महत्वपूर्ण आयाम

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भौतिकी में चरण संक्रमणों के पुनर्सामान्यीकरण समूह विश्लेषण में, एक महत्वपूर्ण आयाम अंतरिक्ष की आयामीता है जिस पर चरण संक्रमण का चरित्र बदलता है। निचले क्रांतिक आयाम के नीचे कोई चरण संक्रमण नहीं है। ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम के ऊपर सिद्धांत के महत्वपूर्ण प्रतिपादक माध्य क्षेत्र सिद्धांत के समान हो जाते हैं। माध्य क्षेत्र सिद्धांत के भीतर महत्वपूर्ण आयाम प्राप्त करने के लिए एक सुंदर मानदंड विटाली गिन्ज़बर्ग|वी के कारण है। गिन्ज़बर्ग.

चूंकि पुनर्सामान्यीकरण समूह एक चरण संक्रमण और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के बीच एक संबंध स्थापित करता है, इसका उत्तरार्द्ध और सामान्य रूप से पुनर्सामान्यीकरण की हमारी बड़ी समझ पर प्रभाव पड़ता है। ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम के ऊपर, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत जो चरण संक्रमण के मॉडल से संबंधित है, एक मुक्त क्षेत्र सिद्धांत है। निचले महत्वपूर्ण आयाम के नीचे, मॉडल के अनुरूप कोई क्षेत्र सिद्धांत नहीं है।

स्ट्रिंग सिद्धांत के संदर्भ में अर्थ अधिक प्रतिबंधित है: महत्वपूर्ण आयाम वह आयाम है जिस पर स्ट्रिंग सिद्धांत पृष्ठभूमि विकिरण प्रभावों से अतिरिक्त भ्रमित क्रमपरिवर्तन के बिना एक स्थिर फैलाव पृष्ठभूमि मानकर सुसंगत है। सटीक संख्या वर्ल्डशीट पर अनुरूप विसंगति के आवश्यक रद्दीकरण द्वारा निर्धारित की जा सकती है; यह बोसोनिक स्ट्रिंग सिद्धांत के लिए 26 और सुपरस्ट्रिंग सिद्धांत के लिए 10 है।

क्षेत्र सिद्धांत में ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम

किसी क्षेत्र सिद्धांत के ऊपरी क्रांतिक आयाम का निर्धारण रैखिक बीजगणित का मामला है। प्रक्रिया को औपचारिक बनाना सार्थक है क्योंकि यह स्केलिंग के लिए निम्नतम-क्रम सन्निकटन और पुनर्सामान्यीकरण समूह के लिए आवश्यक इनपुट प्रदान करता है। यह सबसे पहले एक महत्वपूर्ण मॉडल रखने की स्थितियों का भी खुलासा करता है।

क्रिटिकल लैग्रेंजियन के मोनोमियल्स के प्रतिपादक एक प्रतिपादक स्थान में एक हाइपरप्लेन को परिभाषित करते हैं। ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम को यहां पढ़ा जा सकता है $E_{1}$-एक्सिस..

एक लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत) को शब्दों के योग के रूप में लिखा जा सकता है, प्रत्येक में निर्देशांक के एकपदी पर एक अभिन्न अंग होता है $x_{i}$ और फ़ील्ड $\phi _{i}$. उदाहरण मानक हैं $\phi ^{4}$-मॉडल और लैग्रेंजियंस के साथ आइसोट्रोपिक बहुआलोचनात्मक बिंदु

$\displaystyle S=\int d^{d}x\left\{{\frac {1}{2}}\left(\nabla \phi \right)^{2}+u\phi ^{4}\right\},$

$\displaystyle S_{L.T.P}=\int d^{d}x\left\{{\frac {1}{2}}\left(\nabla ^{2}\phi \right)^{2}+u\phi ^{3}\nabla ^{2}\phi +w\phi ^{6}\right\},$

दाईं ओर का चित्र भी देखें। यह सरल संरचना पुनर्स्केलिंग के तहत स्केल अपरिवर्तनीयता के साथ संगत हो सकती है एक कारक के साथ निर्देशांक और क्षेत्र $b$ के अनुसार

$\displaystyle x_{i}\rightarrow x_{i}b^{\left[x_{i}\right]},\phi _{i}\rightarrow \phi _{i}b^{\left[\phi _{i}\right]}.$

यहां समय को एकल नहीं किया गया है - यह सिर्फ एक और समन्वय है: यदि लैग्रेंजियन में एक समय चर होता है तो इस चर को इस प्रकार पुनः स्केल किया जाना चाहिए $t\rightarrow tb^{-z}$ कुछ स्थिर घातांक के साथ $z=-[t]$. लक्ष्य घातांक सेट निर्धारित करना है $N=\{[x_{i}],[\phi _{i}]\}$.

