गोलाकार शंकु
गणित में, एक गोलाकार शंकु या गोलाकार-शंकु गोले पर एक वक्र होता है, जो एक संकेंद्रित अण्डाकार शंकु के साथ गोले का प्रतिच्छेदन होता है। यह समतल में एक शंकु खंड (दीर्घवृत्त,परवलय या अतिशयोक्ति ) का गोलाकार एनालॉग है, और जैसा कि समतल स्थितियों में है, एक गोलाकार शंकु को उन बिंदुओं के स्थान (गणित) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिनके महान- दो फोकस (ज्यामिति) के लिए वृत्त की दूरी स्थिर है।[1]प्रतिव्यासांत बिंदु को एक फोकस पर ले जाने से, प्रत्येक गोलाकार दीर्घवृत्त भी एक गोलाकार अतिपरवलय होता है, और इसके विपरीत होता है। अंतरिक्ष वक्र के रूप में, एक गोलाकार शंकु एक चतुर्थक समारोह है, चूंकि तीन प्रिंसिपल अक्ष प्रमेय में इसके ऑर्थोगोनल अनुमान प्लानर शंकु हैं। तलीय शांकवों की प्रकार, गोलीय शांकव भी एक परावर्तन गुण को संतुष्ट करते हैं: शंक्वाकार के किसी भी बिंदु पर दो नाभियों से वृहत-वृत्त चापों में स्पर्शरेखा होती है और उस बिंदु पर शंकु के अभिलम्ब उनके कोण समद्विभाजक होते हैं।
समतल में शांकवों के बारे में कई प्रमेय गोलाकार शंकुओं तक विस्तारित होते हैं। उदाहरण के लिए, कंफोकल शंकुओं के बारे में ग्रेव्स की प्रमेय और आइवरी की प्रमेय को भी गोले पर सिद्ध किया जा सकता है; योजनाकर्ता संस्करणों के बारे में कॉन्फोकल शांकव खंड देखें गए है।[2]
जैसे दीर्घवृत्त चाप की लंबाई दूसरे प्रकार के अपूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकलन के लिए दी जाती है, वैसे ही गोलाकार शंकु की चाप लंबाई तीसरी प्रकार के अपूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकल के लिए दी जाती है।[3]
संकेंद्रित क्षेत्रों और द्विघात शंकुओं के आधार पर यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक ऑर्थोगोनल निर्देशांक को शंक्वाकार निर्देशांक या गोलाकार-शंक्वाकार समन्वय प्रणाली कहा जाता है। जब एक गोले की सतह तक सीमित किया जाता है, तो शेष निर्देशांक कन्फोकल गोलाकार शांकव होते हैं। कभी-कभी इसे समतल दीर्घवृत्त समन्वय प्रणाली के अनुरूप, गोले पर एक दीर्घवृत्तीय समन्वय प्रणाली कहा जाता है। इस प्रकार के निर्देशांक का उपयोग गोले से समतल तक के अनुरूप मानचित्रों की गणना में किया जा सकता है।[4]
अनुप्रयोग
समान धनात्मक वक्रता वाले स्थान में केप्लर समस्या का समाधान एक गोलाकार शंकु है, जिसमें जियोडेसिक दूरी के कॉटैंजेंट के संभावित आनुपातिक हैं।[5]
क्योंकि यह निर्दिष्ट बिंदुओं की एक जोड़ी के लिए दूरियों को संरक्षित करता है, दो-बिंदु समदूरस्थ प्रक्षेपण विमान में कॉन्फोकल दीर्घवृत्त और हाइपरबोले के दो परिवारों पर गोले पर कॉन्फोकल शंकु के परिवार को मैप करता है।[6]
यदि पृथ्वी के एक भाग को गोलाकार के रूप में प्रतिरूपित किया जाता है, उदहारण क्रांति के दीर्घवृत्त पर एक बिंदु पर ऑस्कुलेटिंग क्षेत्र का उपयोग करते हुए, अतिशयोक्तिपूर्ण नेविगेशन में उपयोग किए जाने वाले हाइपरबोले (जो निश्चित रेडियो ट्रांसमीटरों से प्राप्त सिग्नल समय में अंतर के आधार पर स्थिति निर्धारित करता है) गोलाकार शांकव हैं।[7]
fटिप्पणियाँ
- ↑ Fuss, Nicolas (1788). "De proprietatibus quibusdam ellipseos in superficie sphaerica descriptae" [On certain properties of ellipses described on a spherical surface]. Nova Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitanae (in Latina). 3: 90–99.
