशेषण निरंतर रैखिक ऑपरेटर एक खुला मानचित्र है। इस प्रमेय को केवल बानाच रिक्त स्थान से परे टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस स्थान के लिए सामान्यीकृत किया गया है।

एक विशेषण मानचित्र $f:X\to Y$ एक कहा जाता हैalmost open map यदि प्रत्येक के लिए $y\in Y$ वहाँ कुछ मौजूद है $x\in f^{-1}(y)$ ऐसा है कि $x$ एक हैpoint of openness के लिए $f,$ जिसका परिभाषा के अनुसार अर्थ यह है कि प्रत्येक खुले पड़ोस के लिए $U$ का $x,$ $f(U)$ का पड़ोस (टोपोलॉजी) है $f(x)$ में $Y$ (ध्यान दें कि पड़ोस $f(U)$ होना आवश्यक नहीं है open अड़ोस-पड़ोस)। प्रत्येक विशेषण खुला नक्शा लगभग खुला नक्शा होता है लेकिन सामान्य तौर पर, इसका विपरीत आवश्यक रूप से सत्य नहीं होता है। यदि एक अनुमान $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ एक लगभग खुला नक्शा है तो यह एक खुला नक्शा होगा यदि यह निम्नलिखित शर्त को पूरा करता है (एक शर्त जो करता है notकिसी भी तरह से निर्भर रहें $Y$ की टोपोलॉजी $\sigma$ ):

जब कभी भी

m,n\in X

के एक ही फाइबर (गणित) से संबंधित हैं

f

(वह है,

f(m)=f(n)

) फिर हर पड़ोस के लिए

U\in \tau

का

m,

वहाँ कुछ पड़ोस मौजूद है

V\in \tau

का

n

ऐसा है कि

F(V)\subseteq F(U).

यदि मानचित्र निरंतर है तो मानचित्र के खुले होने के लिए भी उपरोक्त शर्त आवश्यक है। अर्थात यदि

f:X\to Y

यदि यह एक सतत प्रक्षेपण है तो यह एक खुला मानचित्र है यदि और केवल यदि यह लगभग खुला है और यह उपरोक्त शर्त को पूरा करता है।

गुण

खुले या बंद मानचित्र जो निरंतर हैं

अगर $f:X\to Y$ एक सतत मानचित्र है जो खुला भी है or फिर बंद:

अगर $f$ $f$ एक अनुमान है तो यह एक भागफल मानचित्र (टोपोलॉजी) है और यहां तक कि एक आनुवंशिक रूप से भागफल मानचित्र भी है,
- एक विशेषण मानचित्र $f:X\to Y$ कहा जाता है hereditarily quotient यदि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $T\subseteq Y,$ प्रतिबंध $f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T$ एक भागफल मानचित्र है.
अगर $f$ यदि यह एक इंजेक्शन का कार्य है तो यह एक टोपोलॉजिकल एम्बेडिंग है।
अगर $f$ यदि यह एक आक्षेप है तो यह एक समरूपता है।

पहले दो मामलों में, खुला या बंद होना आगे आने वाले निष्कर्ष के लिए पर्याप्त शर्त मात्र है। तीसरी स्थिति में भी यह आवश्यक शर्त है।

निरंतर मानचित्र खोलें

अगर $f:X\to Y$ एक सतत (दृढ़ता से) खुला मानचित्र है, $A\subseteq X,$ और $S\subseteq Y,$ तब:

f^{-1}\left(\operatorname {Bd} _{Y}S\right)=\operatorname {Bd} _{X}\left(f^{-1}(S)\right)

\operatorname {Bd}

सीमा (टोपोलॉजी)

