बिंदु प्रक्रिया

सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में, एक बिंदु प्रक्रिया या बिंदु क्षेत्र बिंदु (गणित) का एक संग्रह है जो गणितीय स्थान जैसे वास्तविक रेखा या यूक्लिडियन स्थान पर यादृच्छिक रूप से स्थित होता है। स्थानिक डेटा विश्लेषण के लिए बिंदु प्रक्रियाओं का उपयोग किया जा सकता है, जो वानिकी, पादप पारिस्थितिकी, महामारी विज्ञान, भूगोल, भूकंप विज्ञान, सामग्री विज्ञान, खगोल विज्ञान, दूरसंचार, कम्प्यूटेशनल तंत्रिका विज्ञान जैसे विविध विषयों में रुचि रखता है। अर्थशास्त्र और दूसरे।

किसी बिंदु प्रक्रिया की विभिन्न गणितीय व्याख्याएँ होती हैं, जैसे यादृच्छिक गिनती माप या यादृच्छिक सेट। कुछ लेखक एक बिंदु प्रक्रिया और स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को दो अलग-अलग वस्तुओं के रूप में मानते हैं जैसे कि एक बिंदु प्रक्रिया एक यादृच्छिक वस्तु है जो स्टोकेस्टिक प्रक्रिया से उत्पन्न होती है या उससे जुड़ी होती है, हालाँकि यह टिप्पणी की गई है कि बिंदु प्रक्रियाओं और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के बीच अंतर स्पष्ट नहीं है।अन्य लोग एक बिंदु प्रक्रिया को स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के रूप में मानते हैं, जहां प्रक्रिया को अंतर्निहित स्थान के सेट द्वारा अनुक्रमित किया जाता है जिस पर इसे परिभाषित किया गया है, जैसे वास्तविक रेखा या $n$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष. बिंदु प्रक्रियाओं के सिद्धांत में अन्य स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं जैसे नवीकरण और गिनती प्रक्रियाओं का अध्ययन किया जाता है।कभी-कभी बिंदु प्रक्रिया शब्द को प्राथमिकता नहीं दी जाती है, क्योंकि ऐतिहासिक रूप से प्रक्रिया शब्द समय में किसी प्रणाली के विकास को दर्शाता है, इसलिए बिंदु प्रक्रिया को यादृच्छिक बिंदु क्षेत्र भी कहा जाता है। वास्तविक रेखा पर बिंदु प्रक्रियाएं एक महत्वपूर्ण विशेष मामला बनाती हैं जिसका अध्ययन विशेष रूप से किया जा सकता है, क्योंकि बिंदुओं को प्राकृतिक तरीके से क्रमबद्ध किया जाता है, और संपूर्ण बिंदु प्रक्रिया को बिंदुओं के बीच (यादृच्छिक) अंतराल द्वारा पूरी तरह से वर्णित किया जा सकता है। इन बिंदु प्रक्रियाओं को अक्सर समय में यादृच्छिक घटनाओं के लिए मॉडल के रूप में उपयोग किया जाता है, जैसे कतार में ग्राहकों का आगमन (कतार सिद्धांत), न्यूरॉन में आवेगों (कम्प्यूटेशनल तंत्रिका विज्ञान ), गीगर काउंटर में कण, रेडियो स्टेशनों का स्थान दूरसंचार नेटवर्क या विश्वव्यापी वेब पर खोजों का।

सामान्य बिंदु प्रक्रिया सिद्धांत

गणित में, एक बिंदु प्रक्रिया एक यादृच्छिक तत्व है जिसका मान एक सेट (गणित) एस पर बिंदु पैटर्न हैं। जबकि सटीक गणितीय परिभाषा में एक बिंदु पैटर्न को स्थानीय रूप से परिमित माप गिनती माप के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है, यह अधिक लागू उद्देश्यों के लिए पर्याप्त है एक बिंदु पैटर्न को S के गणनीय सेट उपसमुच्चय के रूप में सोचें जिसमें कोई सीमा बिंदु नहीं है।

