स्थिति का चौथा, पाँचवाँ और छठा व्युत्पन्न

स्थिति का समय-व्युत्पन्न

भौतिकी में, स्थिति के चौथे, पांचवें और छठे व्युत्पन्न को समय के संबंध में स्थिति सदिश के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है - पहला, दूसरा और तीसरा व्युत्पन्न क्रमशः वेग, त्वरण और जर्क (भौतिकी) है। पहले तीन यौगिक के विपरीत, उच्च-क्रम व्युत्पन्न कम सामान्य हैं, इस प्रकार उनके नाम उतने मानकीकृत नहीं हैं, चूँकि प्रक्षेपवक्र अनुकूलन की अवधारणा का उपयोग रोबोटिक में किया गया है और इसे मैटलैब में प्रयुक्त किया गया है।

चौथे व्युत्पन्न को अधिकांशतः स्नैप या जॉन्स के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार चौथे व्युत्पन्न के लिए नाम स्नैप ने क्रमशः पांचवें और छठे व्युत्पन्न के लिए क्रैकल और पॉप का नेतृत्व किया था, राइस क्रिस्पिज़ स्नैप, क्रैकल और पॉप से ​​प्रेरित है। इन शब्दों का उपयोग कभी-कभी किया जाता है, चूंकि कभी-कभी कुछ सीमा तक फेसटिअसली भी है।

चौथा व्युत्पन्न (स्नैप/जौंस)

स्नैप, या जॉन्स, समय के संबंध में स्थिति सदिश का चौथा व्युत्पन्न है, या समय के संबंध में जर्क (भौतिकी) का व्युत्पन्न है। इस प्रकार समान रूप से, यह त्वरण का दूसरा व्युत्पन्न या वेग का तीसरा व्युत्पन्न है और इसे निम्नलिखित समकक्ष अभिव्यक्तियों में से किसी द्वारा परिभाषित किया गया है:

$${\vec {s}}={\frac {d\,{\vec {\jmath }}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {a}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {v}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {r}}}{dt^{4}}}.$$

असैनिक अभियंत्रण में, रेलवे ट्रैक और सड़कों के डिज़ाइन में स्नैप को न्यूनतम करना सम्मिलित है, विशेष रूप से विभिन्न वक्रता त्रिज्या वाले घूर्णन के निकट उपयोग किया जाता है। जब स्नैप स्थिर होता है, जिससे जर्क रैखिक रूप से परिवर्तित होता है, जिससे रेडियल त्वरण में सहज वृद्धि होती है, और जब जैसा कि प्राथमिकता दी जाती है, स्नैप शून्य होता है, रेडियल त्वरण में परिवर्तन रैखिक होता है। इस प्रकार स्नैप का न्यूनतमकरण या उन्मूलन सामान्यतः गणितीय क्लोथायड कार्य का उपयोग करके किया जाता है। इस प्रकार स्नैप को छोटा करने से मशीन उपकरण और रोलर कोस्टर के प्रदर्शन में सुधार होता है।

निरंतर स्नैप के लिए निम्नलिखित समीकरणों का उपयोग किया जाता है:

$${\begin{aligned}{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}t,\\{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}t^{2},\\{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}t^{3},\\{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}t^{4},\end{aligned}}$$

जहाँ

• ${\vec {s}}$ निरंतर स्नैप है,
• ${\vec {\jmath }}_{0}$ प्रारंभिक जर्क है,
• ${\vec {\jmath }}$ अंतिम जर्क है,
• ${\vec {a}}_{0}$ प्रारंभिक त्वरण है,
• ${\vec {a}}$ अंतिम त्वरण है,
• ${\vec {v}}_{0}$ प्रारंभिक वेग है,
• ${\vec {v}}$ अंतिम वेग है,
• ${\vec {r}}_{0}$ प्रारंभिक स्थिति है,
• ${\vec {r}}$ अंतिम स्थिति है,
• $t$ प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं के मध्य का समय है।

इस प्रकार संकेतन ${\vec {s}}$ विज़सर द्वारा प्रयुक्त सामान्यतः समान रूप से दर्शाए जाने वाले विस्थापन सदिश के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।

