किलिंग फॉर्म

गणित में, विल्हेम हत्या के नाम पर रखा गया किलिंग फॉर्म एक सममित द्विरेखीय रूप है जो झूठ समूहों और झूठ बीजगणित के सिद्धांतों में एक बुनियादी भूमिका निभाता है। कार्टन की कसौटी | कार्टन के मानदंड (सॉल्वेबिलिटी की कसौटी और अर्ध-सरलता की कसौटी) से पता चलता है कि किलिंग फॉर्म का लाई बीजगणित के सेमीसिम्पल लाई बीजगणित से घनिष्ठ संबंध है।

इतिहास और नाम

किलिंग फॉर्म अनिवार्य रूप से लाई बीजगणित सिद्धांत में किसके द्वारा पेश किया गया था? Élie Cartan (1894) उनकी थीसिस में। झूठ सिद्धांत के एक ऐतिहासिक सर्वेक्षण में, Borel (2001) ने वर्णन किया है कि किस तरह से किलिंग फॉर्म शब्द पहली बार 1951 में सेमिनायर बोरबाकी के लिए अपनी खुद की एक रिपोर्ट के दौरान आया था; यह एक मिथ्या नाम के रूप में उत्पन्न हुआ, क्योंकि पहले से ही झूठ सिद्धांतकारों द्वारा प्रपत्र का उपयोग किया गया था, बिना किसी नाम के जुड़ा हुआ था। कुछ अन्य लेखक अब कार्टन-किलिंग फॉर्म शब्द का प्रयोग करते हैं। 19वीं शताब्दी के अंत में, किलिंग ने नोट किया था कि लाई बीजगणित के एक नियमित अर्ध-सरल तत्व के विशेषता समीकरण के गुणांक आसन्न समूह के तहत अपरिवर्तनीय हैं, जिससे यह पता चलता है कि किलिंग फॉर्म (यानी डिग्री 2 गुणांक) है अपरिवर्तनीय, लेकिन उन्होंने इस तथ्य का अधिक उपयोग नहीं किया। एक मूल परिणाम जो कार्टन ने उपयोग किया, वह कार्टन की कसौटी थी, जिसमें कहा गया है कि किलिंग फॉर्म गैर-पतित है अगर और केवल अगर झूठ बीजगणित एक अर्ध-सरल झूठ बीजगणित है।

परिभाषा

एक झूठ बीजगणित पर विचार करें ${\mathfrak {g}}$ एक क्षेत्र पर (गणित) K. हर तत्व x का ${\mathfrak {g}}$ आसन्न एंडोमोर्फिज्म को परिभाषित करता है ad(x) (के रूप में भी लिखा गया है ad_x) का ${\mathfrak {g}}$ लेट ब्रैकेट की मदद से, जैसे

$\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y].$

अब, मान लीजिए ${\mathfrak {g}}$ परिमित आयाम का है, दो ऐसे एंडोमोर्फिज्म की संरचना के एक मैट्रिक्स का निशान एक सममित द्विरेखीय रूप को परिभाषित करता है

$B(x,y)=\operatorname {trace} (\operatorname {ad} (x)\circ \operatorname {ad} (y)),$

मूल्यों के साथ K, किलिंग फॉर्म ऑन ${\mathfrak {g}}$.

गुण

उपरोक्त परिभाषा से निम्नलिखित गुण प्रमेय के रूप में अनुसरण करते हैं।

• संहार रूप B बिलिनियर और सममित है।
• किलिंग फॉर्म एक अपरिवर्तनीय रूप है, जैसा कि कासिमिर संचालक से प्राप्त अन्य सभी रूप हैं। कासिमिर ऑपरेटरों की व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित) गायब हो जाती है; किलिंग फॉर्म के लिए, इस गायब होने को इस रूप में लिखा जा सकता है

$B([x,y],z)=B(x,[y,z])$ : जहां [ , ] लाई बीजगणित# परिभाषा और प्रथम गुण है।

• अगर ${\mathfrak {g}}$ एक साधारण लाई बीजगणित है तो किसी भी अपरिवर्तनीय सममित द्विरेखीय रूप पर ${\mathfrak {g}}$ किलिंग फॉर्म का एक स्केलर मल्टीपल है।
• automorphism के तहत किलिंग फॉर्म भी अपरिवर्तनीय है s बीजगणित का ${\mathfrak {g}}$, वह है,

$B(s(x),s(y))=B(x,y)$

के लिए s में ${\mathfrak {g}}$.