परिभाषा

सामान्य बिंदु प्रक्रियाओं को परिभाषित करने के लिए, हम एक संभाव्यता स्थान से शुरू करते हैं $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$, और एक मापने योग्य स्थान $(S,{\mathcal {S}})$ कहाँ $S$ स्थानीय रूप से सघन स्थान है द्वितीय-गणनीय स्थान हॉसडॉर्फ स्थान और ${\mathcal {S}}$ क्या ऐसी बात है बोरेल सिग्मा-बीजगणित|बोरेल σ-बीजगणित। अब एक पूर्णांक-मूल्यवान स्थानीय रूप से परिमित कर्नेल पर विचार करें $\xi$ से $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ में $(S,{\mathcal {S}})$, वह है, एक मानचित्रण $\Omega \times {\mathcal {S}}\mapsto \mathbb {Z} _{+}$ ऐसा है कि:

1. हरएक के लिए $\omega \in \Omega$, $\xi (\omega ,\cdot )$ पर एक स्थानीय रूप से सीमित उपाय है $S$.
2. हरएक के लिए $B\in {\mathcal {S}}$, $\xi (\cdot ,B):\Omega \mapsto \mathbb {Z} _{+}$ एक यादृच्छिक चर है $\mathbb {Z} _{+}$.

यह कर्नेल एक यादृच्छिक माप को निम्नलिखित तरीके से परिभाषित करता है। हम सोचना चाहेंगे $\xi$ एक मैपिंग को परिभाषित करने के रूप में जो मैप करता है $\omega \in \Omega$ एक उपाय के लिए $\xi _{\omega }\in {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})$ (अर्थात्, $\Omega \mapsto {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})$), कहाँ ${\mathcal {M}}({\mathcal {S}})$ सभी स्थानीय रूप से परिमित उपायों का समुच्चय है $S$. अब, इस मानचित्रण को मापने योग्य बनाने के लिए, हमें परिभाषित करने की आवश्यकता है $\sigma$-फ़ील्ड ओवर ${\mathcal {M}}({\mathcal {S}})$. यह $\sigma$-फ़ील्ड का निर्माण न्यूनतम बीजगणित के रूप में किया गया है ताकि प्रपत्र के सभी मूल्यांकन मानचित्र $\pi _{B}:\mu \mapsto \mu (B)$, कहाँ $B\in {\mathcal {S}}$ अपेक्षाकृत सघन उपसमुच्चय है, मापने योग्य हैं. इससे सुसज्जित $\sigma$-फ़ील्ड, फिर $\xi$ एक यादृच्छिक तत्व है, जहां हर किसी के लिए $\omega \in \Omega$, $\xi _{\omega }$ एक स्थानीय रूप से सीमित माप है $S$.

अब, एक बिंदु प्रक्रिया द्वारा $S$ हमारा मतलब बस एक पूर्णांक-मूल्यवान यादृच्छिक माप (या समकक्ष, पूर्णांक-मूल्यवान) है कर्नेल) $\xi$ उपरोक्तानुसार निर्मित। स्टेट स्पेस S के लिए सबसे आम उदाहरण यूक्लिडियन स्पेस 'R' हैⁿ या उसका एक उपसमुच्चय, जहां एक विशेष रूप से दिलचस्प विशेष मामला वास्तविक अर्ध-पंक्ति [0,∞) द्वारा दिया जाता है। हालाँकि, बिंदु प्रक्रियाएँ इन उदाहरणों तक सीमित नहीं हैं और अन्य चीजों के अलावा इसका उपयोग तब भी किया जा सकता है जब बिंदु स्वयं 'आर' के कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय हों।ⁿ, जिस स्थिति में ξ को आमतौर पर एक कण प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है।

यह नोट किया गया है कि यदि S वास्तविक रेखा का उपसमुच्चय नहीं है, तो बिंदु प्रक्रिया शब्द बहुत अच्छा नहीं है, क्योंकि यह सुझाव दे सकता है कि ξ एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है। हालाँकि, यह शब्द सामान्य मामले में भी अच्छी तरह से स्थापित और निर्विरोध है।

