रेखीय समीकरण

दो चरों में रैखिक समीकरणों के दो रेखांकन

एक रेखीय समीकरण को $a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,$ रूप मे प्रदर्शित किया जा सकता है, जहां $x_{1},\ldots ,x_{n}$ चर (या अज्ञात) हैं तथा $b,a_{1},\ldots ,a_{n}$ गुणांक हैं, जो प्रयाः वास्तविक संख्याएं होती हैं। गुणांकों को समीकरण के पैरामीटर (गणित में स्थिर राशी) के रूप में माना जा सकता है, और स्वेच्छाचारी (मनमाने) व्यंजक (अचर) हो सकते हैं। एक सार्थक समीकरण प्राप्त करने के लिए, सभी गुणांक $a_{1},\ldots ,a_{n}$ का शून्य न होना आवश्यक है।

वैकल्पिक रूप से, एक रैखिक समीकरण, एक रैखिक बहुपद को शून्य के बराबर करके प्राप्त किया जा सकता है, जिससे गुणांक लिया जाता है।

इस तरह के समीकरण के हल वे मान होते हैं, जो चर (या अज्ञात) के स्थान पर रखने समीकरण के दोनों पक्षों की समानता को सत्य बनाते हैं।

केवल एक चर (या अज्ञात) होने की स्थिति में, एक मात्र हल ($a_{1}\neq 0$) है। अक्सर, रैखिक समीकरण शब्द इस विशेष मामले को परोक्ष रूप से संदर्भित करता है, जिसमें चर को समझदारी से अज्ञात कहा जाता है।

दो चरों की स्थिति में, प्रत्येक हल की व्याख्या यूक्लिडियन तल के एक बिंदु के कार्तीय निर्देशांक के रूप में की जा सकती है। एक रैखिक समीकरण का हल यूक्लिडियन तल में एक रेखा बनाता हैं, और, इसके विपरीत, प्रत्येक रेखा को दो चरों में एक रैखिक समीकरण के सभी हलो के समुच्चय के रूप में देखा जा सकता है। इस प्रकार के समीकरणों का वर्णन करने के लिए यह रैखिक शब्द का मूल है। अधिक सामान्यतः, n चर में एक रैखिक समीकरण के हल n विमा के यूक्लिडियन क्षेत्र में एक ऊनविमसमतल (हाइपरप्लेन) (n − 1 विमा का एक सबस्पेस) बनाते हैं।

आंशिक रूप से, रैखिक समीकरण प्रयाः सभी गणित और भौतिकी और इंजीनियरिंग में उनके अनुप्रयोगों में होते हैं, क्योंकि अरेखीय तंत्र प्रयाः रैखिक समीकरणों द्वारा अनुमानित होते हैं।

यह आलेख वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र से गुणांक वाले एकल समीकरण के मामले पर विचार करता है, जिसके लिए वास्तविक हल का अध्ययन किया जाता है। इसकी सभी सामग्री जटिल हलो पर लागू होती है, और अधिक सामान्यतः, किसी भी क्षेत्र में गुणांक और हल वाले रैखिक समीकरणों के लिए। एक साथ कई रैखिक समीकरणों के मामले में, रैखिक समीकरणों की प्रणाली देखें।

एक चर

एक चर x का एक रैखिक समीकरण $ax+b=0,$ है, जहां a तथा b वास्तविक संख्याएं हैं।

$x=-{\frac {b}{a}}$, x के मूल तथा $a\neq 0$।

दो चर

दो चरों x तथा y का एक रैखिक समीकरण $ax+by+c=0,$ है, जहां a, b तथा c वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार होती हैं कि $a^{2}+b^{2}\neq 0$।

इसके असीम रूप से कई संभावित हल हैं।

रैखिक फलन

यदि b ≠ 0, समीकरण

$ax+by+c=0$

x के प्रत्येक मान के लिए एकल चर y में एक रैखिक समीकरण है, जिसका y के लिए एक विशिष्ट हल दिया गया है।

$y=-{\frac {a}{b}}x-{\frac {c}{b}}.$

यह एक फलन को परिभाषित करता है। इस फलन का आरेख (ग्राफ) ढलान $-{\frac {a}{b}}$ तथा y-अवरोध $-{\frac {c}{b}}.$ वाली एक रेखा है, सामान्यतः वे फलन जिनका आरेख (ग्राफ) एक रेखा होती है, गणना के संदर्भ में रैखिक फलन कहलाते हैं। हालांकि, रैखिक बीजगणित में, एक रैखिक फलन एक ऐसा फलन होता है जो योग को योगखंड की छवियों के योग के लिए मैप करता है। अत: इस परिभाषा के लिए, उपरोक्त फलन केवल तभी रैखिक होता है जब c = 0 हो, अर्थात जब रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है। अस्पष्टता से बचने के लिए, जिन फलन का आरेख (ग्राफ) एक स्वेच्छाचारी रेखा है, उन्हें सामान्यतः सजातीय फलन कहा जाता है।

