अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह

गणित में अनिश्चित ऑर्थोगोनल समूह, O(p, q) सदिश स्थान वास्तविक सदिश स्थान के एन-आयाम के सभी रैखिक परिवर्तनों का झूठा समूह है जो अपरिवर्तनीय रूप से एक द्विघात रूप के हस्ताक्षर के सममित द्विरेखीय रूप को छोड़ देता है (p, q), कहाँ n = p + q. इसे स्यूडो-ऑर्थोगोनल ग्रुप भी कहा जाता है या सामान्यीकृत ऑर्थोगोनल समूह। समूह का आयाम है n(n − 1)/2.

अनिश्चितकालीन विशेष ऑर्थोगोनल समूह, SO(p, q) का उपसमूह है O(p, q) निर्धारक 1 के साथ सभी तत्वों से मिलकर। निश्चित मामले के विपरीत, SO(p, q) जुड़ा नहीं है - इसके 2 घटक हैं - और दो अतिरिक्त परिमित सूचकांक उपसमूह हैं, जो जुड़े हुए हैं SO⁺(p, q) और O⁺(p, q), जिसके 2 घटक हैं - देखें§ Topology परिभाषा और चर्चा के लिए।

फॉर्म का हस्ताक्षर समूह को समरूपता तक निर्धारित करता है; क्यू के साथ पी को इंटरचेंज करना मीट्रिक को उसके नकारात्मक से बदलने के बराबर है, और इसलिए वही समूह देता है। यदि या तो पी या क्यू शून्य के बराबर है, तो समूह सामान्य ऑर्थोगोनल समूह ओ (एन) के लिए समाकृतिकता है। हम मानते हैं कि पी और क्यू दोनों सकारात्मक हैं।

समूह O(p, q) वास्तविक संख्याओं पर वेक्टर रिक्त स्थान के लिए परिभाषित किया गया है। जटिल संख्या रिक्त स्थान के लिए, सभी समूह O(p, q; C) सामान्य ऑर्थोगोनल समूह के लिए आइसोमोर्फिक हैं O(p + q; C), परिवर्तन के बाद से $z_{j}\mapsto iz_{j}$ प्रपत्र के हस्ताक्षर में परिवर्तन करता है। इसे अनिश्चितकालीन एकात्मक समूह के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए U(p, q) जो सिग्नेचर के सेस्क्विलिनियर रूप को सुरक्षित रखता है (p, q).

सम आयाम में n = 2p, O(p, p) को #विभाजित ऑर्थोगोनल समूह के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण

फ़ाइल: निचोड़ r=1.5.svg|thumb|निचोड़ मैपिंग, यहाँ r = 3/2, मूल अतिपरवलयिक सममितियाँ हैं। मूल उदाहरण निचोड़ मैपिंग है, जो समूह है {{nowrap|SO⁺(1, 1)} इकाई अतिपरवलय को संरक्षित करने वाले रेखीय परिवर्तनों का (पहचान घटक) का }। वास्तव में, ये मैट्रिसेस हैं $\left[{\begin{smallmatrix}\cosh(\alpha )&\sinh(\alpha )\\\sinh(\alpha )&\cosh(\alpha )\end{smallmatrix}}\right],$ और अतिशयोक्तिपूर्ण घुमावों के रूप में व्याख्या की जा सकती है, ठीक उसी तरह जैसे समूह SO(2) को वृत्ताकार घुमावों के रूप में व्याख्यायित किया जा सकता है।

भौतिकी में, लोरेंत्ज़ समूह O(1,3) केंद्रीय महत्व का है, जो विद्युत चुंबकत्व और विशेष सापेक्षता के लिए सेटिंग है। (कुछ ग्रंथ उपयोग करते हैं O(3,1) लोरेंत्ज़ समूह के लिए; हालाँकि, O(1,3) क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में प्रचलित है क्योंकि डायराक समीकरण के ज्यामितीय गुण अधिक प्राकृतिक हैं O(1,3).)

