विवृत क्वांटम प्रणाली

भौतिकी में, एक खुला क्वांटम सिस्टम एक क्वांटम यांत्रिकी-मैकेनिकल सिस्टम है जो बाहरी क्वांटम सिस्टम के साथ इंटरैक्ट करता है, जिसे पर्यावरण या स्नान के रूप में जाना जाता है। सामान्य तौर पर, ये इंटरैक्शन सिस्टम की गतिशीलता को महत्वपूर्ण रूप से बदल देते हैं और परिणामस्वरूप क्वांटम अपव्यय होता है, जिससे सिस्टम में मौजूद जानकारी उसके पर्यावरण में खो जाती है। चूँकि कोई भी क्वांटम प्रणाली अपने परिवेश से पूर्णतया पृथक नहीं होती, क्वांटम सिस्टम की सटीक समझ प्राप्त करने के लिए इन इंटरैक्शन के उपचार के लिए एक सैद्धांतिक ढांचा विकसित करना महत्वपूर्ण है।

ओपन क्वांटम सिस्टम के संदर्भ में विकसित तकनीकें क्वांटम प्रकाशिकी , क्वांटम यांत्रिकी में माप, क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी, क्वांटम सूचना विज्ञान, क्वांटम थर्मोडायनामिक्स, क्वांटम ब्रह्मांड विज्ञान, क्वांटम जीव विज्ञान और अर्ध-शास्त्रीय सन्निकटन जैसे क्षेत्रों में शक्तिशाली साबित हुई हैं।

क्वांटम प्रणाली और पर्यावरण

क्वांटम प्रणाली के संपूर्ण विवरण में पर्यावरण को शामिल करने की आवश्यकता होती है। परिणामी संयुक्त प्रणाली का पूरी तरह से वर्णन करने के लिए उसके पर्यावरण को शामिल करने की आवश्यकता होती है, जिसके परिणामस्वरूप एक नई प्रणाली बनती है जिसे केवल तभी पूरी तरह से वर्णित किया जा सकता है जब उसका पर्यावरण शामिल हो और इसी तरह। एम्बेडिंग की इस प्रक्रिया का अंतिम परिणाम एक तरंग तरंग क्रिया द्वारा वर्णित पूरे ब्रह्मांड की स्थिति है $\Psi$. तथ्य यह है कि प्रत्येक क्वांटम प्रणाली में कुछ हद तक खुलापन होता है, इसका मतलब यह भी है कि कोई भी क्वांटम प्रणाली कभी भी शुद्ध अवस्था में नहीं हो सकती है। एक शुद्ध अवस्था शून्य-तापमान वाली ज़मीनी अवस्था के समतुल्य एकात्मक होती है, जो थर्मोडायनामिक्स के तीसरे नियम द्वारा निषिद्ध है।

सिस्टम स्नान विभाजन

भले ही संयुक्त प्रणाली शुद्ध अवस्था में हो और तरंग फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया जा सकता हो $\Psi$, सामान्य तौर पर एक सबसिस्टम को वेवफंक्शन द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है। इस अवलोकन ने जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा प्रस्तुत घनत्व मैट्रिक्स, या घनत्व ऑपरेटरों की औपचारिकता को प्रेरित किया 1927 में और स्वतंत्र रूप से, लेकिन 1927 में लेव लैंडौ और 1946 में फ़ेलिक्स बलोच द्वारा कम व्यवस्थित रूप से। सामान्य तौर पर, एक उपप्रणाली की स्थिति का वर्णन घनत्व ऑपरेटर द्वारा किया जाता है $\rho$ और एक अवलोकनीय का अपेक्षित मूल्य $A$ अदिश गुणनफल द्वारा $(\rho \cdot A)={\rm {{tr}\{\rho A\}}}$. अकेले उपप्रणाली के अवलोकन के ज्ञान से यह जानने का कोई तरीका नहीं है कि संयुक्त प्रणाली शुद्ध है या नहीं। विशेष रूप से, यदि संयुक्त प्रणाली में क्वांटम उलझाव है, तो उपप्रणाली की स्थिति शुद्ध नहीं है।

