जनरल डिरिचलेट श्रृंखला

गणितीय विश्लेषण के क्षेत्र में, एक सामान्य डिरिचलेट श्रृंखला एक श्रृंखला (गणित) है जो का रूप लेती है

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s},$

कहाँ $a_{n}$, $s$ सम्मिश्र संख्याएँ हैं और $\{\lambda _{n}\}$ गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का सख्ती से बढ़ता हुआ क्रम है जो अनंत की ओर बढ़ता है।

एक साधारण अवलोकन से पता चलता है कि एक 'साधारण' डिरिचलेट श्रृंखला

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},$

प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है $\lambda _{n}=\ln n$ जबकि एक शक्ति श्रृंखला

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(e^{-s})^{n},$

कब प्राप्त होता है $\lambda _{n}=n$.

मौलिक प्रमेय

यदि एक डिरिचलेट श्रृंखला अभिसरण है $s_{0}=\sigma _{0}+t_{0}i$, तो यह किसी फ़ंक्शन के डोमेन में एकसमान अभिसरण है

$|\arg(s-s_{0})|\leq \theta <{\frac {\pi }{2}},$

और किसी के लिए अभिसरण श्रृंखला $s=\sigma +ti$ कहाँ $\sigma >\sigma _{0}$.

डिरिचलेट श्रृंखला के अभिसरण के संबंध में अब तीन संभावनाएं हैं, यानी यह सभी के लिए, किसी के लिए या एस के कुछ मूल्यों के लिए अभिसरण हो सकता है। बाद वाले मामले में, वहाँ मौजूद हैं $\sigma _{c}$ इस प्रकार कि श्रृंखला अभिसारी है $\sigma >\sigma _{c}$ और भिन्न श्रृंखला के लिए $\sigma <\sigma _{c}$. रिवाज के सन्दर्भ मे, $\sigma _{c}=\infty$ यदि श्रृंखला कहीं भी अभिसरण नहीं करती है और $\sigma _{c}=-\infty$ यदि श्रृंखला जटिल तल पर हर जगह अभिसरित होती है।

अभिसरण का भुज

डिरिचलेट श्रृंखला के अभिसरण के भुज को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है $\sigma _{c}$ ऊपर। एक और समकक्ष परिभाषा है

$\sigma _{c}=\inf \left\{\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}{\text{ converges for every }}s{\text{ for which }}\operatorname {Re} (s)>\sigma \right\}.$

रेखा $\sigma =\sigma _{c}$ अभिसरण रेखा कहलाती है। अभिसरण के आधे तल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\mathbb {C} _{\sigma _{c}}=\{s\in \mathbb {C} :\operatorname {Re} (s)>\sigma _{c}\}.$

डिरिचलेट श्रृंखला के अभिसरण का भुज, रेखा (ज्यामिति) और अर्ध-स्थान (ज्यामिति) | अर्ध-तल एक शक्ति श्रृंखला के अभिसरण के त्रिज्या, सीमा (टोपोलॉजी) और डिस्क (गणित) के अनुरूप हैं।

अभिसरण की रेखा पर, अभिसरण का प्रश्न खुला रहता है जैसा कि शक्ति श्रृंखला के मामले में होता है। हालाँकि, यदि डिरिचलेट श्रृंखला एक ही ऊर्ध्वाधर रेखा पर विभिन्न बिंदुओं पर अभिसरण और विचलन करती है, तो यह रेखा अभिसरण की रेखा होनी चाहिए। यह प्रमाण अभिसरण के भुज की परिभाषा में निहित है। एक उदाहरण श्रृंखला होगी

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}e^{-ns},$

जो पर एकत्रित होता है $s=-\pi i$ (हार्मोनिक सीरीज (गणित)#अल्टरनेटिंग_हार्मोनिक_सीरीज) और विचलन करता है $s=0$ (हार्मोनिक श्रृंखला (गणित)). इस प्रकार, $\sigma =0$ अभिसरण की रेखा है.

