टेट्राडिक पलाटिनी क्रिया

Main article: Frame fields in general relativity

सामान्य सापेक्षता के लिए आइंस्टीन-हिल्बर्ट कार्रवाई को पहली बार अंतरिक्ष-समय मीट्रिक के संदर्भ में पूरी तरह से तैयार किया गया था। क्रिया सिद्धांत में मीट्रिक और एफ़िन कनेक्शन को स्वतंत्र चर के रूप में लेने पर सबसे पहले एटिलियस पैलेटिन ने विचार किया था। इसे प्रथम क्रम सूत्रीकरण कहा जाता है क्योंकि अलग-अलग होने वाले चर क्रिया में केवल पहले डेरिवेटिव तक ही शामिल होते हैं और इसलिए यह उच्च व्युत्पन्न शर्तों के साथ यूलर-लैग्रेंज समीकरणों को अधिक जटिल नहीं बनाता है। टेट्राडिक पैलेटिनी क्रिया स्वतंत्र चर की अलग जोड़ी के संदर्भ में आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया का और प्रथम-क्रम सूत्रीकरण है, जिसे फ्रेम फ़ील्ड और स्पिन कनेक्शन के रूप में जाना जाता है। फ़्रेम फ़ील्ड और स्पिन कनेक्शन का उपयोग आम तौर पर सहसंयोजक फ़र्मिओनिक क्रिया के निर्माण में आवश्यक है (इसके बारे में अधिक चर्चा के लिए लेख स्पिन कनेक्शन देखें) जो टेट्राडिक पैलेटिनी क्रिया में जोड़े जाने पर फ़र्मिअन को गुरुत्वाकर्षण से जोड़ता है।

न केवल फ़र्मिअन को गुरुत्वाकर्षण से जोड़ने और टेट्राडिक क्रिया को मीट्रिक संस्करण के लिए और अधिक मौलिक बनाने के लिए इसकी आवश्यकता है, बल्कि पैलेटिनी क्रिया स्व-दोहरी पैलेटिनी क्रिया जैसी अधिक दिलचस्प क्रियाओं के लिए कदम भी है, जिसे लैग्रेंजियन आधार के रूप में देखा जा सकता है। अष्टेकर के विहित गुरुत्वाकर्षण के सूत्रीकरण के लिए (अष्टेकर के चर देखें) या होल्स्ट क्रिया जो अष्टेकर के सिद्धांत के वास्तविक चर संस्करण का आधार है। अन्य महत्वपूर्ण क्रिया प्लेबैन कार्रवाई है (बैरेट-क्रेन मॉडल पर प्रविष्टि देखें), और यह साबित करना कि यह कुछ शर्तों के तहत सामान्य सापेक्षता देता है, इसमें यह दिखाना शामिल है कि यह इन शर्तों के तहत पैलेटिनी कार्रवाई को कम कर देता है।

यहां हम परिभाषाएं प्रस्तुत करते हैं और पैलेटिनी क्रिया से आइंस्टीन के समीकरणों की विस्तार से गणना करते हैं। इन गणनाओं को स्व-दोहरी पैलेटिनी क्रिया और होल्स्ट क्रिया के लिए आसानी से संशोधित किया जा सकता है।

कुछ परिभाषाएँ

हमें सबसे पहले टेट्राड की अवधारणा का परिचय देना होगा। टेट्राड ऑर्थोनॉर्मल वेक्टर आधार है जिसके संदर्भ में स्पेस-टाइम मीट्रिक स्थानीय रूप से सपाट दिखता है,

$g_{\alpha \beta }=e_{\alpha }^{I}e_{\beta }^{J}\eta _{IJ}$

कहाँ $\eta _{IJ}={\text{diag}}(-1,1,1,1)$ मिन्कोवस्की मीट्रिक है. टेट्रैड्स स्पेस-टाइम मीट्रिक के बारे में जानकारी को एनकोड करते हैं और इसे एक्शन सिद्धांत में स्वतंत्र चर में से के रूप में लिया जाएगा।

अब यदि कोई उन वस्तुओं पर काम करने जा रहा है जिनमें आंतरिक सूचकांक हैं तो उसे उपयुक्त व्युत्पन्न (सहसंयोजक व्युत्पन्न) पेश करने की आवश्यकता है। हम मनमाना सहसंयोजक व्युत्पन्न का परिचय देते हैं