मैट्रिक्स परिभाषा

कोई परिभाषित कर सकता है O(p, q) मैट्रिक्स (गणित) के एक समूह के रूप में, शास्त्रीय ऑर्थोगोनल समूह ओ (एन) के रूप में। इसपर विचार करें $(p+q)\times (p+q)$ विकर्ण मैट्रिक्स $g$ द्वारा दिए गए

$g=\mathrm {diag} (\underbrace {1,\ldots ,1} _{p},\underbrace {-1,\ldots ,-1} _{q}).$

तब हम एक सममित द्विरेखीय रूप को परिभाषित कर सकते हैं $[\cdot ,\cdot ]_{p,q}$ पर $\mathbb {R} ^{p+q}$ सूत्र द्वारा

$[x,y]_{p,q}=\langle x,gy\rangle =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{p}y_{p}-x_{p+1}y_{p+1}-\cdots -x_{p+q}y_{p+q}$,

कहाँ $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ मानक आंतरिक उत्पाद चालू है $\mathbb {R} ^{p+q}$.

हम तब परिभाषित करते हैं $\mathrm {O} (p,q)$ का समूह होना $(p+q)\times (p+q)$ मैट्रिसेस जो इस बिलिनियर फॉर्म को संरक्षित करते हैं:

$\mathrm {O} (p,q)=\{A\in M_{p+q}(\mathbb {R} )|[Ax,Ay]_{p,q}=[x,y]_{p,q}\,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{p+q}\}$.

अधिक स्पष्ट रूप से, $\mathrm {O} (p,q)$ मेट्रिसेस के होते हैं $A$ ऐसा है कि

$gA^{\mathrm {tr} }g=A^{-1}$,

कहाँ $A^{\mathrm {tr} }$ का स्थानान्तरण है $A$.

एक आइसोमॉर्फिक समूह प्राप्त करता है (वास्तव में, एक संयुग्मित उपसमूह GL(p + q)) जी को किसी भी सममित मैट्रिक्स के साथ पी सकारात्मक eigenvalues ​​​​और क्यू नकारात्मक वाले के साथ बदलकर। इस मैट्रिक्स को विकर्ण करने से इस समूह का मानक समूह के साथ संयोजन होता है O(p, q).

उपसमूह

समूह SO⁺(p, q) और संबंधित उपसमूह O(p, q) को बीजगणितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है। एक मैट्रिक्स L का विभाजन करें O(p, q) ब्लॉक मैट्रिक्स के रूप में:

$L={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}$

जहां A, B, C, और D क्रमशः p×p, p×q, q×p, और q×q ब्लॉक हैं। यह दिखाया जा सकता है कि मेट्रिसेस का सेट O(p, q) जिसके ऊपरी-बाएँ p×p ब्लॉक A में सकारात्मक निर्धारक एक उपसमूह है। या, इसे दूसरे तरीके से रखने के लिए, अगर

$L={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\;\mathrm {and} \;M={\begin{pmatrix}W&X\\Y&Z\end{pmatrix}}$

में हैं O(p, q), तब

$(\operatorname {sgn} \det A)(\operatorname {sgn} \det W)=\operatorname {sgn} \det(AW+BY).$

निचले-दाएँ q×q ब्लॉक के लिए समान परिणाम भी धारण करता है। उपसमूह SO⁺(p, q) मेट्रिसेस एल जैसे होते हैं det A और det D दोनों सकारात्मक हैं। सभी मैट्रिसेस के लिए एल में O(p, q), A और D के निर्धारकों के पास वह गुण है ${\textstyle {\frac {\det A}{\det D}}=\det L}$ ओर वो $|\det A|=|\det D|\geq 1.$ विशेष रूप से, उपसमूह SO(p, q) मेट्रिसेस एल जैसे होते हैं det A और det D का एक ही चिन्ह है।

टोपोलॉजी

यह मानते हुए कि p और q दोनों धनात्मक हैं, कोई भी समूह नहीं O(p, q) और न SO(p, q) जुड़े हुए स्थान हैं, जिनमें क्रमशः चार और दो घटक हैं। π₀(O(p, q)) ≅ C₂ × C₂ क्लेन चार-समूह है, जिसमें प्रत्येक कारक है कि क्या कोई तत्व पी और क्यू आयामी उप-स्थानों पर संबंधित अभिविन्यासों को संरक्षित करता है या उलट देता है, जिस पर प्रपत्र निश्चित है; ध्यान दें कि इनमें से केवल एक उप-स्थान पर ओरिएंटेशन को उलटने से पूरे स्थान पर ओरिएंटेशन उलट जाता है। विशेष ऑर्थोगोनल समूह में घटक होते हैं π₀(SO(p, q)) = {(1, 1), (−1, −1)}, जिनमें से प्रत्येक या तो दोनों ओरिएंटेशन को संरक्षित करता है या दोनों ओरिएंटेशन को उलट देता है, किसी भी मामले में समग्र अभिविन्यास को संरक्षित करता है।

