ऊष्मा स्थानांतरण का सामान्य समीकरण

द्रव गतिशीलता में, गर्मी हस्तांतरण का सामान्य समीकरण एक गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरण है जो थर्मल चालन और चिपचिपाहट के अधीन न्यूटोनियन द्रव पदार्थ में विशिष्ट मात्रा एन्ट्रॉपी उत्पादन का वर्णन करता है:

$\underbrace {\rho T{Ds \over {Dt}}} _{\text{Heat Gain}}=\underbrace {\nabla \cdot (\kappa \nabla T)} _{\text{Thermal Conduction}}+\underbrace {{\mu \over {2}}\left({\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}+{\partial v_{j} \over {\partial x_{i}}}-{2 \over {3}}\delta _{ij}\nabla \cdot {\bf {v}}\right)^{2}+\zeta (\nabla \cdot {\bf {v}})^{2}} _{\text{Viscous Dissipation}}$

कहाँ $s$ विशिष्ट एन्ट्रापी है, $\rho$ द्रव का घनत्व है, $T$ द्रव का तापमान है, $D/Dt$ सामग्री व्युत्पन्न है, $\kappa$ तापीय चालकता है, $\mu$ गतिशील चिपचिपाहट है, $\zeta$ दूसरा लैमे पैरामीटर है|लेमे पैरामीटर, ${\bf {v}}$ प्रवाह वेग है, $\nabla$ क्या की का उपयोग ग्रेडियेंट और विचलन को चिह्नित करने के लिए किया जाता है, और $\delta _{ij}$ क्रोनकर डेल्टा है।

यदि प्रवाह वेग नगण्य है, तो ऊष्मा स्थानांतरण का सामान्य समीकरण मानक ऊष्मा समीकरण में कम हो जाता है। इसे घूमने वाले संदर्भ फ्रेम, स्तरीकृत प्रवाह तक भी बढ़ाया जा सकता है, जैसे कि भूभौतिकीय द्रव गतिशीलता में सामना करना पड़ता है।

व्युत्पत्ति

आदर्श द्रव ऊर्जा समीकरण का विस्तार

एक चिपचिपे, न्यूटोनियन तरल पदार्थ के लिए, द्रव्यमान संरक्षण और संवेग संरक्षण के लिए शासी समीकरण निरंतरता समीकरण # द्रव गतिकी और नेवियर-स्टोक्स समीकरण हैं | नेवियर-स्टोक्स समीकरण:

$${\begin{aligned}{\partial \rho \over {\partial t}}&=-\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\\\rho {D{\bf {v}} \over {Dt}}&=-\nabla p+\nabla \cdot \sigma \end{aligned}}$$

कहाँ $p$ दबाव है और $\sigma$ चिपचिपा तनाव टेंसर है, चिपचिपा तनाव टेंसर के घटकों के साथ:

$$\sigma _{ij}=\mu \left({\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}+{\partial v_{j} \over {\partial x_{i}}}-{2 \over {3}}\delta _{ij}\nabla \cdot {\bf {v}}\right)+\zeta \delta _{ij}\nabla \cdot {\bf {v}}$$

द्रव के एक इकाई आयतन की ऊर्जा गतिज ऊर्जा का योग है $\rho v^{2}/2\equiv \rho k$ और आंतरिक ऊर्जा $\rho \varepsilon$, कहाँ $\varepsilon$ विशिष्ट आंतरिक ऊर्जा है. एक आदर्श तरल पदार्थ में, जैसा कि यूलर समीकरण (द्रव गतिशीलता) द्वारा वर्णित है, ऊर्जा का संरक्षण समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:

$${\partial \over {\partial t}}\left[\rho (k+\varepsilon )\right]+\nabla \cdot \left[\rho {\bf {v}}(k+h)\right]=0$$

कहाँ $h$ विशिष्ट तापीय धारिता है. हालाँकि, थर्मल चालन के अधीन एक चिपचिपे तरल पदार्थ में ऊर्जा के संरक्षण के लिए, संवहन के कारण ऊर्जा प्रवाह $\rho {\bf {v}}(k+h)$ फूरियर के नियम द्वारा दिए गए ताप प्रवाह द्वारा पूरक होना चाहिए ${\bf {q}}=-\kappa \nabla T$ और आंतरिक घर्षण के कारण प्रवाह $-\sigma \cdot {\bf {v}}$. तब ऊर्जा संरक्षण के लिए सामान्य समीकरण है:

$${\partial \over {\partial t}}\left[\rho (k+\varepsilon )\right]+\nabla \cdot \left[\rho {\bf {v}}(k+h)-\kappa \nabla T-\sigma \cdot {\bf {v}}\right]=0$$

एन्ट्रापी उत्पादन के लिए समीकरण

ध्यान दें कि आंतरिक ऊर्जा और एन्थैल्पी के लिए थर्मोडायनामिक संबंध इस प्रकार दिए गए हैं:

$${\begin{aligned}\rho d\varepsilon &=\rho Tds+{p \over {\rho }}d\rho \\\rho dh&=\rho Tds+dp\end{aligned}}$$

हम प्रवाह वेग के साथ नेवियर-स्टोक्स समीकरण के डॉट उत्पाद को लेकर गतिज ऊर्जा के लिए एक समीकरण भी प्राप्त कर सकते हैं ${\bf {v}}$ उपज:

$$\rho {Dk \over {Dt}}=-{\bf {v}}\cdot \nabla p+v_{i}{\partial \sigma _{ij} \over {\partial x_{j}}}$$