${\mathcal {D}}_{\alpha }V_{I}=\partial _{\alpha }V_{I}+{\omega _{\alpha I}}^{J}V_{J}.$

कहाँ ${\omega _{\alpha I}}^{J}$ स्पिन (लोरेंत्ज़) कनेक्शन एक-रूप है (व्युत्पन्न मिन्कोव्स्की मीट्रिक को नष्ट कर देता है $\eta _{IJ}$). हम इसके माध्यम से वक्रता को परिभाषित करते हैं

${\Omega _{\alpha \beta I}}^{J}V_{J}=({\mathcal {D}}_{\alpha }{\mathcal {D}}_{\beta }-{\mathcal {D}}_{\beta }{\mathcal {D}}_{\alpha })V_{I}$

हमने प्राप्त

${\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}=2\partial _{[\alpha }{\omega _{\beta ]}}^{IJ}+2{\omega _{[\alpha }}^{IK}{\omega _{\beta ]K}}^{J}$.

हम सहसंयोजक व्युत्पन्न का परिचय देते हैं जो टेट्राड को नष्ट कर देता है,

$\nabla _{\alpha }e_{\beta }^{I}=0$.

कनेक्शन पूरी तरह से टेट्राड द्वारा निर्धारित होता है। सामान्यीकृत टेंसर पर इसकी क्रिया $V_{\beta }^{I}$ द्वारा दिया गया है

$\nabla _{\alpha }V_{\beta }^{I}=\partial _{\alpha }V_{\beta }^{I}-\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }V_{\gamma }^{I}+{\omega _{\alpha J}}^{I}V_{\beta }^{J}.$

हम वक्रता को परिभाषित करते हैं ${R_{\alpha \beta }}^{IJ}$ द्वारा

${R_{\alpha \beta I}}^{J}V_{J}=(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha })V_{I}.$

यह आसानी से परिभाषित सामान्य वक्रता से संबंधित है

${R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }V_{\delta }=(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha })V_{\gamma }$

प्रतिस्थापन के माध्यम से $V_{\gamma }=V_{I}e_{\gamma }^{I}$ इस अभिव्यक्ति में (विवरण के लिए नीचे देखें)। प्राप्त होता है,

${R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }=e_{\gamma }^{I}{R_{\alpha \beta I}}^{J}e_{J}^{\delta },\quad R_{\alpha \beta }={R_{\alpha \gamma I}}^{J}e_{\beta }^{I}e_{J}^{\gamma },R={R_{\alpha \beta }}^{IJ}e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }$

क्रमशः रीमैन टेंसर, रिक्की टेंसर और रिक्की अदिश के लिए।

टेट्राडिक पलाटिनी क्रिया

इस वक्रता के रिक्की अदिश को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है $e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}.$ कार्रवाई लिखी जा सकती है

$S_{H-P}=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}$

कहाँ $e={\sqrt {-g}}$ पर अब $g$ फ़्रेम फ़ील्ड का फ़ंक्शन है.

हम स्वतंत्र मात्राओं के रूप में टेट्राड और स्पिन कनेक्शन के संबंध में इस क्रिया को अलग-अलग करके आइंस्टीन समीकरण प्राप्त करेंगे।

गणना करने के शॉर्टकट के रूप में हम टेट्राड के साथ संगत कनेक्शन पेश करते हैं, $\nabla _{\alpha }e_{\beta }^{I}=0.$ इस सहसंयोजक व्युत्पन्न से जुड़ा कनेक्शन पूरी तरह से टेट्राड द्वारा निर्धारित होता है। हमारे द्वारा प्रस्तुत दो कनेक्शनों के बीच का अंतर फ़ील्ड है ${C_{\alpha I}}^{J}$ द्वारा परिभाषित

${C_{\alpha I}}^{J}V_{J}=\left(D_{\alpha }-\nabla _{\alpha }\right)V_{I}.$

हम इन दो सहसंयोजक व्युत्पन्नों की वक्रता के बीच अंतर की गणना कर सकते हैं (विवरण के लिए नीचे देखें),

${\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}-{R_{\alpha \beta }}^{IJ}=\nabla _{[\alpha }{C_{\beta ]}}^{IJ}+{C_{[\alpha }}^{IM}{C_{\beta ]M}}^{J}$

