विर्टिंगर डेरिवेटिव

जटिल विश्लेषण और कई जटिल चर में, विर्टिंगर डेरिवेटिव (कभी-कभी विर्टिंगर ऑपरेटर भी कहा जाता है^[1]), विलियम विर्टिंगर के नाम पर रखा गया, जिन्होंने 1927 में उन्हें कई जटिल चर पर अपने अध्ययन के दौरान पेश किया, पहले क्रम के आंशिक अंतर संचालक हैं जो एक वास्तविक के एक कार्य के संबंध में साधारण यौगिक के समान व्यवहार करते हैं। चर, जब होलोमोर्फिक कार्यों, [[एंटीहोलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] या डोमेन (गणितीय विश्लेषण) पर केवल अलग-अलग कार्यों पर लागू होता है। ये ऑपरेटर ऐसे कार्यों के लिए एक अंतर कलन के निर्माण की अनुमति देते हैं जो वास्तविक चर के कार्य के लिए साधारण अंतर कलन के समान है।^[2]

ऐतिहासिक नोट्स

शुरुआती दिन (1899-1911): हेनरी पोंकारे का कार्य

विर्टिंगर डेरिवेटिव का उपयोग जटिल विश्लेषण में कम से कम पेपर के रूप में किया गया था (Poincaré 1899), जैसा कि संक्षेप में नोट किया गया है Cherry & Ye (2001, p. 31) और तक Remmert (1991, pp. 66–67).^[3] वास्तव में, उनके 1899 के पेपर के तीसरे पैराग्राफ में,^[4] हेनरी पॉइनकेयर पहले जटिल चर को परिभाषित करता है $\mathbb {C} ^{n}$ और इसका जटिल संयुग्म निम्नानुसार है

{\begin{cases}x_{k}+iy_{k}=z_{k}\\x_{k}-iy_{k}=u_{k}\end{cases}}\qquad 1\leqslant k\leqslant n.

फिर वह फलनों को परिभाषित करने वाला समीकरण लिखता है $V$ वह बिहारमोनिक कहते हैं,^[5] वास्तविक संख्या चर (गणित) के संबंध में आंशिक डेरिवेटिव का उपयोग करके पहले लिखा गया $x_{k},y_{q}$ साथ $k,q$ 1 से लेकर $n$ , बिल्कुल निम्न तरीके से^[6]

{\frac {d^{2}V}{dz_{k}\,du_{q}}}=0

इसका तात्पर्य यह है कि उन्होंने अप्रत्यक्ष रूप से उपयोग किया definition 2 नीचे: इसे देखने के लिए समीकरण 2 और 2' की तुलना करना पर्याप्त है (Poincaré 1899, p. 112). जाहिर है, इस पेपर को कई जटिल चरों में शुरुआती शोधकर्ताओं द्वारा नहीं देखा गया था: के कागजात में Levi-Civita (1905), Levi (1910) (और Levi 1911) और का Amoroso (1912) सिद्धांत के सभी मौलिक आंशिक अंतर संचालकों को शामिल जटिल चरों के वास्तविक भाग और काल्पनिक भागों के संबंध में आंशिक डेरिवेटिव का उपयोग करके सीधे व्यक्त किया जाता है। द्वारा लंबे सर्वेक्षण पत्र में Osgood (1966) (पहली बार 1913 में प्रकाशित),^[7] कई जटिल चर के प्रत्येक जटिल चर के संबंध में आंशिक डेरिवेटिव औपचारिक डेरिवेटिव के रूप में प्रतीत होते हैं: तथ्य की बात के रूप में जब विलियम फॉग ऑसगूड प्लुरिहार्मोनिक ऑपरेटर को व्यक्त करता है^[8] और लेवी संचालक, वह लुइगी अमोरोसो, यूजेनियो एलिया लेवी और टुल्लियो लेवी-सिविता|लेवी-सिविता की स्थापित प्रथा का पालन करता है।

