वितरित मापदण्ड प्रणाली

नियंत्रण सिद्धांत में, एक वितरित-पैरामीटर प्रणाली (एक लम्प्ड-पैरामीटर प्रणाली के विपरीत) एक प्रणाली है जिसका स्टेट स्पेस अनंत-आयामी है। ऐसी प्रणालियों को इसलिए अनंत-आयामी प्रणालियों के रूप में भी जाना जाता है। विशिष्ट उदाहरण आंशिक अवकल समीकरणों या विलंब अवकल समीकरणों द्वारा वर्णित प्रणालियाँ हैं।

रैखिक समय-अपरिवर्तनीय वितरित-पैरामीटर प्रणाली

सार विकास समीकरण

असतत-समय

U, X और Y हिल्बर्ट स्पेसेस हैं और A∈ L(X), B∈ L(U, X), C∈ L(X, Y) और D∈L(U, Y), तो निम्नलिखित अवकल समीकरण एक असतत-समय रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली को निर्धारित करते हैं:

$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\,$

$y(k)=Cx(k)+Du(k)\,$

$x\,$ के साथ, (स्टेट) X, $u\,$ में मानों वाला एक अनुक्रम, (इनपुट या नियंत्रण) U और $y\,$में मानों वाला एक अनुक्रम, (आउटपुट) Y में मानों वाला एक अनुक्रम है।

सतत-समय

नियमित समय की अवस्था डिस्क्रीट समय की अवस्था के तरह है, लेकिन अब विभिन्न समीकरणों की बजाय अवकल समीकरणों का विचार किया जाता है:

${\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\,$,

$y(t)=Cx(t)+Du(t)\,$.

एक और समस्या यह है कि इस एब्स्ट्रैक्ट फ्रेमवर्क में आंशिक अवकलन समीकरण और विलंब अवकलन समीकरण जैसे रुचिकर भौतिक उदाहरणों को शामिल करने के लिए, हमें अबोधित ऑपरेटर्स का विचार करना पड़ता है। आमतौर पर, स्टेट स्पेस X पर तय करने के लिए A का मानना है कि यह स्थिति स्थान पर एक मजबूत निरंतर अर्धसमूह उत्पन्न करता है। B, C और D को बाउंडेड ऑपरेटर्स मानने की धारणा करने से पहले ही कई रुचिकर भौतिक उदाहरणों को शामिल किया जा सकता है, लेकिन अन्य कई रुचिकर भौतिक उदाहरणों को शामिल करने से B और C की अबाउंडेड होने की आवश्यकता होती है।

उदाहरण: आंशिक अवकल समीकरण

आंशिक अवकल समीकरण के साथ $t>0$ और $\xi \in [0,1]$ द्वारा दिए गए

${\frac {\partial }{\partial t}}w(t,\xi )=-{\frac {\partial }{\partial \xi }}w(t,\xi )+u(t),$

$w(0,\xi )=w_{0}(\xi ),$

$w(t,0)=0,$

$y(t)=\int _{0}^{1}w(t,\xi )\,d\xi ,$

ऊपर वर्णित अमूर्त विकास समीकरण फ्रेमवर्क में इस प्रकार उपयुक्त बैठता है। इनपुट स्पेस U और आउटपुट स्पेस Y दोनों को सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय के रूप में चुना गया है। स्टेट स्पेस X को L²(0, 1) के रूप में चुना गया है। ऑपरेटर A को इस रूप में परिभाषित किया गया है

$Ax=-x',~~~D(A)=\left\{x\in X:x{\text{ absolutely continuous }},x'\in L^{2}(0,1){\text{ and }}x(0)=0\right\}.$

यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि A X पर मजबूत निरंतर अर्धसमूह उत्पन्न करता है। बाउंडेड ऑपरेटर्स B, C और D को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

$Bu=u,~~~Cx=\int _{0}^{1}x(\xi )\,d\xi ,~~~D=0.$

उदाहरण: विलंब अवकल समीकरण

विलंब अवकल समीकरण

${\dot {w}}(t)=w(t)+w(t-\tau )+u(t),$

$y(t)=w(t),$

ऊपर वर्णित अमूर्त विकास समीकरण फ्रेमवर्क में इस प्रकार उपयुक्त बैठता है। इनपुट स्पेस U और आउटपुट स्पेस Y दोनों को सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय के रूप में चुना गया है। स्टेट स्पेस X को L²(−τ, 0) के रूप में चुना गया है। ऑपरेटर A को इस रूप में परिभाषित किया गया है