इस मध्यवर्ती गणना का कारण यह है कि क्रिया को संदर्भ में पुनः व्यक्त करके भिन्नता की गणना करना आसान है $\nabla$ और ${C_{\alpha }}^{IJ}$ और यह देखते हुए कि इसके संबंध में भिन्नता है ${\omega _{\alpha }}^{IJ}$ के संबंध में भिन्नता के समान है ${C_{\alpha }}^{IJ}$ (टेट्राड को स्थिर रखते समय)। क्रिया बन जाती है

$S_{H-P}=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }\left({R_{\alpha \beta }}^{IJ}+\nabla _{[\alpha }{C_{\beta ]}}^{IJ}+{C_{[\alpha }}^{IM}{C_{\beta ]M}}^{J}\right)$

हम सबसे पहले संबंध में भिन्न होते हैं ${C_{\alpha }}^{IJ}$. पहला पद निर्भर नहीं करता ${C_{\alpha }}^{IJ}$ इसलिए इसका कोई योगदान नहीं है. दूसरा पद कुल व्युत्पन्न है। अंतिम पद उपज देता है

$e_{M}^{[a}e_{N}^{b]}\delta _{[I}^{M}\delta _{J]}^{K}{C_{bK}}^{N}=0.$

हम नीचे दिखाते हैं कि इसका तात्पर्य यह है ${C_{\alpha }}^{IJ}=0$ पूर्वकारक के रूप में $e_{M}^{[a}e_{N}^{b]}\delta _{[I}^{M}\delta _{J]}^{K}$ गैर पतित है. ये हमें ये बताता है $\nabla$ के साथ मेल खाता है $D$ जब केवल आंतरिक सूचकांकों वाली वस्तुओं पर कार्य किया जाता है। इस प्रकार संबंध $D$ पूरी तरह से टेट्राड और द्वारा निर्धारित होता है $\Omega$ के साथ मेल खाता है $R$. टेट्राड के संबंध में भिन्नता की गणना करने के लिए हमें भिन्नता की आवश्यकता है $e=\det e_{\alpha }^{I}$. मानक सूत्र से

$\delta \det(a)=\det(a)\left(a^{-1}\right)_{ji}\delta a_{ij}$

हमारे पास है $\delta e=ee_{I}^{\alpha }\delta e_{\alpha }^{I}$. या उपयोग करने पर $\delta \left(e_{\alpha }^{I}e_{I}^{\alpha }\right)=0$, ये बन जाता है $\delta e=-ee_{\alpha }^{I}\delta e_{I}^{\alpha }$. हम टेट्राड के संबंध में भिन्नता करके दूसरे समीकरण की गणना करते हैं,

${\begin{aligned}\delta S_{H-P}&=\int d^{4}x\;e\left(\left(\delta e_{I}^{\alpha }\right)e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}+e_{I}^{\alpha }\left(\delta e_{J}^{\beta }\right){\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}-e_{\gamma }^{K}\left(\delta e_{K}^{\gamma }\right)e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}\right)\\&=2\int d^{4}x\;e\left(e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}-{1 \over 2}e_{M}^{\gamma }e_{N}^{\delta }e_{\alpha }^{I}{\Omega _{\gamma \delta }}^{MN}\right)\left(\delta e_{I}^{\alpha }\right)\end{aligned}}$

मिलता है, प्रतिस्थापित करने के बाद ${\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}$ के लिए ${R_{\alpha \beta }}^{IJ}$ जैसा कि गति के पिछले समीकरण द्वारा दिया गया है,

$e_{J}^{\gamma }{R_{\alpha \gamma }}^{IJ}-{1 \over 2}{R_{\gamma \delta }}^{MN}e_{M}^{\gamma }e_{N}^{\delta }e_{\alpha }^{I}=0$

जिसे, से गुणा करने के बाद $e_{I\beta }$ बस हमें बताता है कि आइंस्टीन टेंसर $R_{\alpha \beta }-{\tfrac {1}{2}}Rg_{\alpha \beta }$ टेट्राड द्वारा परिभाषित मीट्रिक गायब हो जाता है। इसलिए हमने यह सिद्ध कर दिया है कि टेट्राडिक रूप में क्रिया का पैलेटिनी रूपांतर सामान्य आइंस्टीन समीकरण उत्पन्न करता है।

पलटिनी क्रिया का सामान्यीकरण

Main articles: Holst action, Self-dual Palatini action, Barbero-Immirzi parameter, and Plebanski action