1912 और 1913 में दिमित्रि पोम्पेउ का कार्य: एक नया सूत्रीकरण

के अनुसार Henrici (1993, p. 294), अवधारणा की परिभाषा में एक नया कदम डेमेट्रियस पॉम्पी द्वारा लिया गया था: पेपर में (Pompeiu 1912), एक जटिल चर के एक जटिल संख्या विभेदक कार्य (वास्तविक विश्लेषण के अर्थ में) दिया गया $g(z)$ किसी दिए गए बिंदु (गणित) के पड़ोस (गणित) में परिभाषित $z_{0}\in \mathbb {C} ,$ वह एरोलर व्युत्पन्न को निम्नलिखित सीमा (गणित) के रूप में परिभाषित करता है

{{\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})}\mathrel {\overset {\mathrm {def} }{=}} \lim _{r\to 0}{\frac {1}{2\pi ir^{2}}}\oint _{\Gamma (z_{0},r)}g(z)\mathrm {d} z,

कहाँ $\Gamma (z_{0},r)=\partial D(z_{0},r)$ त्रिज्या की एक डिस्क (गणित) की सीमा (टोपोलॉजी) है $r$ के एक कार्य के डोमेन में पूरी तरह से निहित है $g(z),$ यानी उसका बाउंडिंग घेरा^[9] यह स्पष्ट रूप से जटिल संयुग्म चर (गणित) के लिए विर्टिंगर व्युत्पन्न सम्मान की एक वैकल्पिक परिभाषा है:^[10] यह एक अधिक सामान्य है, क्योंकि, जैसा कि ए द्वारा नोट किया गया है Henrici (1993, p. 294), सीमा उन कार्यों के लिए मौजूद हो सकती है जो यहां तक कि अलग-अलग कार्य नहीं हैं $z=z_{0}.$ ^[11] के अनुसार Fichera (1969, p. 28), सामान्यीकृत व्युत्पन्न में एक कमजोर व्युत्पन्न के रूप में क्षेत्रीय व्युत्पन्न की पहचान करने वाले पहले उनका वेकुआ थे।^[12] उसके बाद के पेपर में, Pompeiu (1913) इस नई परिभाषित अवधारणा का उपयोग कॉची के अभिन्न सूत्र के अपने सामान्यीकरण को प्रस्तुत करने के लिए करता है, जिसे अब कॉची-पोम्पेउ सूत्र कहा जाता है।

विल्हेम विर्टिंगर का कार्य

विर्टिंगर डेरिवेटिव्स का पहला व्यवस्थित परिचय पेपर में विल्हेम विर्टिंगर के कारण लगता है Wirtinger 1927 कई जटिल चरों में होने वाली मात्राओं की गणना को सरल बनाने के लिए: इन अंतर ऑपरेटरों की शुरूआत के परिणामस्वरूप, सिद्धांत में आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले सभी अंतर ऑपरेटरों का रूप, जैसे लेवी ऑपरेटर और कॉची-रीमैन समीकरण | कॉची-रीमैन ऑपरेटर, काफी सरल है और इसके परिणामस्वरूप इसे संभालना आसान है। पेपर को जानबूझकर एक औपचारिक दृष्टिकोण से लिखा गया है, यानी बिना निकाले गए गुणों की कठोर व्युत्पत्ति दिए बिना।

औपचारिक परिभाषा

उनके सर्वव्यापी उपयोग के बावजूद,^[13] ऐसा लगता है कि विर्टिंगर डेरिवेटिव्स के सभी गुणों को सूचीबद्ध करने वाला कोई पाठ नहीं है: हालांकि, कई जटिल चरों पर संक्षिप्त पाठ्यक्रम काफी पूर्ण संदर्भ हैं Andreotti (1976, pp. 3–5),^[14] का प्रबंध Gunning & Rossi (1965, pp. 3–6),^[15] और का मोनोग्राफ Kaup & Kaup (1983, p. 2,4)^[16] जिनका उपयोग इस और अगले अनुभागों में सामान्य संदर्भ के रूप में किया गया है।