प्रतिनिधित्व

एक बिंदु प्रक्रिया के प्रत्येक उदाहरण (या घटना) को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

$\xi =\sum _{i=1}^{n}\delta _{X_{i}},$

कहाँ $\delta$ डिराक माप को दर्शाता है, n एक पूर्णांक-मूल्यवान यादृच्छिक चर है और $X_{i}$ एस के यादृच्छिक तत्व हैं यदि $X_{i}$ये लगभग निश्चित रूप से भिन्न हैं (या समकक्ष, लगभग निश्चित रूप से $\xi (x)\leq 1$ सभी के लिए $x\in \mathbb {R} ^{d}$), तो बिंदु प्रक्रिया को सरल बिंदु प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है।

किसी घटना का एक और अलग लेकिन उपयोगी प्रतिनिधित्व (घटना स्थान में एक घटना, यानी अंकों की एक श्रृंखला) गिनती संकेतन है, जहां प्रत्येक उदाहरण को एक के रूप में दर्शाया जाता है $N(t)$ फ़ंक्शन, एक सतत फ़ंक्शन जो पूर्णांक मान लेता है: $N:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {Z} _{0}^{+}}$:

$N(t_{1},t_{2})=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\xi (t)\,dt$

जो अवलोकन अंतराल में घटनाओं की संख्या है $(t_{1},t_{2}]$. इसे कभी-कभी द्वारा दर्शाया जाता है $N_{t_{1},t_{2}}$, और $N_{T}$ या $N(T)$ अर्थ $N_{0,T}$.

उम्मीद माप

Main article: Intensity measure

एक बिंदु प्रक्रिया ξ की अपेक्षा माप Eξ (माध्य माप के रूप में भी जाना जाता है) S पर एक माप है जो S के प्रत्येक बोरेल उपसमुच्चय B को B में ξ के अंकों की अपेक्षित संख्या निर्दिष्ट करता है।

$E\xi (B):=E{\bigl (}\xi (B){\bigr )}\quad {\text{for every }}B\in {\mathcal {B}}.$

लाप्लास कार्यात्मक

लाप्लास कार्यात्मक $\Psi _{N}(f)$ एक बिंदु प्रक्रिया का N एक है एन के राज्य स्थान पर सभी सकारात्मक मूल्यवान कार्यों एफ के सेट से मानचित्र $[0,\infty )$ इस प्रकार परिभाषित:

$\Psi _{N}(f)=E[\exp(-N(f))]$

वे यादृच्छिक चर के लिए विशेषता फ़ंक्शन (संभावना सिद्धांत) के समान भूमिका निभाते हैं। एक महत्वपूर्ण प्रमेय कहता है कि: दो बिंदु प्रक्रियाओं में एक ही कानून होता है यदि उनके लाप्लास फ़ंक्शन बराबर होते हैं।

क्षण माप

Main article: Moment measure

$n$एक बिंदु प्रक्रिया की th>th शक्ति, $\xi ^{n},$ उत्पाद स्थान पर परिभाषित किया गया है $S^{n}$ निम्नलिखित नुसार :

$\xi ^{n}(A_{1}\times \cdots \times A_{n})=\prod _{i=1}^{n}\xi (A_{i})$

मोनोटोन वर्ग प्रमेय द्वारा, यह विशिष्ट रूप से उत्पाद माप को परिभाषित करता है $(S^{n},B(S^{n})).$ अपेक्षा $E\xi ^{n}(\cdot )$ कहा जाता है

$n$ वें क्षण माप. पहला क्षण माप माध्य माप है।

होने देना $S=\mathbb {R} ^{d}$ . एक बिंदु प्रक्रिया की संयुक्त तीव्रता $\xi$ w.r.t. लेबेस्ग्यू माप कार्य हैं $\rho ^{(k)}:(\mathbb {R} ^{d})^{k}\to [0,\infty )$ ऐसा कि किसी भी असंयुक्त परिबद्ध बोरेल उपसमुच्चय के लिए $B_{1},\ldots ,B_{k}$