- ↑ Stachel, Hellmuth; Wallner, Johannes (2004). "Ivory's theorem in hyperbolic spaces" (PDF). Siberian Mathematical Journal. 45 (4): 785–794.
- ↑
Gudermann, Christoph (1835). "Integralia elliptica tertiae speciei reducendi methodus simplicior, quae simul ad ipsorum applicationem facillimam et computum numericum expeditum perducit. Sectionum conico–sphaericarum qudratura et rectification" [A simpler method of reducing elliptic integrals of the third kind, providing easy application and convenient numerical computation: Quadrature and rectification of conico-spherical sections]. Crelle's Journal. 14: 169–181.
Booth, James (1844). "IV. On the rectification and quadrature of the spherical ellipse". The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 25 (163): 18–38. doi:10.1080/14786444408644925. - ↑
Guyou, Émile (1887). "Nouveau système de projection de la sphère: Généralisation de la projection de Mercator" [New sphere projection system: Generalization of the Mercator projection]. Annales Hydrographiques. Ser. 2 (in français). 9: 16–35.
Adams, Oscar Sherman (1925). Elliptic functions applied to conformal world maps (PDF). US Government Printing Office. US Coast and Geodetic Survey Special Publication No. 112. - ↑
Higgs, Peter W. (1979). "Dynamical symmetries in a spherical geometry I". Journal of Physics A: Mathematical and General. 12 (3): 309–323. doi:10.1088/0305-4470/12/3/006.
Kozlov, Valery Vasilevich; Harin, Alexander O. (1992). "Kepler's problem in constant curvature spaces". Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 54 (4): 393–399. doi:10.1007/BF00049149.
Cariñena, José F.; Rañada, Manuel F.; Santander, Mariano (2005). "Central potentials on spaces of constant curvature: The Kepler problem on the two-dimensional sphere S2 and the hyperbolic plane H2". Journal of Mathematical Physics. 46 (5): 052702. arXiv:math-ph/0504016. doi:10.1063/1.1893214.
Arnold, Vladimir; Kozlov, Valery Vasilevich; Neishtadt, Anatoly I. (2007). Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics. doi:10.1007/978-3-540-48926-9.
Diacu, Florin (2013). "The curved N-body problem: risks and rewards" (PDF). Mathematical Intelligencer. 35 (3): 24–33. - ↑ Cox, Jacques-François (1946). "The doubly equidistant projection". Bulletin Géodésique. 2 (1): 74–76. doi:10.1007/bf02521618.
संदर्भ
- Chasles, Michel (1831). Mémoire de géométrie sur les propriétés générales des coniqes sphériques [Geometrical memoir on the general properties of spherical conics] (in français). L'Académie de Bruxelles. English edition:
— (1841). Two geometrical memoirs on the general properties of cones of the second degree, and on the spherical conics. Translated by Graves, Charles. Grant and Bolton. - Chasles, Michel (1860). "Résumé d'une théorie des coniques sphériques homofocales" [Summary of a theory of confocal spherical conics]. Comptes rendus de l'Académie des Sciences (in français). 50: 623–633. Republished in Journal de mathématiques pures et appliquées. Ser. 2. 5: 425-454. PDF from mathdoc.fr.
- Glaeser, Georg; Stachel, Hellmuth; Odehnal, Boris (2016). "10.1 Spherical conics". The Universe of Conics: From the ancient Greeks to 21st century developments. Springer. pp. 436–467. doi:10.1007/978-3-662-45450-3_10.
- Izmestiev, Ivan (2019). "Spherical and hyperbolic conics". Eighteen Essays in Non-Euclidean Geometry. European Mathematical Society. pp. 262–320. doi:10.4171/196-1/15.
- Salmon, George (1927). "X. Cones and Sphero-Conics". A Treatise on the Analytic Geometry of Three Dimensions (7th ed.). Chelsea. pp. 249–267.
- Story, William Edward (1882). "On non-Euclidean properties of conics" (PDF). American Journal of Mathematics. 5 (1): 358–381. doi:10.2307/2369551.
- Sykes, Gerrit Smith (1877). "Spherical Conics". Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences. 13: 375–395. doi:10.2307/25138501.
- Tranacher, Harald (2006). Sphärische Kegelschnitte – didaktisch aufbereitet [Spherical conics – didactically prepared] (PDF) (Thesis) (in Deutsch). Technischen Universität Wien.