एक जटिल चर के कार्य

Definition 1. जटिल तल पर विचार करें $\mathbb {C} \equiv \mathbb {R} ^{2}=\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}.$ विर्टिंगर डेरिवेटिव्स को पहले क्रम के निम्नलिखित रैखिक ऑपरेटर आंशिक अंतर ऑपरेटरों के रूप में परिभाषित किया गया है:

{\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\end{aligned}}

स्पष्ट रूप से, इन आंशिक अंतर संचालकों की परिभाषा के एक कार्य का प्राकृतिक डोमेन, स्मूथ फ़ंक्शन # डिफरेंशिबिलिटी क्लासेस का स्थान है। $C^{1}$ एक डोमेन पर कार्य (गणितीय विश्लेषण) $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{2},$ लेकिन, चूंकि ये ऑपरेटर रैखिक हैं और निरंतर गुणांक रखते हैं, इसलिए उन्हें सामान्यीकृत कार्यों के हर कार्य स्थान पर आसानी से बढ़ाया जा सकता है।

=== n > 1 जटिल चर === के कार्य Definition 2. जटिल क्षेत्र पर यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर विचार करें

\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2n}=\left\{\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} \right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\mid \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}\right\}.

विर्टिंगर डेरिवेटिव्स को पहले क्रम के निम्नलिखित रैखिक ऑपरेटर आंशिक अंतर ऑपरेटरों के रूप में परिभाषित किया गया है:

{\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \vdots \\{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}},\qquad {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \vdots \\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{n}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}}.

एक जटिल चर के कार्यों के लिए विर्टिंगर डेरिवेटिव्स के लिए, इन आंशिक अंतर ऑपरेटरों की परिभाषा के एक फ़ंक्शन का प्राकृतिक डोमेन फिर से स्मूथ फ़ंक्शन का स्थान है#भिन्नता वर्ग|

C^{1}

एक डोमेन पर कार्य (गणितीय विश्लेषण)

\Omega \subset \mathbb {R} ^{2n},

और फिर, चूंकि ये ऑपरेटर रैखिक हैं और निरंतर गुणांक रखते हैं, इसलिए उन्हें सामान्यीकृत कार्यों के प्रत्येक कार्य स्थान पर आसानी से बढ़ाया जा सकता है।

मूल गुण

वर्तमान खंड में और निम्नलिखित में यह माना जाता है कि $z\in \mathbb {C} ^{n}$ एक जटिल वेक्टर है और वह $z\equiv (x,y)=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})$ कहाँ $x,y$ वास्तविक सदिश हैं, n ≥ 1 के साथ: यह भी माना जाता है कि उपसमुच्चय $\Omega$ वास्तविक संख्या यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक डोमेन (गणितीय विश्लेषण) के रूप में सोचा जा सकता है $\mathbb {R} ^{2n}$ या इसके समरूपता जटिल क्षेत्र समकक्ष में $\mathbb {C} ^{n}.$ सभी प्रमाणों के आसान परिणाम हैं definition 1 और definition 2 और व्युत्पन्न (गणित) (साधारण या आंशिक व्युत्पन्न) के संबंधित गुणों की।

रैखिकता

Lemma 1. अगर $f,g\in C^{1}(\Omega )$ और $\alpha ,\beta$ सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तो for $i=1,\dots ,n$ निम्नलिखित समानताएं रखती हैं

{\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)&=\alpha {\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)&=\alpha {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}

उत्पाद नियम

Lemma 2. अगर $f,g\in C^{1}(\Omega ),$ फिर के लिए $i=1,\dots ,n$ उत्पाद नियम धारण करता है

{\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}(f\cdot g)&={\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}(f\cdot g)&={\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}

इस संपत्ति का तात्पर्य है कि विर्टिंगर डेरिवेटिव अमूर्त बीजगणित के दृष्टिकोण से [[व्युत्पत्ति (सार बीजगणित)]] हैं, बिल्कुल सामान्य डेरिवेटिव की तरह।

