अवमुख समष्टि

गणित में, कॉन्वेक्स स्पेस (या बैरीसेंट्रिक बीजगणित) एक ऐसा स्थान है जिसमें बिंदुओं के किसी भी सेट का उत्तल संयोजन लेना संभव है।

औपचारिक परिभाषा

कॉन्वेक्स स्पेस को सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $X$ बाइनरी उत्तल संयोजन ऑपरेशन से सुसज्जित $c_{\lambda }:X\times X\rightarrow X$ प्रत्येक के लिए $\lambda \in [0,1]$ संतुष्टि देने वाला:

• $c_{0}(x,y)=x$
• $c_{1}(x,y)=y$
• $c_{\lambda }(x,x)=x$
• $c_{\lambda }(x,y)=c_{1-\lambda }(y,x)$
• $c_{\lambda }(x,c_{\mu }(y,z))=c_{\lambda \mu }\left(c_{\frac {\lambda (1-\mu )}{1-\lambda \mu }}(x,y),z\right)$ (के लिए $\lambda \mu \neq 1$)

इससे, एन-एरी उत्तल संयोजन ऑपरेशन को परिभाषित करना संभव है, जो एन-टुपल द्वारा पैरामीट्रिज्ड है $(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$, कहाँ $\sum _{i}\lambda _{i}=1$.

उदाहरण

कोई भी वास्तविक एफ़िन स्थान कॉन्वेक्स स्पेस होता है। अधिक सामान्यतः, वास्तविक एफ़िन स्पेस का कोई भी उत्तल उपसमुच्चय एक कॉन्वेक्स स्पेस होता है।

इतिहास

उत्तल स्थानों का स्वतंत्र रूप से कई बार आविष्कार किया गया है और उन्हें अलग-अलग नाम दिए गए हैं, कम से कम मार्शल एच. स्टोन (1949) के समय से। इनका अध्ययन वाल्टर न्यूमैन (1970) द्वारा भी किया गया था। और Świrszcz (1974), दूसरों के बीच में।