स्नैप के आयाम समय की प्रति चौथाई शक्ति की दूरी हैं। इस प्रकार एसआई इकाइयों में, यह m/s⁴, m⋅s⁻⁴, या सीजीएस इकाइयों में प्रति सेकंड 100 गैलन (इकाई) से चौथे तक है, ।

पाँचवाँ व्युत्पन्न

इस प्रकार समय के संबंध में स्थिति सदिश के पांचवें व्युत्पन्न को कभी-कभी क्रैकल कहा जाता है। यह समय के सापेक्ष स्नैप के परिवर्तन की दर है। क्रैकल को निम्नलिखित समकक्ष अभिव्यक्तियों में से किसी द्वारा परिभाषित किया गया है:

$${\vec {c}}={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {\jmath }}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {a}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {v}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {r}}}{dt^{5}}}$$

इस प्रकार निरंतर क्रेकल के लिए निम्नलिखित समीकरणों का उपयोग किया जाता है:

$${\begin{aligned}{\vec {s}}&={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}\,t\\{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {c}}\,t^{2}\\{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {c}}\,t^{3}\\{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {c}}\,t^{4}\\{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {c}}\,t^{5}\end{aligned}}$$

जहाँ

• ${\vec {c}}$ : निरंतर स्नेप है,
• ${\vec {s}}_{0}$ : प्रारंभिक स्नैप है,
• ${\vec {s}}$ : अंतिम स्नैप है,
• ${\vec {\jmath }}_{0}$ : प्रारंभिक जर्क है,
• ${\vec {\jmath }}$ : अंतिम जर्क है,
• ${\vec {a}}_{0}$ : प्रारंभिक त्वरण है,
• ${\vec {a}}$ : अंतिम त्वरण है,
• ${\vec {v}}_{0}$ : प्रारंभिक वेग है,
• ${\vec {v}}$ : अंतिम वेग है,
• ${\vec {r}}_{0}$ : प्रारंभिक स्थिति है,
• ${\vec {r}}$ :अंतिम स्थिति है,
• $t$ : प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं के मध्य का समय है.

क्रैकल के आयाम LT⁻⁵ हैं। इस प्रकार संगत SI इकाई m/s⁵ है।

छठा व्युत्पन्न

इस प्रकार के समय के संबंध में स्थिति (सदिश) के छठे व्युत्पन्न को कभी-कभी पॉप कहा जाता है। यह समय के सापेक्ष क्रैक के परिवर्तन की दर है। पॉप को निम्नलिखित समकक्ष अभिव्यक्तियों में से किसी द्वारा परिभाषित किया गया है:

$${\vec {p}}={\frac {d{\vec {c}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {s}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {\jmath }}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {a}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {v}}}{dt^{5}}}={\frac {d^{6}{\vec {r}}}{dt^{6}}}$$

निरंतर पॉप के लिए निम्नलिखित समीकरणों का उपयोग किया जाता है:

जहाँ

• ${\vec {p}}$ : निरंतर पॉप है,
• ${\vec {c}}_{0}$ : प्रारंभिक स्नेप है,
• ${\vec {c}}$ : अंतिम स्नेप है,
• ${\vec {s}}_{0}$ : प्रारंभिक स्नैप है,
• ${\vec {s}}$ : अंतिम स्नैप है,
• ${\vec {\jmath }}_{0}$ : प्रारंभिक जर्क है,
• ${\vec {\jmath }}$ : अंतिम जर्क है,
• ${\vec {a}}_{0}$ : प्रारंभिक त्वरण है,
• ${\vec {a}}$ : अंतिम त्वरण है,
• ${\vec {v}}_{0}$ : प्रारंभिक वेग है,
• ${\vec {v}}$ : अंतिम वेग है,
• ${\vec {r}}_{0}$ : प्रारंभिक स्थिति है,
• ${\vec {r}}$ :अंतिम स्थिति है,
• $t$ : प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं के मध्य का समय है.

पॉप के आयाम LT⁻⁶ हैं। संगत SI इकाई m/s⁶ है।

संदर्भ

बाहरी संबंध

• The dictionary definition of jounce at Wiktionary