नेबरहुड (गणित)

समुच्चय $V$ समतल में (ज्यामिति) एक बिंदु का नेबरहुड है $p$ अगर चारों ओर एक छोटी सी चक्रिका $p$ में निहित है $V.$

संस्थितिविज्ञान और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, नेबरहुड (या प्रतिवैस) एक सांस्थितिक समष्टि में बुनियादी अवधारणाओं में से एक है। यह विविक्त समुच्चय और भीतरी (सांस्थिति) की अवधारणाओं से निकटता से संबंधित है। सहजता से बोलते हुए, एक बिंदु का एक नेबरहुड उस बिंदु से युक्त बिंदुओं का एक सम्मुच्य (गणित) है जहां कोई समुच्चय को छोड़े बिना उस बिंदु से किसी भी दिशा में कुछ राशि ले जा सकता है।

परिभाषाएँ

नेबरहुड ऑफ़  ए पॉइंट

यदि $X$ एक सांस्थितिक समष्टि है और $p$ में एक बिंदु है $X,$ फिर एक प्रतिवैस का $p$ एक उपसमुच्चय है $V$ का $X$ जिसमें एक विविक्त समुच्चय सम्मिलित है $U$ युक्त $p$,

$$p\in U\subseteq V\subseteq X.$$

यह भी बिंदु के बराबर है $p\in X$ आंतरिक (सांस्थिति) से संबंधित आंतरिक बिंदु $V$ में $X.$ नेबरहुड $V$ जरुरत not एक ओपन बनें $X,$ लेकिन जब $V$ में खुला है $X$ तो इसे एक कहा जाता है open neighbourhood. कुछ लेखकों को नेबरहुड के ओपन रहने की आवश्यकता के लिए जाना जाता है, इसलिए सम्मेलनों में ध्यान देना महत्वपूर्ण है।

बंद आयत का उसके किसी भी कोने या उसकी सीमा पर नेबरहुड नहीं होता है।

एक समुच्चय जो इसके प्रत्येक बिंदु का एक नेबरहुड है, खुला है क्योंकि इसे इसके प्रत्येक बिंदु वाले ओपन के संघ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। एक आयत, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, अपने सभी बिंदुओं का नेबरहुड नहीं है; आयत के किनारों या कोनों पर बिंदु आयत के भीतर निहित किसी भी विविक्त में अन्तर्वलित नहीं हैं।

किसी बिंदु के सभी नेबरहुड के संग्रह को बिंदु पर नेबरहुड प्रणाली कहा जाता है।

एक समुच्चय का नेबरहुड

यदि $S$ एक सांस्थितिक समष्टि का उपवर्ग है $X$, फिर नेबरहुड $S$ का एक समुच्चय है $V$ जिसमें एक खुला समुच्चय है $U$ युक्त $S$,

$$S\subseteq U\subseteq V\subseteq X.$$

यह इस प्रकार है कि एक समुच्चय $V$ का नेबरहुड है $S$ यदि और केवल यदि यह सभी बिंदुओं का नेबरहुड है $S.$ आगे, $V$ का नेबरहुड है $S$ अगर और केवल अगर $S$ के आंतरिक (सांस्थिति) का एक उपसमुच्चय है $V.$ का एक नेबरहुड $S$ यह भी एक ओपन है $X$ एक कहा जाता है open neighbourhood का $S.$

एक बिंदु का नेबरहुड इस परिभाषा का एक विशेष स्थिति है।

एक मीट्रिक स्थान में

एक सेट $S$ विमान में और एक समान नेबरहुड $V$ का $S.$

किसी संख्या का एप्सिलॉन नेबरहुड $a$ वास्तविक संख्या रेखा पर।

मात्रिक स्थान में $M=(X,d),$ एक समुच्चय $V$ एक बिंदु का नेबरहुड है $p$ अगर केंद्र $p$ के साथ एक ओपन बॉल उपस्थित है और त्रिज्या $r>0,$ ऐसा कि

$$B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X:d(x,p)<r\}$$

में निहित है $V.$

$V$ एक समुच्चय का एक समान नेबरहुड कहा जाता है $S$ अगर वहाँ एक सकारात्मक संख्या उपस्थित है $r$ ऐसा कि सभी तत्वों के लिए $p$ का $S,$

$$B_{r}(p)=\{x\in X:d(x,p)<r\}$$

में निहित है $V.$ के लिये $r>0,$ $r$-नेबरहुड $S_{r}$ एक समुच्चय का $S$ में सभी बिंदुओं का $X$ समुच्चय है $r$ से $S$ कम दूरी पर हैं (या समकक्ष, $S_{r}$ त्रिज्या की सभी ओपन बॉल का मिलन है $r$ जो एक बिंदु पर केंद्रित होते हैं $S$):

$$S_{r}=\bigcup \limits _{p\in {}S}B_{r}(p).$$

यह सीधे इस प्रकार है कि $r$-नेबरहुड एक समान नेबरहुड है, और यह कि एक सेट एक समान नेबरहुड है यदि और केवल यदि इसमें $r$-नेबरहुड के कुछ मूल्य के लिए $r$ अन्तर्वलित है ।