गतिशीलता

सामान्य तौर पर, बंद क्वांटम सिस्टम के समय विकास का वर्णन सिस्टम पर कार्य करने वाले एकात्मक ऑपरेटरों द्वारा किया जाता है। हालाँकि, खुले सिस्टम के लिए, सिस्टम और उसके वातावरण के बीच की बातचीत इसे ऐसा बनाती है कि सिस्टम की गतिशीलता को अकेले एकात्मक ऑपरेटरों का उपयोग करके सटीक रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है।

क्वांटम प्रणालियों के समय के विकास को गति के प्रभावी समीकरणों को हल करके निर्धारित किया जा सकता है, जिन्हें मास्टर समीकरण के रूप में भी जाना जाता है, जो यह नियंत्रित करते हैं कि सिस्टम का वर्णन करने वाला घनत्व मैट्रिक्स समय के साथ कैसे बदलता है और सिस्टम से जुड़े अवलोकनों की गतिशीलता। हालाँकि, सामान्य तौर पर, जिस वातावरण को हम अपने सिस्टम के एक हिस्से के रूप में मॉडल करना चाहते हैं वह बहुत बड़ा और जटिल है, जो मास्टर समीकरणों का सटीक समाधान खोजना असंभव नहीं तो कठिन बना देता है। इस प्रकार, ओपन क्वांटम सिस्टम का सिद्धांत सिस्टम की गतिशीलता और उसके अवलोकनों का किफायती उपचार चाहता है। रुचि के विशिष्ट अवलोकनों में ऊर्जा और क्वांटम सुसंगतता की मजबूती (यानी राज्य की सुसंगतता का एक उपाय) जैसी चीजें शामिल हैं। पर्यावरण में ऊर्जा की हानि को क्वांटम अपव्यय कहा जाता है, जबकि सुसंगतता की हानि को क्वांटम डीकोहेरेंस कहा जाता है।

किसी विशेष प्रणाली और वातावरण के लिए मास्टर समीकरणों के समाधान निर्धारित करने की कठिनाई के कारण, विभिन्न प्रकार की तकनीकें और दृष्टिकोण विकसित किए गए हैं। एक सामान्य उद्देश्य एक संक्षिप्त विवरण प्राप्त करना है जिसमें सिस्टम की गतिशीलता को स्पष्ट रूप से माना जाता है और स्नान की गतिशीलता को अंतर्निहित रूप से वर्णित किया जाता है। मुख्य धारणा यह है कि संपूर्ण सिस्टम-पर्यावरण संयोजन एक बड़ी बंद प्रणाली है। इसलिए, इसका समय विकास वैश्विक हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) द्वारा उत्पन्न एकात्मक परिवर्तन द्वारा नियंत्रित होता है। संयुक्त प्रणाली स्नान परिदृश्य के लिए वैश्विक हैमिल्टनियन को इसमें विघटित किया जा सकता है:

$H=H_{\rm {S}}+H_{\rm {B}}+H_{\rm {SB}}$

कहाँ $H_{\rm {S}}$ सिस्टम का हैमिल्टनियन है, $H_{\rm {B}}$ स्नान हैमिल्टनियन है और $H_{\rm {SB}}$ सिस्टम-बाथ इंटरेक्शन है। सिस्टम की स्थिति को संयुक्त सिस्टम और स्नान पर आंशिक ट्रेस से प्राप्त किया जा सकता है: $\rho _{\rm {S}}(t)={\rm {{tr}_{\rm {B}}\{\rho _{SB}(t)\}}}$. एक और आम धारणा जिसका उपयोग सिस्टम को हल करना आसान बनाने के लिए किया जाता है वह यह धारणा है कि अगले क्षण सिस्टम की स्थिति केवल सिस्टम की वर्तमान स्थिति पर निर्भर करती है। दूसरे शब्दों में, सिस्टम के पास अपनी पिछली स्थितियों की स्मृति नहीं है। जिन प्रणालियों में यह गुण होता है उन्हें मार्कोवियन संपत्ति प्रणाली के रूप में जाना जाता है। यह अनुमान उचित है जब प्रश्न में सिस्टम के पास अपने पर्यावरण के साथ बातचीत से फिर से परेशान होने से पहले सिस्टम को संतुलन में आराम करने के लिए पर्याप्त समय होता है। उन प्रणालियों के लिए जिनके युग्मन से उनके वातावरण में बहुत तेज़ या बहुत बार-बार गड़बड़ी होती है, यह अनुमान बहुत कम सटीक हो जाता है।