$A{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r+f(-\tau )\\f'\end{pmatrix}},~~~D(A)=\left\{{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}\in X:f{\text{ absolutely continuous }},f'\in L^{2}([-\tau ,0]){\text{ and }}r=f(0)\right\}.$

यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि A X पर मजबूत निरंतर अर्धसमूह उत्पन्न करता है। बाउंडेड ऑपरेटर्स B, C और D को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

$Bu={\begin{pmatrix}u\\0\end{pmatrix}},~~~C{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}=r,~~~D=0.$

स्थानांतरण फलन

जैसा कि परिमित-आयामी मामले में स्थानांतरण फलन को लाप्लास परिवर्तन (निरंतर-समय) या Z-परिवर्तन (असतत-समय) के माध्यम से परिभाषित किया गया है। जबकि परिमित-आयामी मामले में स्थानांतरण फलन एक उचित तर्कसंगत फलन है, स्टेट स्पेस की अनंत-आयामीता तर्कहीन कार्यों की ओर ले जाती है (जो अभी भी होलोमोर्फिक हैं)।

असतत-समय

असतत-समय में, स्थानांतरण फलन $D+\sum _{k=0}^{\infty }CA^{k}Bz^{k}$ द्वारा स्टेट स्पेस मापदंडों के संदर्भ में दिया जाता है और यह मूल पर केंद्रित डिस्क में होलोमोर्फिक है। यदि 1/z A के रिसॉल्वेंट सेट से संबंधित है (जो कि मूल बिंदु पर केंद्रित संभवतः छोटी डिस्क पर मामला है) तो स्थानांतरण फलन $D+Cz(I-zA)^{-1}B$ के बराबर होता है। एक रोचक तथ्य यह है कि कोई भी फलन जो शून्य में होलोमोर्फिक है, कुछ असतत-समय प्रणाली का स्थानांतरण फलन है।

सतत-समय

यदि A मजबूत निरंतर अर्धसमूह उत्पन्न करता है और B, C और D बाउंडेड ऑपरेटर्स हैं, तो रियल पार्ट के साथ s के लिए स्टेट स्पेस पैरामीटर्स के रूप में स्टेट स्पेस पैरामीटर्स के रूप में अनुपात समीकरण का दिया जाता है $D+C(sI-A)^{-1}B$ जब A द्वारा उत्पन्न अर्धसमूह के विस्तारी वृद्धि सीमा से अधिक हो। और अधिक सामान्य स्थितियों में, जैसा कि यह खड़ा है, तो यह सूत्र समय-स्थान पैरामीटर्स के रूप में दिया गया हो सकता है, लेकिन इस सूत्र का उचित विस्तार अभी भी बना होता है। अनुपात समीकरण के लिए एक सरल अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए यह अक्सर दिए गए उपयुक्त विस्तारी समीकरण में लापलेस परिवर्तन लेना अच्छा होता है, स्थिति स्पेस सूत्रों का उपयोग करने के बजाय जैसा कि उपरोक्त उदाहरणों पर प्रक्षिप्त किया गया है।

आंशिक अवकल समीकरण उदाहरण के लिए स्थानांतरण फलन

प्रारंभिक शर्त निर्धारित करना $w_{0}$ शून्य के बराबर और ऊपर दिए गए आंशिक अवकल समीकरण से प्राप्त बड़े अक्षरों द्वारा t के संबंध में लाप्लास परिवर्तनों को निरूपित करना।

$sW(s,\xi )=-{\frac {d}{d\xi }}W(s,\xi )+U(s),$

$W(s,0)=0,$

$Y(s)=\int _{0}^{1}W(s,\xi )\,d\xi .$

यह एक अमानवीय रैखिक अवकल समीकरण $\xi$ है चर के रूप में, s एक पैरामीटर के रूप में और प्रारंभिक स्थिति शून्य। $W(s,\xi )=U(s)(1-e^{-s\xi })/s$ समाधान है। इसे Y के समीकरण में प्रतिस्थापित करना और प्राप्तियों $Y(s)=U(s)(e^{-s}+s-1)/s^{2}$ को एकीकृत करना ताकि स्थानांतरण फलन $(e^{-s}+s-1)/s^{2}$ हो।