• कार्टन कसौटी में कहा गया है कि एक झूठ बीजगणित अर्धसरल झूठ बीजगणित है अगर और केवल अगर किलिंग फॉर्म पतित रूप है। गैर-पतित।
• निलपोटेंट ले बीजगणित का किलिंग फॉर्म समान रूप से शून्य है।
• अगर I, J झूठ बीजगणित में झूठ बीजगणित के दो आदर्श हैं ${\mathfrak {g}}$ शून्य चौराहे के साथ, फिर I और J किलिंग फॉर्म के संबंध में ओर्थोगोनल सबस्पेस हैं।
• ऑर्थोगोनल पूरक के संबंध में {{math|B}एक आदर्श का} फिर से एक आदर्श है।
• यदि कोई दिया गया बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ इसके आदर्शों का प्रत्यक्ष योग है I₁,...,I_n, फिर की हत्या का रूप ${\mathfrak {g}}$ अलग-अलग योगों के किलिंग रूपों का प्रत्यक्ष योग है।

मैट्रिक्स तत्व

एक आधार दिया {{math|e_i}झूठ बीजगणित का } ${\mathfrak {g}}$, किलिंग फॉर्म के मैट्रिक्स तत्व द्वारा दिए गए हैं

$B_{ij}=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} (e_{i})\circ \mathrm {ad} (e_{j})).$

यहाँ

$\left({\textrm {ad}}(e_{i})\circ {\textrm {ad}}(e_{j})\right)(e_{k})=[e_{i},[e_{j},e_{k}]]=[e_{i},{c_{jk}}^{m}e_{m}]={c_{im}}^{n}{c_{jk}}^{m}e_{n}$

आइंस्टीन योग अंकन में, जहां c_ij^k झूठ बीजगणित के संरचना स्थिरांक हैं। अनुक्रमणिका k कॉलम इंडेक्स और इंडेक्स के रूप में कार्य करता है n मैट्रिक्स में पंक्ति अनुक्रमणिका के रूप में ad(e_i)ad(e_j). ट्रेस लेना डालने के समान है k = n और योग, और इसलिए हम लिख सकते हैं

$B_{ij}={c_{im}}^{n}{c_{jn}}^{m}$

किलिंग फॉर्म सबसे सरल 2-टेन्सर है जिसे संरचना स्थिरांक से बनाया जा सकता है। रूप ही तो है $B=B_{ij}e^{i}\otimes e^{j}.$ उपरोक्त अनुक्रमित परिभाषा में, हम ऊपरी और निचले सूचकांकों (को- और कॉन्ट्रा-वैरिएंट इंडेक्स) में अंतर करने के लिए सावधान हैं। ऐसा इसलिए है, क्योंकि कई मामलों में, किलिंग फॉर्म को मैनिफोल्ड पर मीट्रिक टेंसर के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है, इस मामले में टेंसर के परिवर्तन गुणों के लिए भेद एक महत्वपूर्ण बन जाता है। जब लाई बीजगणित एक शून्य-विशेषता वाले क्षेत्र पर सेमिसिम्पल लाई बीजगणित होता है, तो इसका किलिंग फॉर्म नॉनडिजेनरेट होता है, और इसलिए सूचकांक को बढ़ाने और कम करने के लिए मीट्रिक टेन्सर के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है। इस मामले में, इसके लिए आधार चुनना हमेशा संभव होता है ${\mathfrak {g}}$ जैसे कि सभी ऊपरी सूचकांकों के साथ संरचना स्थिरांक एंटीसिमेट्रिक टेंसर हैं।

