अवस्था संक्रमण आव्यूह

नियंत्रण सिद्धांत में, अवस्था संक्रमण आव्यूह एक आव्यूह है जिसका गुणन फल अवस्था वेक्टर के साथ होता है प्रारंभिक समय में $x$ $t_{0}$ देता है $x$ बाद के समय में $t$ . अवस्था-संक्रमण आव्यूह का उपयोग रैखिक गतिशील प्रणालियों का सामान्य समाधान प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।

रैखिक प्रणाली समाधान

अवस्था-संक्रमण आव्यूह का उपयोग निम्नलिखित रूप में एक रैखिक प्रणाली के सामान्य अवस्था-संक्रमण प्रतिनिधित्व का समाधान खोजने के लिए किया जाता है

{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t),\;\mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}

,

जहाँ $\mathbf {x} (t)$ प्रणाली की स्थितियाँ हैं, $\mathbf {u} (t)$ निविष्ट संकेत है, $\mathbf {A} (t)$ और $\mathbf {B} (t)$ आव्यूह फ़ंक्शन हैं, और $\mathbf {x} _{0}$ पर $t_{0}$ प्रारंभिक स्थिति है . $\mathbf {\Phi } (t,\tau )$ अवस्था-संक्रमण आव्यूह का उपयोग करना , समाधान इस प्रकार दिया गया है:^[1]^[2]

\mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {B} (\tau )\mathbf {u} (\tau )d\tau

पहले शब्द को शून्य-निविष्ट प्रतिक्रिया के रूप में जाना जाता है और यह दर्शाता है कि किसी भी निविष्ट के अभाव में प्रणाली की स्थिति कैसे विकसित होगी। दूसरे शब्द को शून्य-स्थिति प्रतिक्रिया के रूप में जाना जाता है और यह परिभाषित करता है कि निविष्ट प्रणाली को कैसे प्रभावित करते हैं।

पीनो-बेकर श्रृंखला

सबसे सामान्य संक्रमण आव्यूह पीनो-बेकर श्रृंखला द्वारा दिया गया है

\mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {I} +\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\int _{\tau }^{\sigma _{2}}\mathbf {A} (\sigma _{3})\,d\sigma _{3}\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+...

जहाँ $\mathbf {I}$ पहचान आव्यूह है. यह आव्यूह समान रूप से और पूरी तरह से एक ऐसे समाधान में परिवर्तित होता है जो मौजूद है और अद्वितीय है।^[2]

अन्य गुण

अवस्था संक्रमण आव्यूह $\mathbf {\Phi }$ निम्नलिखित रिश्तों को संतुष्ट करता है:

1. यह सतत है और इसके निरंतर व्युत्पन्न हैं।

2, यह कभी एकवचन नहीं होता; वास्तव में $\mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )=\mathbf {\Phi } (\tau ,t)$ और $\mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )\mathbf {\Phi } (t,\tau )=I$ , जहाँ $I$ पहचान आव्यूह है.

3. सभी $t$ के लिए $\mathbf {\Phi } (t,t)=I$ .^[3]

4. सभी $t_{0}\leq t_{1}\leq t_{2}$ के लिए $\mathbf {\Phi } (t_{2},t_{1})\mathbf {\Phi } (t_{1},t_{0})=\mathbf {\Phi } (t_{2},t_{0})$ .

5. यह अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है ${\frac {\partial \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}{\partial t}}=\mathbf {A} (t)\mathbf {\Phi } (t,t_{0})$ प्रारंभिक शर्तों $\mathbf {\Phi } (t_{0},t_{0})=I$ के साथ .

6. अवस्था-संक्रमण आव्यूह $\mathbf {\Phi } (t,\tau )$ , द्वारा दिए गए

\mathbf {\Phi } (t,\tau )\equiv \mathbf {U} (t)\mathbf {U} ^{-1}(\tau )

जहां $n\times n$ आव्यूह $\mathbf {U} (t)$ मौलिक आव्यूह (रैखिक अंतर समीकरण) है जो संतुष्ट करता है

{\dot {\mathbf {U} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {U} (t)

प्रारंभिक शर्त के साथ

\mathbf {U} (t_{0})=I

.

7. अवस्था को देखते हुए $\mathbf {x} (\tau )$ किसी भी समय $\tau$ , किसी अन्य समय में अवस्था $t$ मैपिंग द्वारा दिया गया है

\mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {x} (\tau )