हम शब्द जोड़कर कार्रवाई बदलते हैं

$-{1 \over 2\gamma }ee_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{MN}[\omega ]{\epsilon ^{IJ}}_{MN}$

यह पलाटिनी क्रिया को संशोधित करता है

$S=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{P^{IJ}}_{MN}{\Omega _{\alpha \beta }}^{MN}$

कहाँ

${P^{IJ}}_{MN}=\delta _{M}^{[I}\delta _{N}^{J]}-{1 \over 2\gamma }{\epsilon ^{IJ}}_{MN}.$

ऊपर दी गई यह क्रिया होल्स्ट द्वारा प्रस्तुत होल्स्ट क्रिया है और $\gamma$ बारबेरो-इमिरज़ी पैरामीटर है जिसकी भूमिका बारबेरो द्वारा पहचानी गई थी और इमिरिज़ी. स्व-द्वैत सूत्रीकरण पसंद से मेल खाता है $\gamma =-i$.

यह दिखाना आसान है कि ये क्रियाएं समान समीकरण देती हैं। हालाँकि, मामला इसी के अनुरूप है $\gamma =\pm i$ अलग से किया जाना चाहिए (लेख सेल्फ-डुअल पलाटिनी एक्शन देखें)। मान लीजिए $\gamma \not =\pm i$, तब ${P^{IJ}}_{MN}$ द्वारा दिया गया व्युत्क्रम है

${(P^{-1})_{IJ}}^{MN}={\frac {\gamma ^{2}}{\gamma ^{2}+1}}\left(\delta _{I}^{[M}\delta _{J}^{N]}+{\frac {1}{2\gamma }}{\epsilon _{IJ}}^{MN}\right).$

(ध्यान दें कि यह अलग है $\gamma =\pm i$). चूँकि यह व्युत्क्रम पूर्वकारक का सामान्यीकरण मौजूद है $e_{M}^{[a}e_{N}^{b]}\delta _{[I}^{M}\delta _{J]}^{K}$ गैर-विक्षिप्त भी होगा और इस तरह कनेक्शन के संबंध में भिन्नता से समकक्ष स्थितियां प्राप्त की जाती हैं। हम फिर से प्राप्त करते हैं ${C_{\alpha }}^{IJ}=0$. जबकि टेट्राड के संबंध में भिन्नता से आइंस्टीन का समीकरण और अतिरिक्त पद प्राप्त होता है। हालाँकि, यह अतिरिक्त शब्द रीमैन टेंसर की समरूपता से गायब हो जाता है।

गणना का विवरण

सामान्य वक्रता को मिश्रित सूचकांक वक्रता से संबंधित करना

सामान्य रीमैन वक्रता टेंसर ${R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }$ द्वारा परिभाषित किया गया है

${R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }V_{\delta }=\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }\right)V_{\gamma }.$

मिश्रित सूचकांक वक्रता टेंसर से संबंध खोजने के लिए आइए हम विकल्प चुनें $V_{\gamma }=e_{\gamma }^{I}V_{I}$

${\begin{aligned}{R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }V_{\delta }&=\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }\right)V_{\gamma }\\&=\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }\right)\left(e_{\gamma }^{I}V_{I}\right)\\&=e_{\gamma }^{I}\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }\right)V_{I}\\&=e_{\gamma }^{I}{R_{\alpha \beta I}}^{J}e_{J}^{\delta }V_{\delta }\end{aligned}}$

जहां हमने उपयोग किया है $\nabla _{\alpha }e_{\beta }^{I}=0$. चूँकि यह सभी के लिए सत्य है $V_{\delta }$ हमने प्राप्त

${R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }=e_{\gamma }^{I}{R_{\alpha \beta I}}^{J}e_{J}^{\delta }$.