एक प्रतिपादक, कहो $[x_{1}]$, उदाहरण के लिए, मनमाने ढंग से चुना जा सकता है $[x_{1}]=-1$. आयामी विश्लेषण की भाषा में इसका अर्थ है कि घातांक $N$ तरंग वेक्टर कारकों (एक पारस्परिक लंबाई) की गणना करें $k=1/L_{1}$). इस प्रकार लैग्रेंजियन का प्रत्येक एकपदी एक सजातीय रैखिक समीकरण की ओर ले जाता है $\sum E_{i,j}N_{j}=0$ प्रतिपादकों के लिए $N$. अगर वहाँ $M$ (असमान) लैग्रेंजियन में निर्देशांक और फ़ील्ड, फिर $M$ ऐसे समीकरण एक वर्ग मैट्रिक्स का निर्माण करते हैं। यदि यह मैट्रिक्स उलटा होता तो केवल तुच्छ समाधान होता $N=0$.

स्थिति $\det(E_{i,j})=0$ एक गैर-तुच्छ समाधान के लिए अंतरिक्ष आयामों के बीच एक समीकरण मिलता है, और यह ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम निर्धारित करता है $d_{u}$ (बशर्ते केवल एक परिवर्तनीय आयाम हो $d$ लैग्रेंजियन में)। निर्देशांक और फ़ील्ड की पुनर्परिभाषा अब स्केलिंग घातांक को निर्धारित करने को दर्शाती है $N$ वेववेक्टर के संबंध में एक आयामी विश्लेषण के बराबर है $k$, लैग्रेंजियन में होने वाले सभी युग्मन स्थिरांक को आयामहीन बना दिया गया है। आयाम रहित युग्मन स्थिरांक ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम के लिए तकनीकी पहचान हैं।

लैग्रेंजियन के स्तर पर अनुभवहीन स्केलिंग सीधे तौर पर भौतिक स्केलिंग से मेल नहीं खाती है क्योंकि क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और पथ अभिन्न सूत्रीकरण को अर्थ देने के लिए एक कटऑफ (भौतिकी) की आवश्यकता होती है। लंबाई के पैमाने को बदलने से स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या भी बदल जाती है। इस जटिलता को पुनर्सामान्यीकरण समूह द्वारा ध्यान में रखा जाता है। ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम पर मुख्य परिणाम यह है कि बड़े कारकों के लिए स्केल इनवेरिएंस वैध रहता है $b$, लेकिन अतिरिक्त के साथ $ln(b)$ निर्देशांक और फ़ील्ड के स्केलिंग में कारक।

नीचे या ऊपर क्या होता है $d_{u}$ यह इस पर निर्भर करता है कि किसी की रुचि लंबी दूरी (सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत) में है या छोटी दूरी (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत) में। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत नीचे तुच्छ (अभिसरण) हैं $d_{u}$ और ऊपर पुनर्सामान्यीकरण योग्य नहीं है $d_{u}$. उपरोक्त सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत तुच्छ (अभिसारी) हैं $d_{u}$ और नीचे पुनर्सामान्यीकरण योग्य $d_{u}$. बाद के मामले में अनुभवहीन स्केलिंग प्रतिपादकों में असामान्य योगदान उत्पन्न होता है $N$. प्रभावी आलोचनात्मक प्रतिपादकों के लिए ये असामान्य योगदान ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम पर गायब हो जाते हैं।

यह देखना शिक्षाप्रद है कि ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम पर स्केल इनवेरिएंस इस आयाम के नीचे स्केल इनवेरिएंस कैसे बन जाता है। छोटे बाह्य तरंग सदिशों के लिए शीर्ष कार्य करता है $\Gamma$ उदाहरण के लिए, अतिरिक्त घातांक प्राप्त करें $\Gamma _{2}(k)\thicksim k^{2-\eta (d)}$. यदि इन घातांकों को एक मैट्रिक्स में डाला जाता है $A(d)$ (जिसमें केवल पहले कॉलम में मान हैं) स्केल इनवेरिएंस की स्थिति बन जाती है $\det(E+A(d))=0$. यह समीकरण तभी संतुष्ट हो सकता है जब शीर्ष फलनों के विषम घातांक किसी तरह से सहयोग करें। वास्तव में, शीर्ष फ़ंक्शन पदानुक्रमिक रूप से एक दूसरे पर निर्भर करते हैं। इस परस्पर निर्भरता को व्यक्त करने का एक तरीका डायसन-श्विंगर समीकरण हैं।