$E\left(\prod _{i}\xi (B_{i})\right)=\int _{B_{1}\times \cdots \times B_{k}}\rho ^{(k)}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,dx_{1}\cdots dx_{k}.$

बिंदु प्रक्रियाओं के लिए संयुक्त तीव्रताएँ हमेशा मौजूद नहीं होती हैं। यह देखते हुए कि एक यादृच्छिक चर का क्षण (गणित) कई मामलों में यादृच्छिक चर निर्धारित करता है, संयुक्त तीव्रता के लिए एक समान परिणाम की उम्मीद की जाती है। दरअसल, ऐसा कई मामलों में दिखाया गया है।

स्थिरता

एक बिंदु प्रक्रिया $\xi \subset \mathbb {R} ^{d}$ यदि स्थिर कहा जाता है $\xi +x:=\sum _{i=1}^{N}\delta _{X_{i}+x}$ के समान वितरण है $\xi$ सभी के लिए $x\in \mathbb {R} ^{d}.$ एक स्थिर बिंदु प्रक्रिया के लिए, माध्य माप $E\xi (\cdot )=\lambda \|\cdot \|$ कुछ स्थिरांक के लिए $\lambda \geq 0$ और कहाँ $\|\cdot \|$ लेब्सगेग माप के लिए खड़ा है। यह $\lambda$ बिन्दु प्रक्रिया की तीव्रता कहलाती है। एक स्थिर बिंदु प्रक्रिया चालू $\mathbb {R} ^{d}$ इसमें लगभग निश्चित रूप से या तो 0 या कुल अंकों की अनंत संख्या है। स्थिर बिंदु प्रक्रियाओं और यादृच्छिक माप के बारे में अधिक जानकारी के लिए डेली और वेरे-जोन्स का अध्याय 12 देखें।स्थिरता को अधिक सामान्य स्थानों में बिंदु प्रक्रियाओं के लिए परिभाषित और अध्ययन किया गया है $\mathbb {R} ^{d}$.

बिंदु प्रक्रियाओं के उदाहरण

हम बिंदु प्रक्रियाओं के कुछ उदाहरण देखेंगे $\mathbb {R} ^{d}.$

पॉइसन बिंदु प्रक्रिया

Main article: Poisson point process

बिंदु प्रक्रिया का सबसे सरल और सबसे सर्वव्यापी उदाहरण पॉइसन बिंदु प्रक्रिया है, जो पॉइसन प्रक्रिया का एक स्थानिक सामान्यीकरण है। रेखा पर एक पॉइसन (गिनती) प्रक्रिया को दो गुणों द्वारा चित्रित किया जा सकता है: असंयुक्त अंतरालों में बिंदुओं (या घटनाओं) की संख्या स्वतंत्र होती है और एक पॉइसन वितरण होता है। इन दो गुणों का उपयोग करके एक पॉइसन बिंदु प्रक्रिया को भी परिभाषित किया जा सकता है। अर्थात्, हम कहते हैं कि एक बिंदु प्रक्रिया $\xi$ यदि निम्नलिखित दो शर्तें लागू होती हैं तो यह एक पॉइसन बिंदु प्रक्रिया है

1) $\xi (B_{1}),\ldots ,\xi (B_{n})$ असंयुक्त उपसमुच्चय के लिए स्वतंत्र हैं $B_{1},\ldots ,B_{n}.$ 2) किसी भी परिबद्ध उपसमुच्चय के लिए $B$, $\xi (B)$ पैरामीटर के साथ पॉइसन वितरण है $\lambda \|B\|,$ कहाँ $\|\cdot \|$ लेब्सग्यू माप को दर्शाता है।

दोनों शर्तों को मिलाकर इस प्रकार लिखा जा सकता है: किसी भी असंयुक्त परिबद्ध उपसमुच्चय के लिए $B_{1},\ldots ,B_{n}$ और गैर-नकारात्मक पूर्णांक $k_{1},\ldots ,k_{n}$ हमारे पास वह है