इस अभिव्यक्ति का प्रयोग करके हम पाते हैं

$R_{\alpha \beta }={R_{\alpha \gamma \beta }}^{\gamma }={R_{\alpha \gamma I}}^{J}e_{\beta }^{I}e_{J}^{\gamma }.$

ठेकेदारी ख़त्म $\alpha$ और $\beta$ हमें रिक्की अदिश लिखने की अनुमति देता है

$R={R_{\alpha \beta }}^{IJ}e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }.$

वक्रता के बीच अंतर

व्युत्पन्न द्वारा परिभाषित $D_{\alpha }V_{I}$ केवल आंतरिक सूचकांकों पर कार्य करना जानता है। हालाँकि, हमें स्पेसटाइम सूचकांकों के लिए मरोड़-मुक्त विस्तार पर विचार करना सुविधाजनक लगता है। सभी गणनाएँ विस्तार के इस विकल्प से स्वतंत्र होंगी। को लागू करने ${\mathcal {D}}_{a}$ दो बार चालू $V_{I}$,

${\mathcal {D}}_{\alpha }{\mathcal {D}}_{\beta }V_{I}={\mathcal {D}}_{\alpha }(\nabla _{\beta }V_{I}+{C_{\beta I}}^{J}V_{J})=\nabla _{\alpha }\left(\nabla _{\beta }V_{I}+{C_{\beta I}}^{J}V_{J}\right)+{C_{\alpha I}}^{K}\left(\nabla _{b}V_{K}+{C_{\beta K}}^{J}V_{J}\right)+{\overline {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\gamma }\left(\nabla _{\gamma }V_{I}+{C_{\gamma I}}^{J}V_{J}\right)$

कहाँ ${\overline {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\gamma }$ महत्वहीन है, हमें केवल यह ध्यान देने की आवश्यकता है कि यह सममित है $\alpha$ और $\beta$ क्योंकि यह मरोड़-मुक्त है। तब

${\begin{aligned}{\Omega _{\alpha \beta I}}^{J}V_{J}&=\left({\mathcal {D}}_{\alpha }{\mathcal {D}}_{\beta }-{\mathcal {D}}_{\beta }{\mathcal {D}}_{\alpha }\right)V_{I}\\&=\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }\right)V_{I}+\nabla _{\alpha }\left({C_{\beta I}}^{J}V_{J}\right)-\nabla _{\beta }\left({C_{\alpha I}}^{J}V_{J}\right)+{C_{\alpha I}}^{K}\nabla _{\beta }V_{K}-{C_{\beta I}}^{K}\nabla _{\alpha }V_{K}+{C_{\alpha I}}^{K}{C_{\beta K}}^{J}V_{J}-{C_{\beta I}}^{K}{C_{\alpha K}}^{J}V_{J}\\&={R_{\alpha \beta I}}^{J}V_{J}+\left(\nabla _{\alpha }{C_{\beta I}}^{J}-\nabla _{\beta }{C_{\alpha I}}^{J}+{C_{\alpha I}}^{K}{C_{\beta K}}^{J}-{C_{\beta _{I}}}^{K}{C_{\alpha K}}^{J}\right)V_{J}\end{aligned}}$

इस तरह:

${\Omega _{ab}}^{IJ}-{R_{ab}}^{IJ}=2\nabla _{[a}{C_{b]}}^{IJ}+2{C_{[a}}^{IK}{C_{b]K}}^{J}$

क्षेत्र के संबंध में कार्रवाई को अलग-अलग करना ${C_{\alpha }}^{IJ}$

हम उम्मीद करेंगे $\nabla _{a}$ मिन्कोव्स्की मीट्रिक को भी नष्ट करने के लिए $\eta _{IJ}=e_{\beta I}e_{J}^{\beta }$. यदि हम यह भी मान लें कि सहसंयोजक व्युत्पन्न ${\mathcal {D}}_{\alpha }$ हमारे पास मिन्कोव्स्की मीट्रिक (जिसे मरोड़-मुक्त कहा जाता है) को नष्ट कर देता है,

$0=({\mathcal {D}}_{\alpha }-\nabla _{\alpha })\eta _{IJ}={C_{\alpha I}}^{K}\eta _{KJ}+{C_{aJ}}^{K}\eta _{IK}=C_{\alpha IJ}+C_{\alpha JI}.$

यह दावा करना

$C_{\alpha IJ}=C_{\alpha [IJ]}.$

कार्रवाई के अंतिम पद से हमारे पास इसके संबंध में भिन्नता है ${C_{\alpha I}}^{J},$

या

$e_{I}^{[\alpha }e_{K}^{\beta ]}{C_{\beta J}}^{K}+e^{K[\beta }e_{J}^{\alpha ]}C_{\beta KI}=0$

या

${C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{[\alpha }e_{J}^{\beta ]}+{C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{[\alpha }e_{K}^{\beta ]}=0.$

जहां हमने उपयोग किया है $C_{\beta KI}=-C_{\beta IK}$. इसे और अधिक संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है