f^{-1}\left({\overline {S}}\right)={\overline {f^{-1}(S)}}

{\overline {S}}

यदि ${\overline {A}}={\overline {\operatorname {Int} _{X}A}},$ कहाँ $\operatorname {Int}$ तब, एक सेट के इंटीरियर (टोपोलॉजी) को दर्शाता है ${\overline {\operatorname {Int} _{Y}f(A)}}={\overline {f(A)}}={\overline {f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)}}={\overline {f\left({\overline {\operatorname {Int} _{X}A}}\right)}}$ यह सेट कहां है ${\overline {f(A)}}$ यह भी आवश्यक रूप से एक नियमित बंद सेट (में) है $Y$ ).^{[note 1]}विशेषकर, यदि $A$ यदि यह एक नियमित बंद सेट है तो ऐसा ही है ${\overline {f(A)}}.$ और अगर $A$ एक नियमित खुला सेट है तो ऐसा ही है $Y\setminus {\overline {f(X\setminus A)}}.$
यदि निरंतर खुला मानचित्र $f:X\to Y$ तब यह भी विशेषण है $\operatorname {Int} _{X}f^{-1}(S)=f^{-1}\left(\operatorname {Int} _{Y}S\right)$ और इसके अलावा, $S$ एक नियमित खुला है (सम्मानित एक नियमित बंद)^{[note 1]}का भाग $Y$ अगर और केवल अगर $f^{-1}(S)$ का एक नियमित खुला (सम्मानित एक नियमित बंद) उपसमुच्चय है $X.$
यदि एक नेट (गणित) $y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i\in I}$ अभिसारी जाल में $Y$ एक स्तर तक $y\in Y$ और यदि निरंतर खुला नक्शा $f:X\to Y$ विशेषण है, फिर किसी के लिए $x\in f^{-1}(y)$ वहाँ एक जाल मौजूद है $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ में $X$ (कुछ निर्देशित सेट द्वारा अनुक्रमित $A$ ) ऐसा है कि $x_{\bullet }\to x$ में $X$ और $f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}$ का एक सबनेट (गणित) है $y_{\bullet }.$ इसके अलावा, अनुक्रमण सेट $A$ माना जा सकता है $A:=I\times {\mathcal {N}}_{x}$ उत्पाद ऑर्डर के साथ जहां ${\mathcal {N}}_{x}$ का कोई पड़ोस आधार है $x$ निर्देशक $\,\supseteq .\,$ ^{[note 2]}

यह भी देखें

↑ ^1.0 ^1.1 A subset $S\subseteq X$ is called a regular closed set if ${\overline {\operatorname {Int} S}}=S$ or equivalently, if $\operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S,$ where $\operatorname {Bd} S$ (resp. $\operatorname {Int} S,$ ${\overline {S}}$ ) denotes the topological boundary (resp. interior, closure) of $S$ in $X.$ The set $S$ is called a regular open set if $\operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S$ or equivalently, if $\operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S.$ The interior (taken in $X$ ) of a closed subset of $X$ is always a regular open subset of $X.$ The closure (taken in $X$ ) of an open subset of $X$ is always a regular closed subset of $X.$
↑ Explicitly, for any $a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},$ pick any $h_{a}\in I$ such that $i\leq h_{a}{\text{ and }}y_{h_{a}}\in f(U)$ and then let $x_{a}\in U\cap f^{-1}\left(y_{h_{a}}\right)$ be arbitrary. The assignment $a\mapsto h_{a}$ defines an order morphism $h:A\to I$ such that $h(A)$ is a cofinal subset of $I;$ thus $f\left(x_{\bullet }\right)$ is a Willard-subnet of $y_{\bullet }.$