पर अनुभवहीन स्केलिंग $d_{u}$ इस प्रकार शून्यवें क्रम सन्निकटन के रूप में महत्वपूर्ण है। ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम पर अनुभवहीन स्केलिंग भी लैग्रेंजियन की शर्तों को प्रासंगिक, अप्रासंगिक या सीमांत के रूप में वर्गीकृत करती है। एक लैग्रेंजियन स्केलिंग के साथ संगत है यदि $x_{i}$- और $\phi _{i}$ -प्रतिपादक $E_{i,j}$ हाइपरप्लेन पर लेटें, उदाहरण के लिए ऊपर चित्र देखें। $N$ इस हाइपरप्लेन का एक सामान्य वेक्टर है।

निचला महत्वपूर्ण आयाम

निचला महत्वपूर्ण आयाम $d_{L}$ किसी दिए गए सार्वभौमिकता वर्ग के चरण संक्रमण का अंतिम आयाम है जिसके लिए यह चरण संक्रमण तब नहीं होता है जब आयाम को शुरू से बढ़ाया जाता है $d=1$.

एक क्रमबद्ध चरण की थर्मोडायनामिक स्थिरता एन्ट्रापी और ऊर्जा पर निर्भर करती है। मात्रात्मक रूप से यह डोमेन दीवार (स्ट्रिंग सिद्धांत) के प्रकार और उनके उतार-चढ़ाव मोड पर निर्भर करता है। ऐसा प्रतीत होता है कि क्षेत्र सिद्धांत के निचले महत्वपूर्ण आयाम को प्राप्त करने का कोई सामान्य औपचारिक तरीका नहीं है। सांख्यिकीय यांत्रिकी तर्कों के साथ निचली सीमाएँ प्राप्त की जा सकती हैं।

पहले छोटी दूरी की अंतःक्रियाओं वाली एक-आयामी प्रणाली पर विचार करें। एक डोमेन वॉल बनाने के लिए एक निश्चित ऊर्जा मात्रा की आवश्यकता होती है $\epsilon$. इस ऊर्जा को स्वतंत्रता की अन्य डिग्री से निकालने से एन्ट्रापी कम हो जाती है $\Delta S=-\epsilon /T$. इस एन्ट्रापी परिवर्तन की तुलना डोमेन वॉल की एन्ट्रापी से ही की जानी चाहिए। लंबाई की एक प्रणाली में $L$ वहाँ हैं $L/a$ डोमेन वॉल के लिए स्थितियाँ, (बोल्ट्ज़मैन सिद्धांत|बोल्ट्ज़मैन के सिद्धांत के अनुसार) एन्ट्रापी लाभ की ओर ले जाती हैं $\Delta S=k_{B}\log(L/a)$. शून्येतर तापमान के लिए $T$ और $L$ काफी बड़ा एन्ट्रापी लाभ हमेशा हावी रहता है, और इस प्रकार छोटी दूरी की अंतःक्रियाओं वाले एक-आयामी सिस्टम में कोई चरण संक्रमण नहीं होता है $T>0$. अंतरिक्ष आयाम $d_{1}=1$ इस प्रकार ऐसी प्रणालियों के निचले महत्वपूर्ण आयाम के लिए निचली सीमा है।

एक मजबूत निचली सीमा $d_{L}=2$ छोटी दूरी की अंतःक्रिया वाले सिस्टम और निरंतर समरूपता वाले ऑर्डर पैरामीटर के लिए समान तर्कों की सहायता से प्राप्त किया जा सकता है। इस मामले में मर्मिन-वैगनर प्रमेय|मर्मिन-वैगनर प्रमेय बताता है कि ऑर्डर पैरामीटर अपेक्षा मान गायब हो जाता है $d=2$ पर $T>0$, और इस प्रकार सामान्य प्रकार का कोई चरण संक्रमण नहीं होता है $d_{L}=2$ और नीचे।

शमन विकार वाली प्रणालियों के लिए इमरी और मा द्वारा दिया गया एक मानदंड प्रासंगिक हो सकता है. इन लेखकों ने यादृच्छिक क्षेत्र चुम्बकों के निचले महत्वपूर्ण आयाम को निर्धारित करने के लिए मानदंड का उपयोग किया।

बाहरी संबंध

• Kanon: A free windows program to determine the critical dimension, with examples, online help and mathematical details