ज्यामितीय व्याख्या

एक रैखिक समीकरण का प्रत्येक हल (x, y)

$ax+by+c=0$

यूक्लिडियन तल में एक बिंदु के कार्तीय निर्देशांक के रूप में देखा जा सकता है। इस व्याख्या के साथ, समीकरण के सभी हल एक रेखा बनाते हैं, बशर्ते कि a और b दोनों शून्य न हों। इसके विपरीत, प्रत्येक रेखा एक रैखिक समीकरण के सभी हलों का समुच्चय है।

वाक्यांश "रैखिक समीकरण" रेखाओ और समीकरणों के बीच इस संवाद में अपना मूल लेता है। दो चर के एक रैखिक समीकरण का हल एक रेखा बनाता है।

यदि b ≠ 0 है, तो रेखा x के फलन का आरेख (ग्राफ) है, जिसे पिछले भाग में परिभाषित किया गया है। यदि b = 0 है, तो रेखा समीकरण x = - c/a की एक उर्ध्वाधर रेखा है (जो कि y अक्ष के समानांतर एक रेखा है), जो x के फलन का आरेख (ग्राफ) नहीं है।

इसी प्रकार, यदि a ≠ 0, रेखा y के एक फलन का आरेख (ग्राफ) है, और, यदि a = 0, तो समीकरण y = - c/b की एक क्षैतिज रेखा होती है।

एक रेखा का समीकरण

एक रेखा को परिभाषित करने के कई तरीके हैं। निम्नलिखित उपखंडों में प्रत्येक स्थिति में रेखा का एक रैखिक समीकरण दिया गया है।

ढलान-अवरोधन रूप या ढाल-अवरोधन रूप

एक अनूर्ध्वाधरत रेखा को इसके ढलान एम (m) और इसके y-अवरोधन को y0 (y-अक्ष के साथ इसके प्रतिच्छेदन का y निर्देशांक) द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। इस स्थिति में इसका रैखिक समीकरण कुछ इस प्रकार लिखा जा सकता है।

बराबर की खड़ी रेखा

$y=mx+y_{0}.$

यदि रेखा ऊर्ध्वाधर तथा क्षैतिज नहीं है, तो इसे इसके ढलान और x-अवरोधन को x₀ द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। इस स्थिति में, इसका समीकरण कुछ इस प्रकार लिखा जा सकता है।

$y=m(x-x_{0}),$

या, समान रूप से,

$y=mx-mx_{0}.$

ये रूप एक अनूर्ध्वाधरत रेखा को एक फलन के आरेख (ग्राफ) के रूप में मानने की आदत पर निर्भर करते हैं। समीकरण द्वारा दी गई रेखा के लिए

$ax+by+c=0,$

इन रूपों को संबंधों से आसानी से निकाला जा सकता है।

${\begin{aligned}m&=-{\frac {a}{b}},\\x_{0}&=-{\frac {c}{a}},\\y_{0}&=-{\frac {c}{b}}.\end{aligned}}$

बिंदु-ढलान रूप या बिंदु-ढाल रूप

एक गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा को इसके ढलान द्वारा परिभाषित किया जा सकता है m, और निर्देशांक $x_{1},y_{1}$ रेखा के किसी भी बिंदु पर। इस स्थिति में, रेखा का एक रैखिक समीकरण है

$y=y_{1}+m(x-x_{1}),$

या

$y=mx+y_{1}-mx_{1}.$

यह समीकरण भी लिखा जा सकता है

$y-y_{1}=m(x-x_{1})$

इस बात पर बल देने के लिए कि किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देशांकों से एक रेखा की ढलान की गणना की जा सकती है।

अवरोधन रूप

एक रेखा जो एक अक्ष के समानांतर नहीं है और मूल बिंदु से नहीं गुजरती है, कुल्हाड़ियों को दो अलग-अलग बिंदुओं में काटती है। अवरोधन मान x₀ तथा {गणित|य₀}} इन दो बिंदुओं में से शून्येतर हैं, और रेखा का एक समीकरण है:${\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1.$ (यह सत्यापित करना आसान है कि इस समीकरण द्वारा परिभाषित रेखा में है x₀ तथा {गणित|य₀}} अवरोधन मान के रूप में)।

