हॉसडॉर्फ अधिकतम सिद्धांत

गणित में, हॉसडॉर्फ मैक्सिमल सिद्धांत 1914 में फेलिक्स हॉसडॉर्फ द्वारा सिद्ध किए गए ज़ोर्न के लेम्मा का एक वैकल्पिक और पहले का सूत्रीकरण है (मूर 1982: 168)। यह बताता है कि किसी भी आंशिक क्रम में, प्रत्येक कुल ऑर्डर उपसमुच्चय अधिकतम पूरी तरह से ऑर्डर किए गए उपसमुच्चय में समाहित है।

हॉसडॉर्फ अधिकतम सिद्धांत जेडएफ (ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय थ्योरी विथ द च्वाइस के स्वयंसिद्ध) पर पसंद के स्वयंसिद्ध के सामान्य कई बयानों में से है। इस सिद्धांत को हॉसडॉर्फ अधिकतमता प्रमेय या कुराटोस्की लेम्मा (केली 1955:33) भी कहा जाता है।

कथन

हॉसडॉर्फ मैक्सिमल सिद्धांत कहता है कि, किसी भी आंशिक क्रम में, प्रत्येक कुल ऑर्डर उपसमुच्चय अधिकतम पूरी तरह से ऑर्डर किए गए उपसमुच्चय में समाहित है (एक पूरी तरह से ऑर्डर किया गया उपसमुच्चय, यदि किसी भी तरह से बढ़ाया जाता है, तो पूरी तरह से ऑर्डर नहीं रहता है)। सामान्यतः, दिए गए पूरी तरह से ऑर्डर किए गए उपसमुच्चय वाले कई अधिक से अधिक पूरी तरह से ऑर्डर किए गए उपसमुच्चय हो सकते हैं।

हॉसडॉर्फ अधिकतम सिद्धांत का समकक्ष रूप यह है कि प्रत्येक आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय में अधिकतम पूरी तरह से आदेशित उपसमुच्चय उपस्थित होता है। यह सिद्ध करने के लिए कि यह कथन मूल रूप का अनुसरण करता है, मान लीजिए कि A आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय है। तब $\varnothing$ ए का पूरी तरह से आदेश दिया गया उपसमुच्चय है, इसलिए अधिकतम पूरी तरह से आदेशित उपसमुच्चय उपस्थित है $\varnothing$, इसलिए विशेष रूप से ए में अधिकतम पूरी तरह से आदेशित उपसमुच्चय होता है। उलटी दिशा के लिए, A को आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय और T को A का पूर्ण रूप से क्रमबद्ध उपसमुच्चय होने दें। फिर

$\{S\mid T\subseteq S\subseteq A{\mbox{ and S totally ordered}}\}$

आंशिक रूप से समुच्चय समावेशन द्वारा आदेश दिया गया है $\subseteq$, इसलिए इसमें अधिकतम पूरी तरह से आदेशित उपसमुच्चय P है। फिर समुच्चय $P$ वांछित गुणों को संतुष्ट करता है।

इस सबूत के समान ही है कि हौसडॉर्फ अधिकतम सिद्धांत ज़ोर्न के लेम्मा के सामान्य है।

उदाहरण

यदि A समुच्चय का कोई संग्रह है, तो संबंध A पर सख्त आंशिक क्रम का उचित उपसमुच्चय है। मान लीजिए कि A विमान में सभी गोलाकार क्षेत्रों (वृत्तों के आंतरिक भाग) का संग्रह है। ए के अधिकतम पूरी तरह से आदेशित उप-संग्रह में मूल रूप से केंद्रों के साथ सभी गोलाकार क्षेत्र होते हैं। एक और अधिक से अधिक पूरी तरह से आदेशित उप-संग्रह में सभी वृत्ताकार क्षेत्र होते हैं जो मूल में दाईं ओर से y-अक्ष तक स्पर्शरेखा से घिरे होते हैं।

यदि (x₀, y₀) और (x₁, y₁) समतल ℝ² के दो बिंदु हैं, परिभाषित करें (x₀, y₀) < (x₁, y₁) यदि y₀ = y₁ and x₀ < x₁. यह ℝ² का आंशिक क्रम है जिसके अनुसार दो बिंदुओं की तुलना तभी की जा सकती है जब वे एक ही क्षैतिज रेखा पर स्थित हों। अधिकतम पूरी तरह से आदेशित समुच्चय ℝ² में क्षैतिज रेखाएँ हैं

संदर्भ

• John Kelley (1955), General topology, Von Nostrand.
• Gregory Moore (1982), Zermelo's axiom of choice, Springer.
• James Munkres (2000), Topology, Pearson.