$\Pr[\xi (B_{i})=k_{i},1\leq i\leq n]=\prod _{i}e^{-\lambda \|B_{i}\|}{\frac {(\lambda \|B_{i}\|)^{k_{i}}}{k_{i}!}}.$

अटल $\lambda$ पॉइसन बिंदु प्रक्रिया की तीव्रता कहलाती है। ध्यान दें कि पॉइसन बिंदु प्रक्रिया एकल पैरामीटर द्वारा विशेषता है $\lambda .$ यह एक सरल, स्थिर बिंदु प्रक्रिया है. अधिक विशिष्ट होने के लिए उपरोक्त बिंदु प्रक्रिया को एक सजातीय पॉइसन बिंदु प्रक्रिया कहा जाता है। एक अमानवीय पॉइसन प्रक्रिया को उपरोक्त के रूप में परिभाषित किया गया है, लेकिन प्रतिस्थापित करके $\lambda \|B\|$ साथ $\int _{B}\lambda (x)\,dx$ कहाँ $\lambda$ पर एक गैर-नकारात्मक कार्य है $\mathbb {R} ^{d}.$

कॉक्स पॉइंट प्रक्रिया

एक कॉक्स प्रक्रिया (डेविड कॉक्स (सांख्यिकीविद्) के नाम पर) पॉइसन बिंदु प्रक्रिया का एक सामान्यीकरण है, जिसमें हम इसके स्थान पर यादृच्छिक उपायों का उपयोग करते हैं $\lambda \|B\|$. अधिक औपचारिक रूप से, आइए $\Lambda$ एक यादृच्छिक उपाय हो. यादृच्छिक माप द्वारा संचालित एक कॉक्स बिंदु प्रक्रिया $\Lambda$ बिंदु प्रक्रिया है $\xi$ निम्नलिखित दो गुणों के साथ:

1. दिया गया $\Lambda (\cdot )$, $\xi (B)$ पॉइसन को पैरामीटर के साथ वितरित किया जाता है $\Lambda (B)$ किसी भी परिबद्ध उपसमुच्चय के लिए $B.$
2. असंयुक्त उपसमुच्चय के किसी भी सीमित संग्रह के लिए $B_{1},\ldots ,B_{n}$ और वातानुकूलित किया गया $\Lambda (B_{1}),\ldots ,\Lambda (B_{n}),$ हमारे पास वह है $\xi (B_{1}),\ldots ,\xi (B_{n})$ स्वतंत्र हैं.

यह देखना आसान है कि पॉइसन बिंदु प्रक्रिया (सजातीय और अमानवीय) कॉक्स बिंदु प्रक्रियाओं के विशेष मामलों के रूप में अनुसरण करती है। कॉक्स बिंदु प्रक्रिया का औसत माप है $E\xi (\cdot )=E\Lambda (\cdot )$ और इस प्रकार पॉइसन बिंदु प्रक्रिया के विशेष मामले में, यह है $\lambda \|\cdot \|.$ कॉक्स पॉइंट प्रक्रिया के लिए, $\Lambda (\cdot )$ तीव्रता माप कहलाता है. आगे, यदि $\Lambda (\cdot )$ एक (यादृच्छिक) घनत्व है (रेडॉन-निकोडिम प्रमेय | रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न) $\lambda (\cdot )$ अर्थात।,

$\Lambda (B)\,{\stackrel {\text{a.s.}}{=}}\,\int _{B}\lambda (x)\,dx,$

तब $\lambda (\cdot )$ कॉक्स बिंदु प्रक्रिया का तीव्रता क्षेत्र कहा जाता है। तीव्रता माप या तीव्रता क्षेत्रों की स्थिरता संबंधित कॉक्स बिंदु प्रक्रियाओं की स्थिरता का संकेत देती है।

कॉक्स बिंदु प्रक्रियाओं के कई विशिष्ट वर्ग हैं जिनका विस्तार से अध्ययन किया गया है जैसे:

• लॉग-गॉसियन कॉक्स बिंदु प्रक्रियाएं: $\lambda (y)=\exp(X(y))$ गाऊसी यादृच्छिक क्षेत्र के लिए $X(\cdot )$
• शॉट शोर कॉक्स बिंदु प्रक्रियाएं:, $\lambda (y)=\sum _{X\in \Phi }h(X,y)$ पॉइसन बिंदु प्रक्रिया के लिए $\Phi (\cdot )$ और कर्नेल $h(\cdot ,\cdot )$
• सामान्यीकृत शॉट शोर कॉक्स बिंदु प्रक्रियाएं: $\lambda (y)=\sum _{X\in \Phi }h(X,y)$ एक बिंदु प्रक्रिया के लिए $\Phi (\cdot )$ और कर्नेल $h(\cdot ,\cdot )$
• लेवी आधारित कॉक्स प्वाइंट प्रक्रियाएं: $\lambda (y)=\int h(x,y)L(dx)$ लेवी आधार के लिए $L(\cdot )$ और कर्नेल $h(\cdot ,\cdot )$, और
• स्थायी कॉक्स बिंदु प्रक्रियाएं: $\lambda (y)=X_{1}^{2}(y)+\cdots +X_{k}^{2}(y)$ k स्वतंत्र गाऊसी यादृच्छिक क्षेत्रों के लिए $X_{i}(\cdot )$'एस
• सिग्मोइडल गॉसियन कॉक्स बिंदु प्रक्रियाएं: $\lambda (y)=\lambda ^{\star }/(1+\exp(-X(y)))$ गाऊसी यादृच्छिक क्षेत्र के लिए $X(\cdot )$ और यादृच्छिक $\lambda ^{\star }>0$

जेन्सेन की असमानता से, कोई यह सत्यापित कर सकता है कि कॉक्स बिंदु प्रक्रियाएं निम्नलिखित असमानता को संतुष्ट करती हैं: सभी बंधे हुए बोरेल उपसमुच्चय के लिए $B$,

$\operatorname {Var} (\xi (B))\geq \operatorname {Var} (\xi _{\alpha }(B)),$

कहाँ $\xi _{\alpha }$ तीव्रता माप के साथ पॉइसन बिंदु प्रक्रिया के लिए खड़ा है $\alpha (\cdot ):=E\xi (\cdot )=E\Lambda (\cdot ).$ इस प्रकार पॉइसन बिंदु प्रक्रिया की तुलना में कॉक्स बिंदु प्रक्रिया में अंक अधिक परिवर्तनशीलता के साथ वितरित किए जाते हैं। इसे कभी-कभी कॉक्स पॉइंट प्रक्रिया की क्लस्टरिंग या आकर्षक संपत्ति कहा जाता है।

निर्धारक बिंदु प्रक्रियाएं

भौतिकी, यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत और साहचर्य के अनुप्रयोगों के साथ बिंदु प्रक्रियाओं का एक महत्वपूर्ण वर्ग निर्धारक बिंदु प्रक्रियाओं का है।

हॉक्स (स्व-रोमांचक) प्रक्रियाएँ

Main article: Hawkes process

एक हॉक्स प्रक्रिया $N_{t}$, जिसे स्व-रोमांचक गिनती प्रक्रिया के रूप में भी जाना जाता है, एक सरल बिंदु प्रक्रिया है जिसकी सशर्त तीव्रता को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

${\begin{aligned}\lambda (t)&=\mu (t)+\int _{-\infty }^{t}\nu (t-s)\,dN_{s}\\[5pt]&=\mu (t)+\sum _{T_{k}<t}\nu (t-T_{k})\end{aligned}}$

कहाँ $\nu :\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}$ एक कर्नेल फ़ंक्शन है जो पिछली घटनाओं के सकारात्मक प्रभाव को व्यक्त करता है $T_{i}$ तीव्रता प्रक्रिया के वर्तमान मूल्य पर $\lambda (t)$, $\mu (t)$ संभवतः एक गैर-स्थिर कार्य है जो तीव्रता के अपेक्षित, पूर्वानुमानित या नियतात्मक भाग का प्रतिनिधित्व करता है, और $\{T_{i}:T_{i}<T_{i+1}\}\in \mathbb {R}$ प्रक्रिया की i-वीं घटना के घटित होने का समय है।