मार्कोवियन समीकरण

जब सिस्टम और पर्यावरण के बीच बातचीत कमजोर होती है, तो सिस्टम के विकास के इलाज के लिए समय-निर्भर गड़बड़ी सिद्धांत उपयुक्त लगता है। दूसरे शब्दों में, यदि सिस्टम और उसके पर्यावरण के बीच बातचीत कमजोर है, तो समय के साथ संयुक्त सिस्टम में कोई भी बदलाव केवल संबंधित सिस्टम से उत्पन्न होने वाला माना जा सकता है। एक और विशिष्ट धारणा यह है कि सिस्टम और स्नान शुरू में असंबद्ध हैं $\rho (0)=\rho _{\rm {S}}\otimes \rho _{\rm {B}}$. यह विचार फेलिक्स बलोच के साथ उत्पन्न हुआ था और रेडफील्ड समीकरण की व्युत्पत्ति में अल्फ्रेड रेडफील्ड द्वारा इसका विस्तार किया गया था। रेडफील्ड समीकरण एक मार्कोवियन मास्टर समीकरण है जो संयुक्त प्रणाली के घनत्व मैट्रिक्स के समय विकास का वर्णन करता है। रेडफील्ड समीकरण का दोष यह है कि यह घनत्व ऑपरेटर के सकारात्मक तत्व को संरक्षित नहीं करता है।

मार्कोवियन संपत्ति के साथ गति के स्थानीय समीकरण का औपचारिक निर्माण कम व्युत्पत्ति का एक विकल्प है। यह सिद्धांत स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण पर आधारित है। मूल प्रारंभिक बिंदु पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्र है। धारणा यह है कि प्रारंभिक सिस्टम-पर्यावरण स्थिति असंबंधित है $\rho (0)=\rho _{\rm {S}}\otimes \rho _{\rm {B}}$ और संयुक्त गतिशीलता एक एकात्मक संचालक द्वारा उत्पन्न होती है। ऐसा मानचित्र क्रॉस ऑपरेटर की श्रेणी में आता है। मार्कोवियन संपत्ति के साथ समय-सजातीय मास्टर समीकरण का सबसे सामान्य प्रकार जो घनत्व मैट्रिक्स ρ के गैर-एकात्मक विकास का वर्णन करता है जो ट्रेस-संरक्षित है और किसी भी प्रारंभिक स्थिति के लिए पूरी तरह से सकारात्मक है, गोरिनी-कोसाकोव्स्की-सुदर्शन-लिंडब्लैड समीकरण या जीकेएसएल समीकरण है :

${\dot {\rho }}_{\rm {S}}=-{i \over \hbar }[H_{\rm {S}},\rho _{\rm {S}}]+{\cal {L}}_{\rm {D}}(\rho _{\rm {S}})$

$H_{\rm {S}}$ एक (हर्मिटियन) हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) भाग है और ${\cal {L}}_{\rm {D}}$:

${\cal {L}}_{\rm {D}}(\rho _{\rm {S}})=\sum _{n}\left(V_{n}\rho _{\rm {S}}V_{n}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(\rho _{\rm {S}}V_{n}^{\dagger }V_{n}+V_{n}^{\dagger }V_{n}\rho _{\rm {S}}\right)\right)$