श्रृंखला नियम

यह संपत्ति एक और कई जटिल चर के कार्यों के लिए क्रमशः दो अलग-अलग रूप लेती है: n > 1 मामले के लिए, श्रृंखला नियम को उसकी पूर्ण व्यापकता में व्यक्त करने के लिए दो डोमेन (गणितीय विश्लेषण) पर विचार करना आवश्यक है। $\Omega '\subseteq \mathbb {C} ^{m}$ और $\Omega ''\subseteq \mathbb {C} ^{p}$ और दो मानचित्र (गणित) $g:\Omega '\to \Omega$ और $f:\Omega \to \Omega ''$ प्राकृतिक चिकनी कार्य आवश्यकताओं वाले।^[17]

एक जटिल चर के कार्य

Lemma 3.1 अगर $f,g\in C^{1}(\Omega ),$ और $g(\Omega )\subseteq \Omega ,$ तो श्रृंखला नियम धारण करता है

{\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z}}(f\circ g)&=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial z}}+\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial z}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}(f\circ g)&=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}+\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial {\bar {z}}}}\end{aligned}}

n > 1 जटिल चर के कार्य

Lemma 3.2 अगर $g\in C^{1}(\Omega ',\Omega )$ और $f\in C^{1}(\Omega ,\Omega ''),$ फिर के लिए $i=1,\dots ,m$ श्रृंखला नियम का निम्नलिखित रूप धारण करता है

{\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(f\circ g\right)&=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_{j}}{\partial z_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(f\circ g\right)&=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_{j}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}

संयुग्मन

Lemma 4. अगर $f\in C^{1}(\Omega ),$ फिर के लिए $i=1,\dots ,n$ निम्नलिखित समानताएं रखती हैं

{\begin{aligned}{\overline {\left({\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}\right)}}&={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\\{\overline {\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\right)}}&={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial z_{i}}}\end{aligned}}

यह भी देखें

↑ See references Fichera 1986, p. 62 and Kracht & Kreyszig 1988, p. 10.
↑ Some of the basic properties of Wirtinger derivatives are the same ones as the properties characterizing the ordinary (or partial) derivatives and used for the construction of the usual differential calculus.
↑ Reference to the work Poincaré 1899 of Henri Poincaré is precisely stated by Cherry & Ye (2001), while Reinhold Remmert does not cite any reference to support his assertion.
↑ See reference (Poincaré 1899, pp. 111–114)
↑ These functions are precisely pluriharmonic functions, and the linear differential operator defining them, i.e. the operator in equation 2 of (Poincaré 1899, p. 112), is exactly the n-dimensional pluriharmonic operator.
↑ See (Poincaré 1899, p. 112), equation 2': note that, throughout the paper, the symbol $d$ is used to signify partial differentiation respect to a given variable, instead of the now commonplace symbol ∂.
↑ The corrected Dover edition of the paper (Osgood 1913) contains much important historical information on the early development of the theory of functions of several complex variables, and is therefore a useful source.
↑ See Osgood (1966, pp. 23–24): curiously, he calls Cauchy–Riemann equations this set of equations.
↑ This is the definition given by Henrici (1993, p. 294) in his approach to Pompeiu's work: as Fichera (1969, p. 27) remarks, the original definition of Pompeiu (1912) does not require the domain of integration to be a circle. See the entry areolar derivative for further information.
↑ See the section "Formal definition" of this entry.
↑ See problem 2 in Henrici 1993, p. 294 for one example of such a function.
↑ See also the excellent book by Vekua (1962, p. 55), Theorem 1.31: If the generalized derivative $\partial _{\bar {z}}w\in$ $L_{p}(\Omega )$ , p > 1, then the function $w(z)$ has almost everywhere in $G$ a derivative in the sense of Pompeiu, the latter being equal to the Generalized derivative in the sense of Sobolev $\partial _{\bar {z}}w$ .
↑ With or without the attribution of the concept to Wilhelm Wirtinger: see, for example, the well known monograph Hörmander 1990, p. 1,23.
↑ In this course lectures, Aldo Andreotti uses the properties of Wirtinger derivatives in order to prove the closure of the algebra of holomorphic functions under certain operations: this purpose is common to all references cited in this section.
↑ This is a classical work on the theory of functions of several complex variables dealing mainly with its sheaf theoretic aspects: however, in the introductory sections, Wirtinger derivatives and a few other analytical tools are introduced and their application to the theory is described.
↑ In this work, the authors prove some of the properties of Wirtinger derivatives also for the general case of $C^{1}$ functions: in this single aspect, their approach is different from the one adopted by the other authors cited in this section, and perhaps more complete.
↑ See Kaup & Kaup 1983, p. 4 and also Gunning 1990, p. 5: Gunning considers the general case of $C^{1}$ functions but only for p = 1. References Andreotti 1976, p. 5 and Gunning & Rossi 1965, p. 6, as already pointed out, consider only holomorphic maps with p = 1: however, the resulting formulas are formally very similar.

