बार्टलेट का द्विभाजन प्रमेय

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बार्टलेट की द्विभाजन प्रमेय एक विद्युत अध्ययन में एक विद्युत प्रमेय है जो अल्बर्ट चार्ल्स बार्टलेट को सौंपा जाता है। यह सिद्धांत दिखाता है कि कोई भी सममित दो-पोर्ट नेटवर्क को एक जाल नेटवर्क में परिवर्तित किया जा सकता है। यह सिद्धांत अक्सर फ़िल्टर सिद्धांत में प्रकट होता है जहाँ जाल नेटवर्क को कभी-कभी एक फ़िल्टर X-धारा के रूप में जाना जाता है, आम फ़िल्टर सिद्धांत प्रैक्टिस के अनुसार, जिसमें खंडों के नामकरण को उनके आकार की तुलना में अक्षरिक पत्रों के नाम से किया जाता है जिनका वे संदर्भ होते हैं।

जैसा कि मूल रूप से बार्टलेट द्वारा कहा गया था, प्रमेय के लिए नेटवर्क के दो भागों को स्थलीय रूप से सममित होना आवश्यक था। प्रमेय को बाद में विल्हेम कॉयर द्वारा उन सभी नेटवर्कों पर लागू करने के लिए विस्तारित किया गया जो विद्युत रूप से सममित थे। यानी नेटवर्क का भौतिक कार्यान्वयन कोई प्रासंगिकता का नहीं है। यह केवल आवश्यक है कि दोनों हिस्सों में इसकी प्रतिक्रिया सममित हो।

अनुप्रयोग

लैटिस टोपोलॉजी फ़िल्टर बहुत सामान्य नहीं हैं। इसका कारण यह है कि उन्हें अन्य डिज़ाइनों की तुलना में अधिक घटकों (विशेष रूप से प्रेरक) की आवश्यकता होती है। सीढ़ी टोपोलॉजी अधिक लोकप्रिय है। हालाँकि, उनमें आंतरिक रूप से संतुलित होने की संपत्ति होती है और किसी अन्य टोपोलॉजी का संतुलित संस्करण, जैसे कि टी-सेक्शन, वास्तव में अधिक इंडक्टर्स का उपयोग कर सकता है। एक अनुप्रयोग संतुलित दूरसंचार लाइनों पर ऑल-पास चरण सुधार फ़िल्टर के लिए है। यह प्रमेय आरएफ आवृत्तियों पर क्रिस्टल फिल्टर के डिजाइन में भी दिखाई देता है। यहां सीढ़ी टोपोलॉजी में कुछ अवांछनीय गुण हैं, लेकिन इसकी सादगी के कारण एक सामान्य डिजाइन रणनीति सीढ़ी कार्यान्वयन से शुरू करना है। बार्टलेट के प्रमेय का उपयोग अंतिम कार्यान्वयन की दिशा में एक कदम के रूप में डिज़ाइन को मध्यवर्ती चरण में बदलने के लिए किया जाता है ( जो एक जाल टोपोलॉजी का असंतुलित संस्करण उत्पन्न करने के लिए एक बड़े चरण की ओर करता है।)।

परिभाषा एवं प्रमाण

परिभाषा

दो-पोर्ट नेटवर्क, N, दोनों पोर्ट के बीच समरूपता के एक समतल के साथ शुरू करें। इसके बाद दो नए समान दो-पोर्ट, ½N बनाने के लिए N को इसके समरूपता के तल से काटें। दो समान वोल्टेज जनरेटर को N के दो पोर्ट से संयोजित करें। समरूपता से यह स्पष्ट है कि समरूपता के समतल से गुजरने वाली किसी भी शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होने वाली है। इन परिस्थितियों में N के एक बंदरगाह में मापी गई प्रतिबाधा मापी गई प्रतिबाधा के समान होगी यदि समरूपता के समतल से गुजरने वाली सभी शाखाएं खुले सर्किट थीं। इसलिए यह ½N के खुले सर्किट प्रतिबाधा के समान प्रतिबाधा है। आइए हम उस प्रतिबाधा को $Z_{oc}$ कहते हैं।

अब नेटवर्क N पर विचार करें जिसमें पोर्ट से जुड़े दो समान वोल्टेज जनरेटर हैं लेकिन विपरीत ध्रुवता के साथ। जिस प्रकार समरूपता के तल पर शाखाओं के माध्यम से धाराओं का अधिस्थापन पिछले मामले में शून्य होना चाहिए, सादृश्य द्वारा और द्वैत के सिद्धांत को लागू करने से, समरूपता के समतल पर नोड्स के बीच वोल्टेज का अधिस्थापन भी इसी तरह इस मामले में शून्य होना चाहिए। इस प्रकार इनपुट प्रतिबाधा ½N के शॉर्ट सर्किट प्रतिबाधा के समान है। आइए हम उस प्रतिबाधा को $Z_{sc}$ कहते हैं।

बार्टलेट के द्विभाजन प्रमेय में कहा गया है कि नेटवर्क N एक लैटिस नेटवर्क के बराबर है जिसमें $Z_{sc}$ की श्रृंखला शाखाएँ और $Z_{oc}$ की संकर शाखाएँ हैं।

प्रमाण

प्रत्येक पोर्ट से जुड़े समान जेनरेटर, E के साथ दिखाए गए लैटिस नेटवर्क पर विचार करें। समरूपता और अध्यारोपण से यह स्पष्ट है कि श्रृंखला शाखाओं $Z_{sc}$में कोई धारा प्रवाहित नहीं हो रही है। इस प्रकार उन शाखाओं को हटाया जा सकता है और सर्किट के बाकी हिस्सों पर कोई प्रभाव डाले बिना खुला सर्किट छोड़ा जा सकता है। यह 2E के वोल्टेज और $2Z_{oc}$ के प्रतिबाधा के साथ एक सर्किट लूप छोड़ता है जिससे लूप में करंट आता है;