सिस्टम ऑपरेटरों के माध्यम से परोक्ष रूप से वर्णन करने वाला विघटनकारी भाग है $V_{n}$ तंत्र पर स्नान का प्रभाव. मार्कोव संपत्ति का मानना ​​है कि सिस्टम और स्नानघर हर समय असंबद्ध हैं $\rho _{\rm {SB}}=\rho _{\rm {S}}\otimes \rho _{\rm {B}}$. जीकेएसएल समीकरण यूनिडायरेक्शनल है और किसी भी प्रारंभिक स्थिति का नेतृत्व करता है $\rho _{\rm {S}}$ एक स्थिर अवस्था समाधान के लिए जो गति के समीकरण का एक अपरिवर्तनीय है ${\dot {\rho }}_{\rm {S}}(t\rightarrow \infty )=0$. जीकेएसएल समीकरण द्वारा उत्पन्न मानचित्रों का परिवार एक क्वांटम गतिशील अर्धसमूह बनाता है। क्वांटम ऑप्टिक्स जैसे कुछ क्षेत्रों में, लिंडब्लैड सुपर ऑपरेटर शब्द का उपयोग अक्सर एक विघटनकारी प्रणाली के लिए क्वांटम मास्टर समीकरण को व्यक्त करने के लिए किया जाता है। ई.बी. डेविस ने मार्कोवियन संपत्ति मास्टर समीकरणों के साथ जीकेएसएल को गड़बड़ी सिद्धांत और घूर्णन तरंग या धर्मनिरपेक्ष जैसे अतिरिक्त अनुमानों का उपयोग करके प्राप्त किया, इस प्रकार रेडफील्ड समीकरण की खामियों को ठीक किया गया। डेविस निर्माण थर्मल संतुलन यानी केएमएस राज्य के लिए कुबो-मार्टिन-श्विंगर स्थिरता मानदंड के अनुरूप है। रेडफ़ील्ड को ठीक करने के लिए एक वैकल्पिक दृष्टिकोण जे. थिंगना, जे.-एस. द्वारा प्रस्तावित किया गया है। वांग, और पी. हांग्गी जो कि सिस्टम-बाथ इंटरैक्शन को KMS स्थिति से भिन्न संतुलन में भूमिका निभाने की अनुमति देता है।

1981 में, अमीर काल्डेरा और एंथोनी जे. लेगेट ने एक सरलीकृत धारणा का प्रस्ताव रखा जिसमें स्नान को सामान्य मोड में विघटित किया जाता है जिसे सिस्टम से रैखिक रूप से जुड़े हार्मोनिक ऑसिलेटर के रूप में दर्शाया जाता है। परिणामस्वरूप, स्नान के प्रभाव को स्नान वर्णक्रमीय कार्य द्वारा संक्षेपित किया जा सकता है। इस विधि को कैल्डेरा-लेगेट मॉडल|कैल्डेरा-लेगेट मॉडल, या हार्मोनिक बाथ मॉडल के रूप में जाना जाता है। आगे बढ़ने और स्पष्ट समाधान प्राप्त करने के लिए, क्वांटम यांत्रिकी के पथ अभिन्न सूत्रीकरण विवरण को आम तौर पर नियोजित किया जाता है। इस पद्धति के पीछे की शक्ति का एक बड़ा हिस्सा यह तथ्य है कि सिस्टम और स्नान के बीच मौजूद वास्तविक युग्मन की तुलना में हार्मोनिक ऑसिलेटर अपेक्षाकृत अच्छी तरह से समझे जाते हैं। दुर्भाग्य से, जबकि काल्डेरा-लेगेट मॉडल वह है जो क्वांटम अपव्यय की एक भौतिक रूप से सुसंगत तस्वीर की ओर ले जाता है, इसके एर्गोडिसिटी गुण बहुत कमजोर हैं और इसलिए मॉडल की गतिशीलता स्नान मोड के बीच व्यापक पैमाने पर क्वांटम उलझाव उत्पन्न नहीं करती है।

एक वैकल्पिक स्नान मॉडल स्पिन स्नान है। कम तापमान और कमजोर सिस्टम-बाथ कपलिंग पर, कैल्डेरा-लेगेट और स्पिन बाथ मॉडल समकक्ष हैं। लेकिन उच्च तापमान या मजबूत सिस्टम-बाथ कपलिंग के लिए, स्पिन बाथ मॉडल में मजबूत एर्गोडिक गुण होते हैं। एक बार जब सिस्टम युग्मित हो जाता है, तो सभी मोड के बीच महत्वपूर्ण उलझाव उत्पन्न हो जाता है। दूसरे शब्दों में, स्पिन बाथ मॉडल कैल्डेरा-लेगेट मॉडल का अनुकरण कर सकता है, लेकिन विपरीत सच नहीं है।

स्पिन स्नान से जुड़े प्राकृतिक तंत्र का एक उदाहरण हीरे में एन-वी केंद्र|नाइट्रोजन-रिक्ति (एन-वी) केंद्र है। इस उदाहरण में, रंग केंद्र प्रणाली है और स्नान में कार्बन-13 (¹³सी) अशुद्धियाँ जो चुंबकीय द्विध्रुव-द्विध्रुव इंटरैक्शन के माध्यम से सिस्टम के साथ बातचीत करती हैं।