संदर्भ

ऐतिहासिक संदर्भ

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Fichera, Gaetano (1969), "Derivata areolare e funzioni a variazione limitata", Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées (in italiano), XIV (1): 27–37, MR 0265616, Zbl 0201.10002. एरोलर डेरिवेटिव और बाउंड वेरिएशन के कार्य (शीर्षक का मुफ्त अंग्रेजी अनुवाद) एरिओलर डेरिवेटिव के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण संदर्भ पत्र है।
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Levi, Eugenio Elia (1911), "Sulle ipersuperficie dello spazio a 4 dimensioni che possono essere frontiera del campo di esistenza di una funzione analitica di due variabili complesse", Annali di Matematica Pura ed Applicata, s. III (in italiano), XVIII (1): 69–79, doi:10.1007/BF02420535, JFM 42.0449.02, S2CID 120133326. 4-आयामी अंतरिक्ष के हाइपरसर्फ्स पर जो दो जटिल चर (शीर्षक का अंग्रेजी अनुवाद) के एक विश्लेषणात्मक कार्य के अस्तित्व के डोमेन की सीमा हो सकती है, कई जटिल चर में एक और महत्वपूर्ण पेपर है, आगे की जांच में सिद्धांत शुरू हुआ (Levi 1910).
Levi-Civita, Tullio (1905), "Sulle funzioni di due o più variabili complesse", Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, 5 (in italiano), XIV (2): 492–499, JFM 36.0482.01. दो या दो से अधिक जटिल चरों के कार्यों पर (शीर्षक का मुफ्त अंग्रेजी अनुवाद) पहला पेपर है जहां कई जटिल चरों के लिए कॉची समस्या की हल करने की क्षमता के लिए पर्याप्त शर्त दी गई है।
Osgood, William Fogg (1966) [1913], Topics in the theory of functions of several complex variables (unabridged and corrected ed.), New York: Dover, pp. IV+120, JFM 45.0661.02, MR 0201668, Zbl 0138.30901.
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वैज्ञानिक संदर्भ

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Martinelli, Enzo (1984), Introduzione elementare alla teoria delle funzioni di variabili complesse con particolare riguardo alle rappresentazioni integrali, Contributi del Centro Linceo Interdisciplinare di Scienze Matematiche e Loro Applicazioni (in italiano), vol. 67, Rome: Accademia Nazionale dei Lincei, pp. 236+II, archived from the original on 2011-09-27, retrieved 2010-08-24. अभिन्न अभ्यावेदन (शीर्षक का अंग्रेजी अनुवाद) के संबंध में विशेष रूप से जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत के लिए प्राथमिक परिचय, लिंसी की राष्ट्रीय अकादमी द्वारा प्रकाशित एक पाठ्यक्रम के रूप में नोट्स हैं, जो मार्टिनेली द्वारा आयोजित किया गया था जब वह प्रोफ़ेसर लिन्सेओ थे।
Remmert, Reinhold (1991), Theory of Complex Functions, Graduate Texts in Mathematics, vol. 122 (Fourth corrected 1998 printing ed.), New York–Berlin–Heidelberg–Barcelona–Hong Kong–London–Milan–Paris–Singapore–Tokyo: Springer Verlag, pp. xx+453, ISBN 0-387-97195-5, MR 1084167, Zbl 0780.30001 ISBN 978-0-387-97195-7. विषय पर कई ऐतिहासिक नोट्स सहित जटिल विश्लेषण पर एक पाठ्यपुस्तक।
Severi, Francesco (1958), Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse – Tenute nel 1956–57 all'Istituto Nazionale di Alta Matematica in Roma (in italiano), Padova: CEDAM – Casa Editrice Dott. Antonio Milani, pp. XIV+255, Zbl 0094.28002. Istituto Nazionale di Alta Matematica (जो वर्तमान में उसका नाम रखता है) में फ्रांसेस्को सेवेरी द्वारा आयोजित एक पाठ्यक्रम से नोट्स, जिसमें Enzo Martinelli, Giovanni Battista Rizza और Mario Benedicty के परिशिष्ट शामिल हैं। शीर्षक का एक अंग्रेजी अनुवाद इस प्रकार पढ़ता है: - कई जटिल चर के विश्लेषणात्मक कार्यों पर व्याख्यान - 1956-57 में रोम में इस्टिटूटो नाज़ियोनेल डी अल्टा मेटमैटिका में व्याख्यान।