कुछ झूठ बीजगणित के लिए हत्या का रूप ${\mathfrak {g}}$ इसलिए है X, Y में ${\mathfrak {g}}$ उनके मौलिक मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व में देखा गया):

${\mathfrak {g}}$	$B(X,Y)$	Classification	Dual coxeter number
${\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )$	$2n{\text{tr}}(XY)-2{\text{tr}}(X){\text{tr}}(Y)$	-	-
${\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {R} ),n\geq 2$	$2n{\text{tr}}(XY)$	$A_{n-1}$	$n$
${\mathfrak {su}}(n),n\geq 2$	$2n{\text{tr}}(XY)$	$A_{n-1}$	$n$
${\mathfrak {so}}(n),n\geq 2$	$(n-2){\text{tr}}(XY)$	$B_{m},n=2m+1$ for $n$ odd. $D_{m},n=2m$ for $n$ even.	$n-2$
${\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} ),n\geq 2$	$(n-2){\text{tr}}(XY)$	$B_{m},n=2m+1$ for $n$ odd. $D_{m},n=2m$ for $n$ even.	$n-2$
${\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} ),n\geq 1$	$2(n+1){\text{tr}}(XY)$	$C_{n}$	$n+1$
${\mathfrak {sp}}(n),n\geq 1$	$2(n+1){\text{tr}}(XY)$	$C_{n}$	$n+1$

तालिका से पता चलता है कि आसन्न प्रतिनिधित्व के लिए डाइनकिन इंडेक्स दोहरी कॉक्सेटर संख्या के दोगुने के बराबर है।

वास्तविक रूपों के साथ संबंध

Main article: Real form (Lie theory)

लगता है कि ${\mathfrak {g}}$ वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र पर एक अर्ध-सरल झूठ बीजगणित है $\mathbb {R}$. कार्टन की कसौटी के अनुसार, किलिंग फॉर्म नॉनडिजेनरेट है, और विकर्ण प्रविष्टियों के साथ उपयुक्त आधार पर विकर्ण किया जा सकता है ±1. सिल्वेस्टर के जड़त्व के नियम के अनुसार, धनात्मक प्रविष्टियों की संख्या बिलिनियर फॉर्म का एक अपरिवर्तनीय है, यानी यह विकर्ण आधार की पसंद पर निर्भर नहीं करता है, और इसे लाई बीजगणित का सूचकांक कहा जाता है ${\mathfrak {g}}$. यह बीच की संख्या है 0 और का आयाम ${\mathfrak {g}}$ जो वास्तविक झूठ बीजगणित का एक महत्वपूर्ण आविष्कार है। विशेष रूप से, एक वास्तविक झूठ बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ कॉम्पैक्ट कहा जाता है यदि किलिंग फॉर्म ऋणात्मक निश्चित है (या ऋणात्मक अर्ध निश्चित है यदि झूठ बीजगणित अर्धसरल नहीं है)। ध्यान दें कि यह दो असमान परिभाषाओं में से एक है जो आमतौर पर झूठ बीजगणित की कॉम्पैक्टनेस के लिए उपयोग की जाती है; दूसरा कहता है कि एक झूठ बीजगणित कॉम्पैक्ट होता है यदि यह एक कॉम्पैक्ट लाइ समूह से मेल खाता है। किलिंग फॉर्म की नकारात्मक निश्चितता के संदर्भ में कॉम्पैक्टनेस की परिभाषा अधिक प्रतिबंधात्मक है, क्योंकि इस परिभाषा का उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है कि लाई पत्राचार के तहत, कॉम्पैक्ट लाई बीजगणित कॉम्पैक्ट लाई समूहों के अनुरूप है।