विलंब अवकल समीकरण उदाहरण के लिए स्थानांतरण फलन

आंशिक अवकल समीकरण उदाहरण के समान ही आगे बढ़ते हुए, विलंब समीकरण उदाहरण के लिए स्थानांतरण फलन $1/(s-1-e^{-s})$है।

नियंत्रणीयता

अनंत-आयामी मामले में नियंत्रणीयता की कई गैर-समतुल्य परिभाषाएँ हैं जो परिमित-आयामी मामले के लिए नियंत्रणीयता की एक सामान्य धारणा के लिए ढह जाती हैं। नियंत्रणीयता की तीन सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं:

• सटीक नियंत्रणीयता,
• अनुमानित नियंत्रणीयता,
• शून्य नियंत्रणीयता.

असतत समय में नियंत्रणीयता

मानचित्रों द्वारा एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई जाती है $\Phi _{n}$ जो सभी U मूल्यवान अनुक्रमों के सेट को X में मैप करता है और इसके द्वारा दिया जाता है। $\Phi _{n}u=\sum _{k=0}^{n}A^{k}Bu_{k}$ यह है $\Phi _{n}u$ वह स्थिति है जो प्रारंभिक स्थिति शून्य होने पर इनपुट अनुक्रम U लागू करने से प्राप्त होती है। प्रणाली कहा जाता है

• समय n में बिल्कुल नियंत्रणीय यदि $\Phi _{n}$की सीमा X के बराबर है,
• समय n में लगभग नियंत्रणीय यदि $\Phi _{n}$की सीमा X में सघन है,
• समय n में शून्य नियंत्रणीय यदि $\Phi _{n}$की सीमा A की रेंज Aⁿ शामिल है।

निरंतर-समय में नियंत्रणीयता

निरंतर-समय प्रणालियों की नियंत्रणीयता में $\Phi _{t}$,$\int _{0}^{t}{\rm {e}}^{As}Bu(s)\,ds$ द्वारा दिया गया मानचित्र $\Phi _{n}$वही भूमिका निभाता है जो Φ अलग-अलग समय में निभाता है। हालाँकि, नियंत्रण फलनों का वह स्पेस जिस पर यह ऑपरेटर अब फलन करता है, परिभाषा को प्रभावित करता है। सामान्य विकल्प L²(0, ∞;U) है, अंतराल (0, ∞) पर U-मान वाले वर्ग-अभिन्न कार्यों का स्थान (समतुल्य वर्ग), लेकिन अन्य विकल्प जैसे L¹(0, ∞;U) संभव हैं. $\Phi _{t}$ का डोमेन चुने जाने के बाद विभिन्न नियंत्रणीयता धारणाओं को परिभाषित किया जा सकता है। प्रणाली को कहा जाता है।

• समय t में बिल्कुल नियंत्रणीय यदि $\Phi _{t}$की सीमा X के बराबर है,
• समय t में लगभग नियंत्रणीय यदि $\Phi _{t}$ की सीमा X में सघन है,
• समय t में शून्य नियंत्रणीय यदि $\Phi _{t}$की सीमा की रेंज ${\rm {e}}^{At}$ शामिल है।

अवलोकनशीलता

परिमित-आयामी मामले की तरह, अवलोकनीयता नियंत्रणीयता की दोहरी धारणा है। अनंत-आयामी मामले में अवलोकन के बारे में कई अलग-अलग धारणाएं हैं जो परिमित-आयामी मामले में मेल खाती हैं। इनमें से तीन सबसे महत्वपूर्ण हैं:

• सटीक अवलोकनीयता (जिसे निरंतर अवलोकनशीलता के रूप में भी जाना जाता है),
• अनुमानित अवलोकन क्षमता,
• अंतिम स्थिति का अवलोकन।