उद्धरण

↑ Munkres, James R. (2000). टोपोलॉजी (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
↑ ^2.0 ^2.1 Mendelson, Bert (1990) [1975]. टोपोलॉजी का परिचय (Third ed.). Dover. p. 89. ISBN 0-486-66352-3. It is important to remember that Theorem 5.3 says that a function $f$ is continuous if and only if the inverse image of each open set is open. This characterization of continuity should not be confused with another property that a function may or may not possess, the property that the image of each open set is an open set (such functions are called open mappings).
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 Lee, John M. (2003). स्मूथ मैनिफोल्ड्स का परिचय. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 218. Springer Science & Business Media. p. 550. ISBN 9780387954486. A map $F:X\to Y$ (continuous or not) is said to be an open map if for every closed subset $U\subseteq X,$ $F(U)$ is open in $Y,$ and a closed map if for every closed subset $K\subseteq U,$ $F(K)$ is closed in $Y.$ Continuous maps may be open, closed, both, or neither, as can be seen by examining simple examples involving subsets of the plane.
↑ ^4.0 ^4.1 Ludu, Andrei (15 January 2012). समोच्चों और बंद सतहों पर अरेखीय तरंगें और सॉलिटॉन. Springer Series in Synergetics. p. 15. ISBN 9783642228940. An open map is a function between two topological spaces which maps open sets to open sets. Likewise, a closed map is a function which maps closed sets to closed sets. The open or closed maps are not necessarily continuous.
↑ Sohrab, Houshang H. (2003). बुनियादी वास्तविक विश्लेषण. Springer Science & Business Media. p. 203. ISBN 9780817642112. Now we are ready for our examples which show that a function may be open without being closed or closed without being open. Also, a function may be simultaneously open and closed or neither open nor closed. (The quoted statement in given in the context of metric spaces but as topological spaces arise as generalizations of metric spaces, the statement holds there as well.)
↑ Naber, Gregory L. (2012). यूक्लिडियन स्पेस में टोपोलॉजिकल तरीके. Dover Books on Mathematics (reprint ed.). Courier Corporation. p. 18. ISBN 9780486153445. Exercise 1-19. Show that the projection map $\pi _{i}:X_{i}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$ π₁:X₁ × ··· × X_k → X_i is an open map, but need not be a closed map. Hint: The projection of R² onto $\mathbb {R}$ is not closed. Similarly, a closed map need not be open since any constant map is closed. For maps that are one-to-one and onto, however, the concepts of 'open' and 'closed' are equivalent.
↑ Mendelson, Bert (1990) [1975]. टोपोलॉजी का परिचय (Third ed.). Dover. p. 89. ISBN 0-486-66352-3. There are many situations in which a function $f:\left(X,\tau \right)\to \left(Y,\tau '\right)$ has the property that for each open subset $A$ of $X,$ the set $f(A)$ is an open subset of $Y,$ and yet $f$ is not continuous.
↑ Boos, Johann (2000). सारांश में शास्त्रीय और आधुनिक तरीके. Oxford University Press. p. 332. ISBN 0-19-850165-X. Now, the question arises whether the last statement is true in general, that is whether closed maps are continuous. That fails in general as the following example proves.
↑ Kubrusly, Carlos S. (2011). संचालक सिद्धांत के तत्व. Springer Science & Business Media. p. 115. ISBN 9780817649982. In general, a map $F:X\to Y$ of a metric space $X$ into a metric space $Y$ may possess any combination of the attributes 'continuous', 'open', and 'closed' (that is, these are independent concepts).
↑ Hart, K. P.; Nagata, J.; Vaughan, J. E., eds. (2004). सामान्य टोपोलॉजी का विश्वकोश. Elsevier. p. 86. ISBN 0-444-50355-2. It seems that the study of open (interior) maps began with papers [13,14] by S. Stoïlow. Clearly, openness of maps was first studied extensively by G.T. Whyburn [19,20].
↑ Narici & Beckenstein 2011, pp. 225–273.
↑ Willard, Stephen (1970). सामान्य टोपोलॉजी. Addison-Wesley. ISBN 0486131785.
↑ Lee, John M. (2012). स्मूथ मैनिफोल्ड्स का परिचय. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 218 (Second ed.). p. 606. doi:10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9982-5. Exercise A.32. Suppose $X_{1},\ldots ,X_{k}$ are topological spaces. Show that each projection $\pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$ is an open map.
↑ ^14.0 ^14.1 Baues, Hans-Joachim; Quintero, Antonio (2001). अनंत समरूपता सिद्धांत. K-Monographs in Mathematics. Vol. 6. p. 53. ISBN 9780792369820. A composite of open maps is open and a composite of closed maps is closed. Also, a product of open maps is open. In contrast, a product of closed maps is not necessarily closed,...
↑ ^15.0 ^15.1 ^15.2 James, I. M. (1984). सामान्य टोपोलॉजी और होमोटोपी सिद्धांत. Springer-Verlag. p. 49. ISBN 9781461382836. ...let us recall that the composition of open maps is open and the composition of closed maps is closed. Also that the sum of open maps is open and the sum of closed maps is closed. However, the product of closed maps is not necessarily closed, although the product of open maps is open.

संदर्भ

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Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

[DefOfRegularOpenClosed-16] 1.0 ^1.1 A subset $S\subseteq X$ is called a regular closed set if ${\overline {\operatorname {Int} S}}=S$ or equivalently, if $\operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S,$ where $\operatorname {Bd} S$ (resp. $\operatorname {Int} S,$ ${\overline {S}}$ ) denotes the topological boundary (resp. interior, closure) of $S$ in $X.$ The set $S$ is called a regular open set if $\operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S$ or equivalently, if $\operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S.$ The interior (taken in $X$ ) of a closed subset of $X$ is always a regular open subset of $X.$ The closure (taken in $X$ ) of an open subset of $X$ is always a regular closed subset of $X.$

[17] Explicitly, for any $a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},$ pick any $h_{a}\in I$ such that $i\leq h_{a}{\text{ and }}y_{h_{a}}\in f(U)$ and then let $x_{a}\in U\cap f^{-1}\left(y_{h_{a}}\right)$ be arbitrary. The assignment $a\mapsto h_{a}$ defines an order morphism $h:A\to I$ such that $h(A)$ is a cofinal subset of $I;$ thus $f\left(x_{\bullet }\right)$ is a Willard-subnet of $y_{\bullet }.$

[1] Munkres, James R. (2000). टोपोलॉजी (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.

[mendelson-2] 2.0 ^2.1 Mendelson, Bert (1990) [1975]. टोपोलॉजी का परिचय (Third ed.). Dover. p. 89. ISBN 0-486-66352-3. It is important to remember that Theorem 5.3 says that a function $f$ is continuous if and only if the inverse image of each open set is open. This characterization of continuity should not be confused with another property that a function may or may not possess, the property that the image of each open set is an open set (such functions are called open mappings).