ज्यामितीय प्रक्रियाएं

गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर का एक क्रम दिया गया है ${\textstyle \{X_{k},k=1,2,\dots \}}$, यदि वे स्वतंत्र हैं और सी.डी.एफ $X_{k}$ द्वारा दिया गया है $F(a^{k-1}x)$ के लिए $k=1,2,\dots$, कहाँ $a$ तो, एक सकारात्मक स्थिरांक है $\{X_{k},k=1,2,\ldots \}$ ज्यामितीय प्रक्रिया (GP) कहलाती है। ज्यामितीय प्रक्रिया के कई विस्तार हैं, जिनमें α-श्रृंखला प्रक्रिया भी शामिल है और दोगुनी ज्यामितीय प्रक्रिया।

वास्तविक अर्ध-रेखा पर प्रक्रियाओं को इंगित करें

ऐतिहासिक रूप से जिन पहली बिंदु प्रक्रियाओं का अध्ययन किया गया उनमें वास्तविक आधी रेखा आर थी₊ = [0,∞) उनके राज्य स्थान के रूप में, जिसे इस संदर्भ में आमतौर पर समय के रूप में व्याख्या किया जाता है। ये अध्ययन दूरसंचार प्रणालियों को मॉडल बनाने की इच्छा से प्रेरित थे, जिसमें बिंदु समय में घटनाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, जैसे टेलीफोन एक्सचेंज पर कॉल।

आर पर बिंदु प्रक्रियाएं₊ आमतौर पर उनके (यादृच्छिक) अंतर-घटना समय (टी) का अनुक्रम देकर वर्णित किया जाता है₁, टी₂,...), जिससे वास्तविक अनुक्रम (X₁, एक्स₂,...) घटना के समय के रूप में प्राप्त किया जा सकता है

$X_{k}=\sum _{j=1}^{k}T_{j}\quad {\text{for }}k\geq 1.$

यदि अंतर-घटना समय स्वतंत्र और समान रूप से वितरित हैं, तो प्राप्त बिंदु प्रक्रिया को नवीनीकरण सिद्धांत कहा जाता है।

एक बिंदु प्रक्रिया की तीव्रता

तीव्रता λ(t | H_t) निस्पंदन एच के संबंध में वास्तविक अर्ध-रेखा पर एक बिंदु प्रक्रिया का_t परिभाषित किया जाता है

$\lambda (t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\Pr({\text{One event occurs in the time-interval}}\,[t,t+\Delta t]\mid H_{t}),$

H_t समय t से पहले के घटना-बिंदु समय के इतिहास को निरूपित कर सकता है, लेकिन अन्य फ़िल्टरेशन के अनुरूप भी हो सकता है (उदाहरण के लिए कॉक्स प्रक्रिया के मामले में)।

में $N(t)$-नोटेशन, इसे अधिक संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है:

$\lambda (t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\Pr(N(t+\Delta t)-N(t)=1\mid H_{t}).$

एक बिंदु प्रक्रिया का कम्पेसाटर, जिसे दोहरे-अनुमानित प्रक्षेपण के रूप में भी जाना जाता है, द्वारा परिभाषित एकीकृत सशर्त तीव्रता फ़ंक्शन है

$\Lambda (s,u)=\int _{s}^{u}\lambda (t\mid H_{t})\,\mathrm {d} t$

संबंधित कार्य

पैपेंजेलो तीव्रता फ़ंक्शन

एक बिंदु प्रक्रिया का पपांगेलो तीव्रता कार्य $N$ में $n$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष $\mathbb {R} ^{n}$ परिभाषित किया जाता है

$\lambda _{p}(x)=\lim _{\delta \to 0}{\frac {1}{|B_{\delta }(x)|}}{P}\{{\text{One event occurs in }}\,B_{\delta }(x)\mid \sigma [N(\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\delta }(x))]\},$

कहाँ $B_{\delta }(x)$ गेंद केन्द्रित है $x$ एक त्रिज्या का $\delta$, और $\sigma [N(\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\delta }(x))]$ बिंदु प्रक्रिया की जानकारी को दर्शाता है $N$ बाहर $B_{\delta }(x)$.