खुली क्वांटम प्रणालियों के लिए जहां स्नान में दोलन होते हैं जो विशेष रूप से तेज़ होते हैं, समय में पर्याप्त बड़े बदलावों को देखकर उन्हें औसत करना संभव है। यह संभव है क्योंकि बड़े समय पैमाने पर तेज़ दोलनों का औसत आयाम केंद्रीय मान के बराबर होता है, जिसे ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ मामूली बदलाव के साथ हमेशा शून्य चुना जा सकता है। समस्याओं को सरल बनाने की इस पद्धति को धर्मनिरपेक्ष सन्निकटन के रूप में जाना जाता है।

गैर-मार्कोवियन समीकरण

खुली क्वांटम प्रणालियाँ जिनमें मार्कोवियन संपत्ति नहीं होती, उन्हें हल करना आम तौर पर अधिक कठिन होता है। यह काफी हद तक इस तथ्य के कारण है कि गैर-मार्कोवियन प्रणाली की अगली स्थिति उसके प्रत्येक पिछले राज्य द्वारा निर्धारित होती है, जो सिस्टम के विकास की गणना करने के लिए मेमोरी आवश्यकताओं को तेजी से बढ़ाती है। वर्तमान में, इन प्रणालियों के उपचार के तरीकों को प्रोजेक्शन (रैखिक बीजगणित) तकनीकों के रूप में जाना जाता है। ये तकनीकें एक प्रक्षेपण ऑपरेटर को नियोजित करती हैं ${\mathcal {P}}$, जो पहले बताए अनुसार पर्यावरण पर प्रभावी ढंग से ट्रेस लागू करता है। आवेदन करने का परिणाम ${\mathcal {P}}$ को $\rho$(अर्थात् गणना करना ${\mathcal {P}}\rho$) का प्रासंगिक भाग कहलाता है $\rho$. पूर्णता के लिए, एक अन्य ऑपरेटर ${\mathcal {Q}}$ परिभाषित किया गया है ताकि ${\mathcal {P}}+{\mathcal {Q}}={\mathcal {I}}$ कहाँ ${\mathcal {I}}$ पहचान मैट्रिक्स है. आवेदन करने का परिणाम ${\mathcal {Q}}$ को $\rho$(अर्थात् गणना करना ${\mathcal {Q}}\rho$) का अप्रासंगिक भाग कहलाता है $\rho$. इन विधियों का प्राथमिक लक्ष्य एक मास्टर समीकरण प्राप्त करना है जो विकास को परिभाषित करता है ${\mathcal {P}}\rho$.

प्रक्षेपण ऑपरेटर तकनीक का उपयोग करके ऐसी एक व्युत्पत्ति का परिणाम नकाजिमा-ज़्वानज़िग समीकरण के रूप में जाना जाता है। यह व्युत्पत्ति समय में गैर-स्थानीय होने के कारण घटी हुई गतिशीलता की समस्या पर प्रकाश डालती है:

$\partial _{t}{\rho }_{\mathrm {S} }={\mathcal {P}}{\cal {L}}{{\rho }_{\mathrm {S} }}+\int _{0}^{t}{dt'{\mathcal {K}}({t}'){{\rho }_{\mathrm {S} }}(t-{t}')}.$

यहां तंत्र के संपूर्ण विकास के दौरान स्नान का प्रभाव मेमोरी कर्नेल में छिपा हुआ है $\kappa (\tau )$. जबकि नाकाजिमा-ज़्वानज़िग समीकरण एक सटीक समीकरण है जो लगभग सभी खुले क्वांटम सिस्टम और वातावरण के लिए लागू होता है, इसे हल करना बहुत मुश्किल हो सकता है। इसका मतलब यह है कि समस्या की जटिलता को कम करके अधिक प्रबंधनीय बनाने के लिए आम तौर पर सन्निकटन की आवश्यकता होती है। उदाहरण के तौर पर, समय स्थानीय समीकरण को जन्म देने के लिए तेजी से स्नान की धारणा आवश्यक है: $\partial _{t}\rho _{S}={\cal {L}}\rho _{S}$. वैध सन्निकटन के अन्य उदाहरणों में कमजोर-युग्मन सन्निकटन और एकल-युग्मन सन्निकटन शामिल हैं।