$I={\frac {2E}{2Z_{oc}}}$

और एक इनपुट प्रतिबाधा;

${\frac {E}{I}}=Z_{oc}$

क्योंकि यह मूल दो-पोर्ट के समतुल्य होने के लिए आवश्यक है।

इसी तरह, जेनरेटर में से किसी एक के व्युत्क्रम से, एक समान तर्क से,$2Z_{sc}$की प्रतिबाधा और इनपुट प्रतिबाधा के साथ एक लूप में परिणाम मिलता है;

${\frac {E}{I}}=Z_{sc}$

याद रखें कि ये जनरेटर कॉन्फ़िगरेशन सटीक तरीके हैं $Z_{oc}$ और $Z_{sc}$ मूल दो-पोर्ट में परिभाषित किया गया था, यह सिद्ध हो गया है कि लैटिस उन दो मामलों के बराबर है। यह सिद्ध होता है कि यह सभी मामलों के लिए ऐसा है, इस पर विचार करके कि अन्य सभी इनपुट और आउटपुट स्थितियों को पहले से ही सिद्ध दो मामलों के रैखिक अधिस्थापन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

उदाहरण

T-सेक्शन हाई-पास फ़िल्टर

ज़ोबेल ब्रिज-टी लो-पास फिल्टर

बार्टलेट परिवर्तन का विपरीत में उपयोग करना संभव है; अर्थात्, एक सममित लैटिस नेटवर्क को किसी अन्य सममित टोपोलॉजी में बदलना। ऊपर दिखाए गए उदाहरणों को समान रूप से उल्टा भी दिखाया जा सकता है। हालाँकि, उपरोक्त उदाहरणों के विपरीत, परिणाम हमेशा रैखिक निष्क्रिय घटकों के साथ भौतिक रूप से प्राप्त करने योग्य नहीं होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि ऐसी संभावना है कि रिवर्स ट्रांसफॉर्मेशन नकारात्मक मूल्यों वाले घटकों को उत्पन्न करेगा। नकारात्मक मात्राओं को केवल नेटवर्क में मौजूद सक्रिय घटकों के साथ ही भौतिक रूप से महसूस किया जा सकता है।

प्रमेय का विस्तार

Π-सेक्शन लो-पास फ़िल्टर प्रोटोटाइप का उपयोग करके प्रतिबाधा और आवृत्ति स्केलिंग का उदाहरण। पहले परिवर्तन में, प्रोटोटाइप को दो भागों में विभाजित किया जाता है और कट-ऑफ़ आवृत्ति को 1 रेड/सेकेंड से घटाकर 10 कर दिया जाता है।⁵रेड/सेकेंड (15.9 kHz)। दूसरे परिवर्तन में, द्विभाजित नेटवर्क को बाईं ओर 600 Ω पर संचालित करने के लिए और दाईं ओर 50 Ω पर संचालित करने के लिए पुनर्स्केल किया जाता है।

बार्टलेट के प्रमेय का एक विस्तार है जो समान इनपुट और आउटपुट प्रतिबाधा समाप्ति के बीच संचालित एक सममित इलेक्ट्रॉनिक फ़िल्टर नेटवर्क को असमान स्रोत और लोड प्रतिबाधा के लिए संशोधित करने की अनुमति देता है। यह एक प्रोटोटाइप फ़िल्टर की प्रतिबाधा स्केलिंग का एक उदाहरण है। सममित नेटवर्क अपने समरूपता के तल के अनुदिश द्विभाजित होता है। एक आधे को इनपुट प्रतिबाधा पर स्केल किया जाता है और दूसरे को आउटपुट प्रतिबाधा पर स्केल किया जाता है। फ़िल्टर का प्रतिक्रिया आकार वही रहता है। यह एक प्रतिबाधा मिलान नेटवर्क की राशि नहीं है, नेटवर्क पोर्ट को देखने वाली प्रतिबाधाओं का समाप्ति प्रतिबाधाओं से कोई संबंध नहीं है। इसका मतलब यह है कि बार्टलेट के प्रमेय द्वारा डिज़ाइन किया गया नेटवर्क, सटीक फ़िल्टर प्रतिक्रिया की भविष्यवाणी करते हुए, फ़िल्टर प्रतिक्रिया के अतिरिक्त एक निरंतर क्षीणन भी जोड़ता है। प्रतिबाधा मिलान नेटवर्क में, एक सामान्य डिज़ाइन मानदंड बिजली हस्तांतरण को अधिकतम करना है। इनपुट को चलाने वाले सैद्धांतिक आदर्श जनरेटर के वोल्टेज के सापेक्ष आउटपुट प्रतिक्रिया समान आकार की होती है। यह वास्तविक इनपुट वोल्टेज के सापेक्ष समान नहीं है जो सैद्धांतिक आदर्श जनरेटर द्वारा इसके लोड प्रतिबाधा के माध्यम से वितरित किया जाता है।

इनपुट और आउटपुट प्रतिबाधा में अंतर के कारण निरंतर लाभ दिया जाता है;

$A={\frac {V_{2}}{E}}={\frac {2R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$

ध्यान दें कि यह एकता से अधिक होना संभव है, यानी, वोल्टेज लाभ संभव है, लेकिन बिजली हमेशा खो जाती है।