$e_{M}^{[\alpha }e_{N}^{\beta ]}\delta _{[I}^{M}\delta _{J]}^{K}{C_{\beta K}}^{N}=0.$

का लुप्त हो जाना ${C_{\alpha }}^{IJ}$

हम संदर्भ जियोमेट्रोडायनामिक्स बनाम कनेक्शन डायनेमिक्स का अनुसरण करके दिखाएंगे वह

${C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{[\alpha }e_{J}^{\beta ]}+{C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{[\alpha }e_{K}^{\beta ]}=0\quad Eq.1$

तात्पर्य ${C_{\alpha I}}^{J}=0.$ सबसे पहले हम स्पेसटाइम टेंसर फ़ील्ड को परिभाषित करते हैं

$S_{\alpha \beta \gamma }:=C_{\alpha IJ}e_{\beta }^{I}e_{\gamma }^{J}.$

फिर हालत $C_{\alpha IJ}=C_{\alpha [IJ]}$ के बराबर है $S_{\alpha \beta \gamma }=S_{\alpha [\beta \gamma ]}$. अनुबंधन समीकरण 1 के साथ $e_{\alpha }^{I}e_{\gamma }^{J}$ कोई उसका हिसाब लगाता है

${C_{\beta J}}^{I}e_{\gamma }^{J}e_{I}^{\beta }=0.$

जैसा ${S_{\alpha \beta }}^{\gamma }={C_{\alpha I}}^{J}e_{\beta }^{I}e_{J}^{\gamma },$ हमारे पास है ${S_{\beta \gamma }}^{\beta }=0.$ हम इसे इस प्रकार लिखते हैं

$({C_{\beta I}}^{J}e_{J}^{\beta })e_{\gamma }^{I}=0,$

और के रूप में $e_{\alpha }^{I}$ उलटे हैं इसका तात्पर्य है

${C_{\beta I}}^{J}e_{J}^{\beta }=0.$

इस प्रकार शर्तें ${C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{\beta }e_{J}^{\alpha },$ और ${C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{\alpha }e_{K}^{\beta }$ Eq का. 1 दोनों गायब हो जाते हैं और Eq. 1 से कम हो जाता है

${C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{\alpha }e_{J}^{\beta }-{C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{\beta }e_{K}^{\alpha }=0.$

यदि अब हम इसके साथ अनुबंध करते हैं $e_{\gamma }^{I}e_{\delta }^{J}$, हम पाते हैं

${\begin{aligned}0&=\left({C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{\alpha }e_{J}^{\beta }-{C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{\beta }e_{K}^{\alpha }\right)e_{\gamma }^{I}e_{\delta }^{J}\\&={C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{\alpha }e_{\gamma }^{I}\delta _{\delta }^{\beta }-{C_{\beta J}}^{K}\delta _{\gamma }^{\beta }e_{K}^{\alpha }e_{\delta }^{J}\\&={C_{\delta I}}^{K}e_{\gamma }^{I}e_{K}^{\alpha }-{C_{\gamma J}}^{K}e_{\delta }^{J}e_{K}^{\alpha }\end{aligned}}$

या

${S_{\gamma \delta }}^{\alpha }={S_{(\gamma \delta )}}^{\alpha }.$

चूंकि हमारे पास है $S_{\alpha \beta \gamma }=S_{\alpha [\beta \gamma ]}$ और $S_{\alpha \beta \gamma }=S_{(\alpha \beta )\gamma }$, हम प्राप्त करने के लिए हर बार उचित चिह्न परिवर्तन के साथ पहले दो और फिर अंतिम दो सूचकांकों को क्रमिक रूप से बदल सकते हैं,

$S_{\alpha \beta \gamma }=S_{\beta \alpha \gamma }=-S_{\beta \gamma \alpha }=-S_{\gamma \beta \alpha }=S_{\gamma \alpha \beta }=S_{\alpha \gamma \beta }=-S_{\alpha \beta \gamma }$

यह दावा करना

$S_{\alpha \beta \gamma }=0,$ या

$C_{\alpha IJ}e_{\beta }^{I}e_{\gamma }^{J}=0,$

और तब से $e_{\alpha }^{I}$ उलटे हैं, हम पाते हैं $C_{\alpha IJ}=0$. यह वांछित परिणाम है.

यह भी देखें

• टेंशनर लैंज़ोस
• वेइल टेंसर