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[1] See references Fichera 1986, p. 62 and Kracht & Kreyszig 1988, p. 10.

[2] Some of the basic properties of Wirtinger derivatives are the same ones as the properties characterizing the ordinary (or partial) derivatives and used for the construction of the usual differential calculus.

[3] Reference to the work Poincaré 1899 of Henri Poincaré is precisely stated by Cherry & Ye (2001), while Reinhold Remmert does not cite any reference to support his assertion.

[4] See reference (Poincaré 1899, pp. 111–114)

[5] These functions are precisely pluriharmonic functions, and the linear differential operator defining them, i.e. the operator in equation 2 of (Poincaré 1899, p. 112), is exactly the n-dimensional pluriharmonic operator.

[6] See (Poincaré 1899, p. 112), equation 2': note that, throughout the paper, the symbol $d$ is used to signify partial differentiation respect to a given variable, instead of the now commonplace symbol ∂.

[7] The corrected Dover edition of the paper (Osgood 1913) contains much important historical information on the early development of the theory of functions of several complex variables, and is therefore a useful source.

[8] See Osgood (1966, pp. 23–24): curiously, he calls Cauchy–Riemann equations this set of equations.

[9] This is the definition given by Henrici (1993, p. 294) in his approach to Pompeiu's work: as Fichera (1969, p. 27) remarks, the original definition of Pompeiu (1912) does not require the domain of integration to be a circle. See the entry areolar derivative for further information.

[10] See the section "Formal definition" of this entry.

[11] See problem 2 in Henrici 1993, p. 294 for one example of such a function.

[12] See also the excellent book by Vekua (1962, p. 55), Theorem 1.31: If the generalized derivative $\partial _{\bar {z}}w\in$ $L_{p}(\Omega )$ , p > 1, then the function $w(z)$ has almost everywhere in $G$ a derivative in the sense of Pompeiu, the latter being equal to the Generalized derivative in the sense of Sobolev $\partial _{\bar {z}}w$ .

[13] With or without the attribution of the concept to Wilhelm Wirtinger: see, for example, the well known monograph Hörmander 1990, p. 1,23.

[14] In this course lectures, Aldo Andreotti uses the properties of Wirtinger derivatives in order to prove the closure of the algebra of holomorphic functions under certain operations: this purpose is common to all references cited in this section.

[15] This is a classical work on the theory of functions of several complex variables dealing mainly with its sheaf theoretic aspects: however, in the introductory sections, Wirtinger derivatives and a few other analytical tools are introduced and their application to the theory is described.

[16] In this work, the authors prove some of the properties of Wirtinger derivatives also for the general case of $C^{1}$ functions: in this single aspect, their approach is different from the one adopted by the other authors cited in this section, and perhaps more complete.

[17] See Kaup & Kaup 1983, p. 4 and also Gunning 1990, p. 5: Gunning considers the general case of $C^{1}$ functions but only for p = 1. References Andreotti 1976, p. 5 and Gunning & Rossi 1965, p. 6, as already pointed out, consider only holomorphic maps with p = 1: however, the resulting formulas are formally very similar.

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