उदाहरण

समुच्चय M, संख्या a का एक नेबरहुड है, क्योंकि a का ε-नेबरहुड है जो M का उपसमुच्चय है।

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को देखते हुए $\mathbb {R}$ सामान्य यूक्लिडीय मात्रिक और एक उपवर्ग के साथ $V$ के रूप में परिभाषित किया गया है

$$V:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B\left(n\,;\,1/n\right),$$

फिर $V$ प्राकृतिक संख्या $\mathbb {N}$ समुच्चय के लिए एक नेबरहुड है, लेकिन इस समुच्चय का एक समान नेबरहुड नहीं है।

नेबरहुड से टोपोलॉजी

See also: सांस्थिति का निस्यंदन यंत्र, सांस्थितिक समष्टि §  प्रतिवैस परिभाषा, and सांस्थितिक समष्टि § प्रतिवैस के माध्यम से परिभाषा

उपरोक्त परिभाषा उपयोगी है यदि विविक्त की धारणा पहले से ही परिभाषित है। एक सांस्थिति को परिभाषित करने का एक वैकल्पिक तरीका है, पहले नेबरहुड प्रणाली को परिभाषित करके, और फिर उन स्पष्ट सम्मुच्चयों को, जिनमें उनके प्रत्येक बिंदु का नेबरहुड होता है।

$X$ नेबरहुड प्रणाली निस्यंदन का समनुदेशन (सेट सिद्धांत) $N(x)$ के सबसेट का $X$ प्रत्येक के लिए $x$ में $X,$ इस प्रकार है कि

1. बिंदु $x$ प्रत्येक $U$ में $N(x)$ का एक तत्व है
2. प्रत्येक $U$ में $N(x)$ के कुछ $V$ में $N(x)$ ऐसा अंतर्ग्रस्त हैं कि प्रत्येक $y$ में $V,$ $U$ में $N(y)$ है

कोई यह दिखा सकता है कि दोनों परिभाषाएँ संगत हैं, अर्थात्, ओपन सेट का उपयोग करके परिभाषित नेबरहुड प्रणाली से प्राप्त टोपोलॉजी मूल है, और इसके विपरीत जब नेबरहुड प्रणाली से शुरू होती है।

समान नेबरहुड

समान स्थान में $S=(X,\Phi ),$ $V$ को $P$ का एक समान नेबरहुड कहा जाता है यदि कोई परिचर (सांस्थिति) $U\in \Phi$ ऐसे उपस्थित है कि $V$ मे $X$ के सभी बिंदु सम्मिलित हैं जो $U$-बिंदु पर $P$ के संवृत है, $U[x]\subseteq V$ जो सभी के लिए $x\in P$ है।

हटाए गए नेबरहुड

एक बिंदु का हटाया गया नेबरहुड $p$ (कभी-कभी वेधन नेबरहुड कहा जाता है) का नेबरहुड $p,$ है बिना $\{p\}$ उदाहरण के लिए, अंतराल (गणित) $(-1,1)=\{y:-1<y<1\}$ का नेबरहुड है $p=0$ वास्तविक रेखा में, इसलिए समुच्चय $(-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)\setminus \{0\}$ का हटाया गया नेबरहुड $0$ है। किसी दिए गए बिंदु का हटाया गया नेबरहुड वास्तव में बिंदु का नेबरहुड नहीं है। हटाए गए नेबरहुड की अवधारणा एक प्रकार्य की सीमा सांस्थितिक रिक्त स्थान पर और सीमा बिंदुओं की परिभाषा (अन्य चीजों के बीच) में होती है।

यह भी देखें

• सांस्थितिक प्रणाली
• क्षेत्र (गणित)
• नलाकार प्रतिवैस

संदर्भ

• Kelley, John L. (1975). General topology. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
• Bredon, Glen E. (1993). Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
• Kaplansky, Irving (2001). Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2694-8.