का पहचान घटक O(p, q) को अक्सर निरूपित किया जाता है SO⁺(p, q) और तत्वों के सेट के साथ पहचाना जा सकता है SO(p, q) जो दोनों ओरिएंटेशन को संरक्षित करता है। यह अंकन अंकन से संबंधित है O⁺(1, 3) orthochronous Lorentz group के लिए, जहां + पहले (अस्थायी) आयाम पर अभिविन्यास को संरक्षित करने के लिए संदर्भित करता है।

समूह O(p, q) भी कॉम्पैक्ट जगह नहीं है, लेकिन इसमें कॉम्पैक्ट सबग्रुप्स O(p) और O(q) शामिल हैं, जो सबस्पेस पर काम करते हैं, जिस पर फॉर्म निश्चित है। वास्तव में, O(p) × O(q) का अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह है O(p, q), जबकि S(O(p) × O(q)) का अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह है SO(p, q). वैसे ही, SO(p) × SO(q) का अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह है SO⁺(p, q). इस प्रकार, रिक्त स्थान (विशेष) ऑर्थोगोनल समूहों के उत्पादों के बराबर होमोटोपी हैं, जिनसे बीजगणित-टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट की गणना की जा सकती है। (अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह # टोपोलॉजी देखें।)

विशेष रूप से, का मौलिक समूह SO⁺(p, q) घटकों के मौलिक समूहों का उत्पाद है, π₁(SO⁺(p, q)) = π₁(SO(p)) × π₁(SO(q)), और इसके द्वारा दिया गया है:

π1(SO+(p, q))	p = 1	p = 2	p ≥ 3
q = 1	C1	Z	C2
q = 2	Z	Z × Z	Z × C2
q ≥ 3	C2	C2 × Z	C2 × C2

ऑर्थोगोनल समूह विभाजित करें

समान आयामों में, मध्य समूह O(n, n) विभाजित ऑर्थोगोनल समूह के रूप में जाना जाता है, और यह विशेष रुचि का है, क्योंकि यह स्ट्रिंग थ्योरी में टी-द्वैत परिवर्तनों के समूह के रूप में होता है, उदाहरण के लिए। यह जटिल लाइ बीजगणित के अनुरूप विभाजित झूठ समूह है_2n (झूठ बीजगणित के विभाजित वास्तविक रूप का झूठ समूह); अधिक सटीक रूप से, पहचान घटक विभाजित झूठ समूह है, क्योंकि गैर-पहचान घटकों को झूठ बीजगणित से पुनर्निर्मित नहीं किया जा सकता है। इस अर्थ में यह निश्चित ओर्थोगोनल समूह के विपरीत है O(n) := O(n, 0) = O(0, n), जो जटिल ले बीजगणित का कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप है।

मामला (1, 1) विभाजित-जटिल संख्या ों के गुणक समूह से मेल खाता है।

झूठ प्रकार के एक समूह होने के मामले में - यानी, झूठ बीजगणित से बीजगणितीय समूह का निर्माण - विभाजित ऑर्थोगोनल समूह चेवेली समूह हैं, जबकि गैर-विभाजित ऑर्थोगोनल समूहों को थोड़ा अधिक जटिल निर्माण की आवश्यकता होती है, और स्टाइनबर्ग समूह (झूठ सिद्धांत) हैं ).

स्प्लिट ऑर्थोगोनल समूहों का उपयोग गैर-बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों पर सामान्यीकृत ध्वज विविधता के निर्माण के लिए किया जाता है।

यह भी देखें

• ऑर्थोगोनल समूह
• लोरेंत्ज़ समूह
• पोंकारे समूह
• सममित द्विरेखीय रूप

संदर्भ

• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Anthony Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, Second Edition, Progress in Mathematics, vol. 140, Birkhäuser, Boston, 2002. ISBN 0-8176-4259-5 – see page 372 for a description of the indefinite orthogonal group
• Popov, V. L. (2001) [1994], "Orthogonal group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Shirokov, D. S. (2012). Lectures on Clifford algebras and spinors Лекции по алгебрам клиффорда и спинорам (PDF) (in русский). doi:10.4213/book1373. Zbl 1291.15063.
• Joseph A. Wolf, Spaces of constant curvature, (1967) page. 335.