अगर ${\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }$ सम्मिश्र संख्याओं पर एक अर्धसरल झूठ बीजगणित है, तो कई गैर-समरूपी वास्तविक बीजगणित हैं जिनका जटिलीकरण है ${\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }$जो उसके वास्तविक रूप कहलाते हैं। यह पता चला है कि प्रत्येक जटिल अर्धसरल झूठ बीजगणित एक अद्वितीय (समरूपता तक) कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप को स्वीकार करता है ${\mathfrak {g}}$. दिए गए जटिल अर्धसरल लाई बीजगणित के वास्तविक रूपों को अक्सर उनके किलिंग फॉर्म की जड़ता के सकारात्मक सूचकांक द्वारा लेबल किया जाता है।

उदाहरण के लिए, जटिल विशेष रैखिक समूह ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ दो वास्तविक रूप हैं, वास्तविक विशेष रेखीय बीजगणित, निरूपित ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$, और विशेष एकात्मक समूह, निरूपित ${\mathfrak {su}}(2)$. पहला नॉनकॉम्पैक्ट है, तथाकथित स्प्लिट रियल फॉर्म, और इसके किलिंग फॉर्म में हस्ताक्षर हैं (2, 1). दूसरा सघन वास्तविक रूप है और इसका संहार रूप नकारात्मक निश्चित है, अर्थात् हस्ताक्षर है (0, 3). संबंधित झूठ समूह गैर-कॉम्पैक्ट समूह हैं $\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$ का 2 × 2 इकाई निर्धारक और विशेष एकात्मक समूह के साथ वास्तविक मैट्रिक्स $\mathrm {SU} (2)$, जो कॉम्पैक्ट है।

ट्रेस फॉर्म

होने देना ${\mathfrak {g}}$ क्षेत्र के ऊपर एक परिमित-आयामी झूठ बीजगणित बनें $K$, और $\rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V)$ एक झूठ बीजगणित प्रतिनिधित्व हो। होने देना ${\text{Tr}}_{V}:{\text{End}}(V)\rightarrow K$ ट्रेस कार्यात्मक हो $V$. तब हम प्रतिनिधित्व के लिए ट्रेस फॉर्म को परिभाषित कर सकते हैं $\rho$ जैसा

${\text{Tr}}_{\rho }:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow K,$

${\text{Tr}}_{\rho }(X,Y)={\text{Tr}}_{V}(\rho (X)\rho (Y)).$

फिर किलिंग फॉर्म विशेष मामला है कि प्रतिनिधित्व आसन्न प्रतिनिधित्व है, ${\text{Tr}}_{\text{ad}}=B$.

यह दिखाना आसान है कि यह किसी भी प्रतिनिधित्व के लिए सममित, द्विरेखीय और अपरिवर्तनीय है $\rho$.

अगर इसके अलावा ${\mathfrak {g}}$ सरल और है $\rho$ अप्रासंगिक है, तो इसे दिखाया जा सकता है ${\text{Tr}}_{\rho }=I(\rho )B$ कहाँ $I(\rho )$ प्रतिनिधित्व का सूचकांक है।

यह भी देखें

• कासिमिर अपरिवर्तनीय
• हत्या वेक्टर क्षेत्र

संदर्भ

• Borel, Armand (2001), Essays in the history of Lie groups and algebraic groups, History of Mathematics, vol. 21, American Mathematical Society and the London Mathematical Society, ISBN 0821802887
• Bump, Daniel (2004), Lie Groups, Graduate Texts In Mathematics, vol. 225, Springer, doi:10.1007/978-1-4614-8024-2, ISBN 978-0-387-21154-1
• Cartan, Élie (1894), Sur la structure des groupes de transformations finis et continus, Thesis, Nony
• Fuchs, Jurgen (1992), Affine Lie Algebras and Quantum Groups, Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X
• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics (in British English). Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
• "Killing form", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Kirillov, Alexander Jr. (2008), An introduction to Lie groups and Lie algebras, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 113, Cambridge University Press, CiteSeerX 10.1.1.173.1452, doi:10.1017/CBO9780511755156, ISBN 978-0-521-88969-8, MR 2440737