मान लीजिए कि एक डिरिचलेट श्रृंखला अभिसरित नहीं होती है $s=0$, तो यह स्पष्ट है कि $\sigma _{c}\geq 0$ और $\sum a_{n}$ विचलन दूसरी ओर, यदि डिरिचलेट श्रृंखला अभिसरित होती है $s=0$, तब $\sigma _{c}\leq 0$ और $\sum a_{n}$ जुटता है. इस प्रकार, गणना करने के लिए दो सूत्र हैं $\sigma _{c}$, के अभिसरण पर निर्भर करता है $\sum a_{n}$ जिसे विभिन्न अभिसरण परीक्षणों द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। ये सूत्र किसी शक्ति श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या के लिए कॉची-हैडामर्ड प्रमेय के समान हैं।

अगर $\sum a_{k}$ भिन्न है, अर्थात $\sigma _{c}\geq 0$, तब $\sigma _{c}$ द्वारा दिया गया है

$\sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}|}{\lambda _{n}}}.$

अगर $\sum a_{k}$ अभिसरण है, अर्थात $\sigma _{c}\leq 0$, तब $\sigma _{c}$ द्वारा दिया गया है

$\sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots |}{\lambda _{n}}}.$

पूर्ण अभिसरण का भुज

एक डिरिचलेट श्रृंखला पूर्ण अभिसरण है यदि श्रृंखला

$\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}e^{-\lambda _{n}s}|,$

अभिसारी है. हमेशा की तरह, एक बिल्कुल अभिसरण डिरिचलेट श्रृंखला अभिसरण है, लेकिन प्रमेय#वार्तालाप हमेशा सत्य नहीं होता है।

यदि डिरिचलेट श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण है $s_{0}$, तो यह सभी जगह के लिए बिल्कुल अभिसरण है $\operatorname {Re} (s)>\operatorname {Re} (s_{0})$. एक डिरिचलेट श्रृंखला पूरी तरह से सभी के लिए, नहीं के लिए या एस के कुछ मूल्यों के लिए अभिसरण कर सकती है। बाद वाले मामले में, वहाँ मौजूद हैं $\sigma _{a}$ इस प्रकार कि शृंखला बिल्कुल एकाग्र हो जाती है $\sigma >\sigma _{a}$ और गैर-बिल्कुल के लिए अभिसरण करता है $\sigma <\sigma _{a}$.

पूर्ण अभिसरण के भुज को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है $\sigma _{a}$ ऊपर, या समकक्ष

${\begin{aligned}\sigma _{a}=\inf {\Big \{}\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}&{\text{ converges absolutely for}}\\&{\text{every }}s{\text{ for which}}\operatorname {Re} (s)>\sigma {\Big \}}.\end{aligned}}$

पूर्ण अभिसरण की रेखा और अर्ध-तल को समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है। गणना करने के भी दो सूत्र हैं $\sigma _{a}$.

अगर $\sum |a_{k}|$ तो फिर, भिन्न है $\sigma _{a}$ द्वारा दिया गया है

$\sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|)}{\lambda _{n}}}.$

अगर $\sum |a_{k}|$ तो, अभिसरण है $\sigma _{a}$ द्वारा दिया गया है

$\sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots )}{\lambda _{n}}}.$

सामान्य तौर पर, अभिसरण का भुज पूर्ण अभिसरण के भुज से मेल नहीं खाता है। इस प्रकार, अभिसरण और पूर्ण अभिसरण की रेखा के बीच एक पट्टी हो सकती है जहां डिरिचलेट श्रृंखला सशर्त अभिसरण है। इस पट्टी की चौड़ाई दी गई है

$0\leq \sigma _{a}-\sigma _{c}\leq L:=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log n}{\lambda _{n}}}.$

उस स्थिति में जहां एल = 0, तब

$\sigma _{c}=\sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{n}|}{\lambda _{n}}}.$

अब तक प्रदान किए गए सभी सूत्र प्रतिस्थापन द्वारा 'साधारण' डिरिचलेट श्रृंखला के लिए अभी भी सही हैं $\lambda _{n}=\log n$.