दो सूत्री रूप

दो अलग-अलग बिंदुओं को देखते हुए (x₁, यू₁) तथा {गणित|(x₂, यू₂)}}, उनसे होकर गुजरने वाली ठीक एक रेखा है। इस रेखा के रैखिक समीकरण को लिखने के कई तरीके हैं।

यदि x₁ एक्स₂, रेखा का ढलान है ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$ इस प्रकार, एक बिंदु-ढलान रूप है:$y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1}).$ हरों को साफ़ करने से, समीकरण प्राप्त होता है

$(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0,$

जो तब भी मान्य है जब x₁ = एक्स₂ (इसे सत्यापित करने के लिए, यह सत्यापित करना पर्याप्त है कि दिए गए दो बिंदु समीकरण को संतुष्ट करते हैं)।

यह रूप दिए गए दो बिंदुओं में सममित नहीं है, लेकिन स्थिर पदों को फिर से समूहित करके एक सममित रूप प्राप्त किया जा सकता है:

$(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$

(दो बिंदुओं के आदान-प्रदान से समीकरण के बाईं ओर का चिन्ह बदल जाता है)।

निर्धारक रूप

एक रेखा के समीकरण के दो-बिंदु रूप को केवल एक सारणिक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उसके लिए दो सामान्य तरीके हैं।

समीकरण $(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0$ समीकरण में सारणिक के विस्तार का परिणाम है

${\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\end{vmatrix}}=0.$

समीकरण $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$ समीकरण में निर्धारक अपनी पहली पंक्ति के संबंध में विस्तार करके प्राप्त किया जा सकता है

${\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0.$

बहुत ही सरल और स्मरक होने के अलावा, इस रूप में एक हाइपरप्लेन के अधिक सामान्य समीकरण का एक विशेष मामला होने का लाभ होता है। n आयाम की जगह में अंक n – 1. ये समीकरण प्रक्षेप्य स्थान में बिंदुओं की रैखिक निर्भरता की स्थिति पर निर्भर करते हैं।

दो से अधिक चर

दो से अधिक चरों वाले एक रैखिक समीकरण को हमेशा के रूप में माना जा सकता है

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0.$

गुणांक b, अक्सर निरूपित a₀ को स्थिर पद कहा जाता है (कभी-कभी पुरानी किताबों में निरपेक्ष पद) संदर्भ के आधार पर, गुणांक शब्द को के लिए आरक्षित किया जा सकता है a_i साथ {गणित|i> 0}}।

व्यवहार करते समय $n=3$ चर, इसका उपयोग करना आम है $x,\;y$ तथा $z$ अनुक्रमित चर के बजाय।

ऐसे समीकरण का एक हल है a n-टुपल्स जैसे कि टपल के प्रत्येक तत्व को संबंधित चर के लिए प्रतिस्थापित करना समीकरण को एक वास्तविक समानता में बदल देता है।

एक समीकरण के अर्थपूर्ण होने के लिए, कम से कम एक चर का गुणांक गैर-शून्य होना चाहिए। वास्तव में, यदि प्रत्येक चर का एक शून्य गुणांक है, तो, जैसा कि एक चर के लिए उल्लेख किया गया है, समीकरण या तो असंगत है (के लिए .) b ≠ 0) कोई समाधान नहीं होने के कारण, या सभी n-टुपल्स समाधान हैं।

{mvar|n}}-tuples जो एक रैखिक समीकरण के समाधान हैं n चर an . के बिंदुओं के कार्तीय निर्देशांक हैं {गणित|(n − 1)}}-विमीय हाइपरप्लेन in an n-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस (या एफाइन स्पेस अगर गुणांक कॉम्प्लेक्स नंबर हैं या किसी फील्ड से संबंधित हैं)। तीन चर के मामले में, यह हाइपरप्लेन एक विमान है।

यदि के साथ एक रैखिक समीकरण दिया जाता है {गणित|ए_j ≠ 0}}, तो समीकरण को हल किया जा सकता है x_j, उपज

$x_{j}=-{\frac {b}{a_{j}}}-\sum _{i\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}{\frac {a_{i}}{a_{j}}}x_{i}.$

यदि गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, तो यह एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन को परिभाषित करता है n वास्तविक चर।

यह भी देखें

• एक वलय पर रैखिक समीकरण
• बीजीय समीकरण
• रैखिक असमानता
• अरेखीय समीकरण

संदर्भ

• Barnett, R.A.; Ziegler, M.R.; Byleen, K.E. (2008), College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences and the Social Sciences (11th ed.), Upper Saddle River, N.J.: Pearson, ISBN 978-0-13-157225-6
• Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precalculus:A Concise Course, Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-62719-6
• Wilson, W.A.; Tracey, J.I. (1925), Analytic Geometry (revised ed.), D.C. Heath

बाहरी संबंध

• "Linear equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]