कुछ मामलों में, प्रक्षेपण ऑपरेटर तकनीक का उपयोग सिस्टम की अगली स्थिति की उसके सभी पिछले राज्यों पर निर्भरता को कम करने के लिए किया जा सकता है। खुले क्वांटम सिस्टम तक पहुंचने की इस पद्धति को समय-कन्वॉल्यूशन रहित प्रक्षेपण ऑपरेटर तकनीक के रूप में जाना जाता है, और इसका उपयोग मास्टर समीकरण उत्पन्न करने के लिए किया जाता है जो समय में स्वाभाविक रूप से स्थानीय होते हैं। चूँकि ये समीकरण प्रणाली के इतिहास की अधिक उपेक्षा कर सकते हैं, इसलिए इन्हें नकाजिमा-ज़्वानज़िग समीकरण जैसी चीज़ों की तुलना में हल करना अक्सर आसान होता है।

एक अन्य दृष्टिकोण रोगो कुबो और वाई. तनिमुरा द्वारा विकसित शास्त्रीय अपव्यय सिद्धांत के एक एनालॉग के रूप में उभरता है। यह दृष्टिकोण गति के पदानुक्रमित समीकरणों से जुड़ा है जो घनत्व ऑपरेटर को सहायक ऑपरेटरों के एक बड़े स्थान में एम्बेड करता है जैसे कि पूरे सेट के लिए एक समय स्थानीय समीकरण प्राप्त होता है और उनकी मेमोरी सहायक ऑपरेटरों में समाहित होती है।

यह भी देखें

• लिंडब्लाड समीकरण
• मार्कोव संपत्ति
• मास्टर समीकरण
• क्वांटम थर्मोडायनामिक्स

संदर्भ

अवर्गीकृत संदर्भ

• Accardi, Luigi; Lu, Yun Gang; Volovich, I.V. (2002). क्वांटम सिद्धांत और इसकी स्टोकेस्टिक सीमा. New York: Springer Verlag. ISBN 978-3-540-41928-0.
• Alicki, Robert; Lendi, Karl (1987). क्वांटम डायनामिकल सेमीग्रुप और अनुप्रयोग. Berlin: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-18276-6.
• Attal, Stéphane; Joye, Alain; Pillet, Claude-Alain (2006). ओपन क्वांटम सिस्टम II: मार्कोवियन दृष्टिकोण. Springer. ISBN 978-3-540-30992-5.
• Davies, Edward Brian (1976). ओपन सिस्टम का क्वांटम सिद्धांत. London: Academic Press. ISBN 978-0-12-206150-9.
• Ingarden, Roman S.; Kossakowski, A.; Ohya, M. (1997). सूचना गतिशीलता और खुली प्रणालियाँ: शास्त्रीय और क्वांटम दृष्टिकोण. New York: Springer Verlag. ISBN 978-0-7923-4473-5.
• Lindblad, G. (1983). गैर-संतुलन एन्ट्रॉपी और अपरिवर्तनीयता. Dordrecht: Delta Reidel. ISBN 978-1-4020-0320-2.
• Okolowicz, J.; Płoszajczak, M.; Nazarewicz, W. (2012). "परमाणु क्लस्टरिंग की उत्पत्ति पर". Progress of Theoretical Physics Supplement. 196: 230–243. arXiv:1202.6290. Bibcode:2012PThPS.196..230O. doi:10.1143/PTPS.196.230. S2CID 119109268.
• Tarasov, Vasily E. (2008). गैर-हैमिल्टनियन और डिसिपेटिव सिस्टम के क्वांटम यांत्रिकी. Amsterdam, Boston, London, New York: Elsevier Science. ISBN 978-0-08-055971-1.
• Weiss, Ulrich (2012). क्वांटम डिसिपेटिव सिस्टम (4th ed.). World Scientific. ISBN 978-981-4374-91-0.
• Wiseman, Howard M.; Milburn, Gerard J. (2010). क्वांटम मापन और नियंत्रण. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80442-4.

बाहरी संबंध

• Learning materials related to Open Quantum Systems at Wikiversity