अभिसरण के अन्य भुज

डिरिचलेट श्रृंखला के लिए अभिसरण के अन्य एब्सिस्सा पर विचार करना संभव है। परिबद्ध अभिसरण का भुज $\sigma _{b}$ द्वारा दिया गया है

${\begin{aligned}\sigma _{b}=\inf {\Big \{}\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}&{\text{ is bounded in the half-plane }}\operatorname {Re} (s)\geq \sigma {\Big \}},\end{aligned}}$ जबकि एकसमान अभिसरण का भुज $\sigma _{u}$ द्वारा दिया गया है

${\begin{aligned}\sigma _{u}=\inf {\Big \{}\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}&{\text{ converges uniformly in the half-plane }}\operatorname {Re} (s)\geq \sigma {\Big \}}.\end{aligned}}$ भुज अभिसरण के भुज से संबंधित है $\sigma _{c}$ और पूर्ण अभिसरण का $\sigma _{a}$ सूत्रों द्वारा

$\sigma _{c}\leq \sigma _{b}\leq \sigma _{u}\leq \sigma _{a}$,

और बोह्र का एक उल्लेखनीय प्रमेय वास्तव में दिखाता है कि किसी भी सामान्य डिरिचलेट श्रृंखला के लिए कहाँ $\lambda _{n}=\ln(n)$ (अर्थात फॉर्म की डिरिचलेट श्रृंखला $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}$) , $\sigma _{u}=\sigma _{b}$ और $\sigma _{a}\leq \sigma _{u}+1/2;$ बोहेनब्लस्ट और हिले ने बाद में इसे प्रत्येक संख्या के लिए दिखाया $d\in [0,0.5]$ डिरिचलेट श्रृंखला हैं $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}$ जिसके लिए $\sigma _{a}-\sigma _{u}=d.$ एकसमान अभिसरण के भुज के लिए एक सूत्र $\sigma _{u}$ सामान्य डिरिचलेट श्रृंखला के लिए $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}$ इस प्रकार दिया गया है: किसी के लिए $N\geq 1$, होने देना $U_{N}=\sup _{t\in \mathbb {R} }\{|\sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{it\lambda _{n}}|\}$, तब $\sigma _{u}=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {\log U_{N}}{\lambda _{N}}}.$

विश्लेषणात्मक कार्य

डिरिचलेट श्रृंखला द्वारा दर्शाया गया एक फ़ंक्शन (गणित)।

$f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s},$

अभिसरण के आधे तल पर विश्लेषणात्मक कार्य है। इसके अलावा, के लिए $k=1,2,3,\ldots$

$f^{(k)}(s)=(-1)^{k}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}s}.$

आगे सामान्यीकरण

एक डिरिचलेट श्रृंखला को वेरिएबल (गणित)|बहु-चर मामले में और अधिक सामान्यीकृत किया जा सकता है $\lambda _{n}\in \mathbb {R} ^{k}$, k = 2, 3, 4,..., या जटिल विश्लेषण मामला जहां $\lambda _{n}\in \mathbb {C} ^{m}$, एम = 1, 2, 3,...

संदर्भ

• G. H. Hardy, and M. Riesz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge University Press, first edition, 1915.
• E. C. Titchmarsh, The theory of functions, Oxford University Press, second edition, 1939.
• Tom Apostol, Modular functions and Dirichlet series in number theory, Springer, second edition, 1990.
• A.F. Leont'ev, Entire functions and series of exponentials (in Russian), Nauka, first edition, 1982.
• A.I. Markushevich, Theory of functions of a complex variables (translated from Russian), Chelsea Publishing Company, second edition, 1977.
• J.-P. Serre, A Course in Arithmetic, Springer-Verlag, fifth edition, 1973.
• John E. McCarthy, Dirichlet Series, 2018.
• H. F. Bohnenblust and Einar Hille, On the Absolute Convergence of Dirichlet Series, Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 32, No. 3 (Jul., 1931), pp. 600-622.

बाहरी संबंध

• "Dirichlet series". PlanetMath.
• "Dirichlet series", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]