[lee550-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 Lee, John M. (2003). स्मूथ मैनिफोल्ड्स का परिचय. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 218. Springer Science & Business Media. p. 550. ISBN 9780387954486. A map $F:X\to Y$ (continuous or not) is said to be an open map if for every closed subset $U\subseteq X,$ $F(U)$ is open in $Y,$ and a closed map if for every closed subset $K\subseteq U,$ $F(K)$ is closed in $Y.$ Continuous maps may be open, closed, both, or neither, as can be seen by examining simple examples involving subsets of the plane.

[ludu15-4] 4.0 ^4.1 Ludu, Andrei (15 January 2012). समोच्चों और बंद सतहों पर अरेखीय तरंगें और सॉलिटॉन. Springer Series in Synergetics. p. 15. ISBN 9783642228940. An open map is a function between two topological spaces which maps open sets to open sets. Likewise, a closed map is a function which maps closed sets to closed sets. The open or closed maps are not necessarily continuous.

[5] Sohrab, Houshang H. (2003). बुनियादी वास्तविक विश्लेषण. Springer Science & Business Media. p. 203. ISBN 9780817642112. Now we are ready for our examples which show that a function may be open without being closed or closed without being open. Also, a function may be simultaneously open and closed or neither open nor closed. (The quoted statement in given in the context of metric spaces but as topological spaces arise as generalizations of metric spaces, the statement holds there as well.)

[6] Naber, Gregory L. (2012). यूक्लिडियन स्पेस में टोपोलॉजिकल तरीके. Dover Books on Mathematics (reprint ed.). Courier Corporation. p. 18. ISBN 9780486153445. Exercise 1-19. Show that the projection map $\pi _{i}:X_{i}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$ π₁:X₁ × ··· × X_k → X_i is an open map, but need not be a closed map. Hint: The projection of R² onto $\mathbb {R}$ is not closed. Similarly, a closed map need not be open since any constant map is closed. For maps that are one-to-one and onto, however, the concepts of 'open' and 'closed' are equivalent.

[mendelson2-7] Mendelson, Bert (1990) [1975]. टोपोलॉजी का परिचय (Third ed.). Dover. p. 89. ISBN 0-486-66352-3. There are many situations in which a function $f:\left(X,\tau \right)\to \left(Y,\tau '\right)$ has the property that for each open subset $A$ of $X,$ the set $f(A)$ is an open subset of $Y,$ and yet $f$ is not continuous.

[8] Boos, Johann (2000). सारांश में शास्त्रीय और आधुनिक तरीके. Oxford University Press. p. 332. ISBN 0-19-850165-X. Now, the question arises whether the last statement is true in general, that is whether closed maps are continuous. That fails in general as the following example proves.

[9] Kubrusly, Carlos S. (2011). संचालक सिद्धांत के तत्व. Springer Science & Business Media. p. 115. ISBN 9780817649982. In general, a map $F:X\to Y$ of a metric space $X$ into a metric space $Y$ may possess any combination of the attributes 'continuous', 'open', and 'closed' (that is, these are independent concepts).

[10] Hart, K. P.; Nagata, J.; Vaughan, J. E., eds. (2004). सामान्य टोपोलॉजी का विश्वकोश. Elsevier. p. 86. ISBN 0-444-50355-2. It seems that the study of open (interior) maps began with papers [13,14] by S. Stoïlow. Clearly, openness of maps was first studied extensively by G.T. Whyburn [19,20].

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011225–273-11] Narici & Beckenstein 2011, pp. 225–273.

[12] Willard, Stephen (1970). सामान्य टोपोलॉजी. Addison-Wesley. ISBN 0486131785.

[13] Lee, John M. (2012). स्मूथ मैनिफोल्ड्स का परिचय. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 218 (Second ed.). p. 606. doi:10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9982-5. Exercise A.32. Suppose $X_{1},\ldots ,X_{k}$ are topological spaces. Show that each projection $\pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$ is an open map.

[baues55-14] 14.0 ^14.1 Baues, Hans-Joachim; Quintero, Antonio (2001). अनंत समरूपता सिद्धांत. K-Monographs in Mathematics. Vol. 6. p. 53. ISBN 9780792369820. A composite of open maps is open and a composite of closed maps is closed. Also, a product of open maps is open. In contrast, a product of closed maps is not necessarily closed,...

[james49-15] 15.0 ^15.1 ^15.2 James, I. M. (1984). सामान्य टोपोलॉजी और होमोटोपी सिद्धांत. Springer-Verlag. p. 49. ISBN 9781461382836. ...let us recall that the composition of open maps is open and the composition of closed maps is closed. Also that the sum of open maps is open and the sum of closed maps is closed. However, the product of closed maps is not necessarily closed, although the product of open maps is open.

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