अलग-अलग समय में अवलोकनीयता

मानचित्रों द्वारा एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई जाती है $\Psi _{n}$ जो सभी Y मूल्यवान अनुक्रमों के स्थान में X को मैप करता है और इसके द्वारा दिया जाता है $(\Psi _{n}x)_{k}=CA^{k}x$ यदि k ≤ n और शून्य यदि k >n। व्याख्या यह है $\Psi _{n}x$ प्रारंभिक स्थिति x और नियंत्रण शून्य के साथ छोटा आउटपुट है। प्रणाली कहा जाता है

• यदि कोई k मौजूद है तो समय n में सटीक रूप से देखा जा सकता है_n> 0 ऐसे कि $\|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|x\|$ सभी x ∈ X के लिए,
• लगभग समय n यदि में अवलोकनीय $\Psi _{n}$ इंजेक्शन है,
• यदि कोई k मौजूद है तो अंतिम स्थिति समय n में देखी जा सकती है_n> 0 ऐसे कि $\|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|A^{n}x\|$ सभी x ∈ X के लिए।

सतत-समय में अवलोकनीयता

निरंतर-समय प्रणालियों के अवलोकन में मानचित्र $\Psi _{t}$ द्वारा दिए गए $(\Psi _{t})(s)=C{\rm {e}}^{As}x$ s∈[0,t] के लिए और s>t के लिए शून्य की भूमिका निभाता है $\Psi _{n}$ अलग-अलग समय में खेलता है। हालाँकि, यह ऑपरेटर अब जिन फ़ंक्शंस को मैप करता है उनका स्थान परिभाषा को प्रभावित करता है। सामान्य विकल्प एल है²(0, ∞, Y), अंतराल (0,∞) पर Y-मूल्य वर्ग पूर्णांक कार्यों का स्थान (समतुल्य वर्ग), लेकिन अन्य विकल्प जैसे L¹(0, ∞, Y) संभव हैं. विभिन्न अवलोकन संबंधी धारणाओं को एक बार सह-डोमेन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $\Psi _{t}$ चुना जाता है। प्रणाली कहा जाता है

• यदि कोई k मौजूद है तो समय t में सटीक रूप से देखा जा सकता है_t> 0 ऐसे कि $\|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|x\|$ सभी x ∈ X के लिए,
• समय t में लगभग अवलोकनीय $\Psi _{t}$ इंजेक्शन है,
• यदि कोई k मौजूद है तो समय t में देखने योग्य अंतिम स्थिति_t> 0 ऐसे कि $\|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|{\rm {e}}^{At}x\|$ सभी x ∈ X के लिए।

नियंत्रणीयता और अवलोकनीयता के बीच द्वंद्व

जैसा कि परिमित-आयामी मामले में, नियंत्रणीयता और अवलोकनीयता दोहरी अवधारणाएँ हैं (कम से कम जब के डोमेन के लिए) $\Phi$ और का सह-डोमेन $\Psi$ सामान्य एल²चुनाव हो गया है)। विभिन्न अवधारणाओं के द्वंद्व के अंतर्गत पत्राचार है:

• सटीक नियंत्रणीयता ↔ सटीक अवलोकनशीलता,
• अनुमानित नियंत्रणीयता ↔ अनुमानित अवलोकनशीलता,
• शून्य नियंत्रणीयता ↔ अंतिम स्थिति का अवलोकन।

यह भी देखें

• नियंत्रण सिद्धांत
• स्टेट स्पेस (नियंत्रण)

संदर्भ

• Curtain, Ruth; Zwart, Hans (1995), An Introduction to Infinite-Dimensional Linear Systems theory, Springer
• Tucsnak, Marius; Weiss, George (2009), Observation and Control for Operator Semigroups, Birkhauser
• Staffans, Olof (2005), Well-posed linear systems, Cambridge University Press
• Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer (1999), Stability and Stabilization of Infinite Dimensional Systems with Applications, Springer
• Lasiecka, Irena; Triggiani, Roberto (2000), Control Theory for Partial Differential Equations, Cambridge University Press
• Bensoussan, Alain; Da Prato, Giuseppe; Delfour, Michel; Mitter, Sanjoy (2007), Representation and Control of Infinite Dimensional Systems (second ed.), Birkhauser