दाहिनी ओर के दूसरे शब्द को पढ़ने के लिए विस्तारित किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}v_{i}{\partial \sigma _{ij} \over {\partial x_{j}}}&={\partial \over {\partial x_{j}}}\left(\sigma _{ij}v_{i}\right)-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}\\&\equiv \nabla \cdot (\sigma \cdot {\bf {v}})-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}\end{aligned}}$$

एन्थैल्पी और अंतिम परिणाम के लिए थर्मोडायनामिक संबंध की सहायता से, हम गतिज ऊर्जा समीकरण को इस रूप में रख सकते हैं:

$$\rho {Dk \over {Dt}}=-\rho {\bf {v}}\cdot \nabla h+\rho T{\bf {v}}\cdot \nabla s+\nabla \cdot (\sigma \cdot {\bf {v}})-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}$$

अब कुल ऊर्जा के समय व्युत्पन्न का विस्तार करते हुए, हमारे पास है:

$${\partial \over {\partial t}}\left[\rho (k+\varepsilon )\right]=\rho {\partial k \over {\partial t}}+\rho {\partial \varepsilon \over {\partial t}}+(k+\varepsilon ){\partial \rho \over {\partial t}}$$

फिर इनमें से प्रत्येक शब्द का विस्तार करने पर, हम पाते हैं कि:

$${\begin{aligned}\rho {\partial k \over {\partial t}}&=-\rho {\bf {v}}\cdot \nabla k-\rho {\bf {v}}\cdot \nabla h+\rho T{\bf {v}}\cdot \nabla s+\nabla \cdot (\sigma \cdot {\bf {v}})-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}\\\rho {\partial \varepsilon \over {\partial t}}&=\rho T{\partial s \over {\partial t}}-{p \over {\rho }}\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\\(k+\varepsilon ){\partial \rho \over {\partial t}}&=-(k+\varepsilon )\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\end{aligned}}$$

और शर्तें एकत्रित करने के बाद, हमारे पास यही रह जाता है:

$${\partial \over {\partial t}}\left[\rho (k+\varepsilon )\right]+\nabla \cdot \left[\rho {\bf {v}}(k+h)-\sigma \cdot {\bf {v}}\right]=\rho T{Ds \over {Dt}}-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}$$

अब प्रत्येक पक्ष में तापीय संचालन के कारण ऊष्मा प्रवाह के विचलन को जोड़ने पर, हमें यह मिलता है:

$${\partial \over {\partial t}}\left[\rho (k+\varepsilon )\right]+\nabla \cdot \left[\rho {\bf {v}}(k+h)-\kappa \nabla T-\sigma \cdot {\bf {v}}\right]=\rho T{Ds \over {Dt}}-\nabla \cdot (\kappa \nabla T)-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}$$

हालाँकि, हम जानते हैं कि बाईं ओर ऊर्जा का संरक्षण शून्य के बराबर है, हमारे पास यह है:

$$\rho T{Ds \over {Dt}}=\nabla \cdot (\kappa \nabla T)+\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}$$

चिपचिपा तनाव टेंसर और वेग ढाल के उत्पाद को इस प्रकार विस्तारित किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}&=\mu \left({\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}+{\partial v_{j} \over {\partial x_{i}}}-{2 \over {3}}\delta _{ij}\nabla \cdot {\bf {v}}\right){\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}+\zeta \delta _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}\nabla \cdot {\bf {v}}\\&={\mu \over {2}}\left({\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}+{\partial v_{j} \over {\partial x_{i}}}-{2 \over {3}}\delta _{ij}\nabla \cdot {\bf {v}}\right)^{2}+\zeta (\nabla \cdot {\bf {v}})^{2}\end{aligned}}$$

इस प्रकार विशिष्ट एन्ट्रापी उत्पादन के लिए समीकरण के अंतिम रूप की ओर अग्रसर:

$$\rho T{Ds \over {Dt}}=\nabla \cdot (\kappa \nabla T)+{\mu \over {2}}\left({\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}+{\partial v_{j} \over {\partial x_{i}}}-{2 \over {3}}\delta _{ij}\nabla \cdot {\bf {v}}\right)^{2}+\zeta (\nabla \cdot {\bf {v}})^{2}$$

ऐसे मामले में जहां थर्मल चालन और चिपचिपा बल अनुपस्थित हैं, एन्ट्रापी उत्पादन का समीकरण ढह जाता है $Ds/Dt=0$ - यह दर्शाता है कि आदर्श द्रव प्रवाह आइसेंट्रोपिक प्रक्रिया है।

आवेदन

यह समीकरण लेव लैंडौ|एल.डी. के छठे खंड में तरल पदार्थों में थर्मल चालन पर अध्याय के उद्घाटन पर धारा 49 में लिया गया है। लैंडौ और एवगेनी लिफ्शिट्ज़|ई.एम. सैद्धांतिक भौतिकी का लाइफशिट्ज़ पाठ्यक्रम।इसका उपयोग घरेलू रेफ्रिजरेटर में गर्मी हस्तांतरण और वायु प्रवाह को मापने के लिए किया जा सकता है, पुनर्योजी का हार्मोनिक विश्लेषण करने के लिए, या ग्लेशियरों की भौतिकी को समझने के लिए।

यह भी देखें

• अपव्यय
• गर्मी का हस्तांतरण
• अशांति गतिज ऊर्जा

अग्रिम पठन

• Vallis, G.K. (2006). Atmospheric and Oceanic Fluid Dynamics: Fundamentals and Large-Scale Circulation. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84969-2.
• Yilmaz, T.; Cihan, E. (September 1993). "General equation for heat transfer for laminar flow in ducts of arbitrary cross-sections". International Journal of Heat and Mass Transfer. 36 (13): 3265–3270. doi:10.1016/0017-9310(93)90009-U. ISSN 0017-9310.