संभावना फ़ंक्शन

कुछ देखे गए डेटा पर सशर्त एक पैरामीटरयुक्त सरल बिंदु प्रक्रिया की लघुगणकीय संभावना को इस प्रकार लिखा गया है

$\ln {\mathcal {L}}(N(t)_{t\in [0,T]})=\int _{0}^{T}(1-\lambda (s))\,ds+\int _{0}^{T}\ln \lambda (s)\,dN_{s}$

स्थानिक आँकड़ों में बिंदु प्रक्रियाएँ

'आर' के एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय एस में बिंदु पैटर्न डेटा का विश्लेषणⁿस्थानिक सांख्यिकी के अंतर्गत अध्ययन का एक प्रमुख उद्देश्य है। इस तरह का डेटा विषयों की एक विस्तृत श्रृंखला में दिखाई देता है, जिनमें से हैं

• वानिकी और पादप पारिस्थितिकी (सामान्य रूप से पेड़ों या पौधों की स्थिति)
• महामारी विज्ञान (संक्रमित रोगियों के घरेलू स्थान)
• प्राणीशास्त्र (जानवरों के बिल या घोंसले)
• भूगोल (मानव बस्तियों, कस्बों या शहरों की स्थिति)
• भूकंप विज्ञान (भूकंप का केंद्र)
• सामग्री विज्ञान (औद्योगिक सामग्रियों में दोषों की स्थिति)
• खगोल विज्ञान (तारों या आकाशगंगाओं का स्थान)
• कम्प्यूटेशनल तंत्रिका विज्ञान (न्यूरॉन्स के स्पाइक्स)।

इस प्रकार के डेटा को मॉडल करने के लिए बिंदु प्रक्रियाओं का उपयोग करने की आवश्यकता उनकी अंतर्निहित स्थानिक संरचना में निहित है। तदनुसार, रुचि का पहला प्रश्न अक्सर यह होता है कि क्या दिया गया डेटा स्थानिक एकत्रीकरण या स्थानिक अवरोध को प्रदर्शित करने के विपरीत पूर्ण स्थानिक यादृच्छिकता प्रदर्शित करता है (यानी एक स्थानिक पॉइसन प्रक्रिया का एहसास है)।

इसके विपरीत, शास्त्रीय बहुभिन्नरूपी आँकड़ों में माने जाने वाले कई डेटासेट में स्वतंत्र रूप से उत्पन्न डेटापॉइंट शामिल होते हैं जिन्हें एक या कई सहसंयोजक (आमतौर पर गैर-स्थानिक) द्वारा नियंत्रित किया जा सकता है।

स्थानिक सांख्यिकी में अनुप्रयोगों के अलावा, बिंदु प्रक्रियाएं स्टोकेस्टिक ज्यामिति में मूलभूत वस्तुओं में से एक हैं। अनुसंधान ने वोरोनोई टेस्सेलेशन , यादृच्छिक ज्यामितीय ग्राफ और बूलियन मॉडल (संभावना सिद्धांत) जैसे बिंदु प्रक्रियाओं पर निर्मित विभिन्न मॉडलों पर भी बड़े पैमाने पर ध्यान केंद्रित किया है।

यह भी देखें

• अनुभवजन्य उपाय
• यादृच्छिक माप
• बिंदु प्रक्रिया संकेतन
• बिंदु प्रक्रिया संचालन
• पॉइसन प्रक्रिया
• नवीकरण सिद्धांत
• अपरिवर्तनीय उपाय
• स्थानांतरण ऑपरेटर
• व्यापारी संचालक
• शिफ्ट ऑपरेटर