स्रोत क्षेत्र

सैद्धांतिक भौतिकी में, स्रोत क्षेत्र पृष्ठभूमि क्षेत्र होता है $J$ मूल फ़ील्ड से जुड़ा हुआ $\phi$ जैसा

$S_{source}=J\phi$.

यह शब्द फेनमैन के पथ अभिन्न सूत्रीकरण में क्रिया में प्रकट होता है और सिद्धांत अंतःक्रियाओं के लिए जिम्मेदार है। श्विंगर के सूत्रीकरण में स्रोत कणों को बनाने या नष्ट करने (पता लगाने) के लिए जिम्मेदार है। टकराव की प्रतिक्रिया में स्रोत टकराव में अन्य कणों को शामिल कर सकता है। इसलिए, स्रोत सिद्धांत के सहसंबंध फ़ंक्शन (क्वांटम फ़ील्ड सिद्धांत) पर दोनों तरफ से अभिनय करने वाले वैक्यूम आयाम में दिखाई देता है।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत#स्रोत सिद्धांत|श्विंगर का स्रोत सिद्धांत, श्विंगर के क्वांटम क्रिया सिद्धांत से उत्पन्न होता है और स्रोत के संबंध में भिन्नता के रूप में पथ अभिन्न सूत्रीकरण से संबंधित हो सकता है $\delta J$ क्षेत्र से मेल खाता है $\phi$, अर्थात।

$\delta J=\int {\mathcal {D}}\phi ~e^{-i\int dt~J(t)\phi (t)}$.

इसके अलावा, स्रोत प्रभावी कार्रवाई करता है स्पेसटाइम के क्षेत्र में. जैसा कि नीचे दिए गए उदाहरणों में देखा जा सकता है, स्रोत फ़ील्ड गति के समीकरणों (आमतौर पर दूसरे क्रम के आंशिक अंतर समीकरण) के दाईं ओर दिखाई देता है $\phi$. जब मैदान $\phi$ विद्युत चुम्बकीय क्षमता या मीट्रिक टेंसर है, स्रोत क्षेत्र क्रमशः विद्युत प्रवाह या तनाव-ऊर्जा टेंसर है।

सांख्यिकीय और गैर-सापेक्षतावादी अनुप्रयोगों के संदर्भ में, श्विंगर का स्रोत सूत्रीकरण कई गैर-संतुलन प्रणालियों को समझने में महत्वपूर्ण नियम निभाता है। स्रोत सिद्धांत सैद्धांतिक रूप से महत्वपूर्ण है क्योंकि इसमें न तो विचलन नियमितीकरण और न ही पुनर्सामान्यीकरण की आवश्यकता है।

पथ अभिन्न सूत्रीकरण और स्रोत सूत्रीकरण के बीच संबंध

फेनमैन के पथ में सामान्यीकरण के साथ अभिन्न सूत्रीकरण ${\mathcal {N}}\equiv Z[J=0]$, विभाजन फलन (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत)

$Z[J]={\mathcal {N}}\int {\mathcal {D}}\phi ~e^{-i\int dt~[{\mathcal {L}}(t;\phi ,{\dot {\phi }})+J(t)\phi (t)]}$

प्रोपेगेटर उत्पन्न करता है|ग्रीन के कार्य (सहसंबंध कार्य (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत))

$G(t_{1},\cdots ,t_{N})={\frac {\delta }{i\delta J(t_{1})}}\cdots {\frac {\delta }{i\delta J(t_{N})}}Z[J]{\Bigg |}_{J=0}$ .

इसे साकार करने के लिए व्यक्ति क्वांटम वैरिएबल पद्धति को लागू करता है $J$ का बाहरी ड्राइविंग स्रोत है $\phi$. संभाव्यता सिद्धांत के दृष्टिकोण से, $Z[J]$ फ़ंक्शन के अपेक्षित मूल्य के रूप में देखा जा सकता है $e^{J\phi }$. यह फोर्स्ड हार्मोनिक ऑसिलेटर के हैमिल्टनियन को खिलौना मॉडल के रूप में मानने के लिए प्रेरित करता है

${\mathcal {H}}=E{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\frac {1}{\sqrt {2E}}}(J{\hat {a}}^{\dagger }+J^{*}a)$ कहाँ $E^{2}=m^{2}+{\vec {p}}^{2}$.

वास्तव में, धारा वास्तविक है, अर्थात् $J=J^{*}$. और लैग्रेंजियन है ${\mathcal {L}}=i{\hat {a}}^{\dagger }\partial _{0}({\hat {a}})-{\mathcal {H}}$ . अब से हम टोपी और तारांकन हटा देते हैं। याद रखें कि विहित परिमाणीकरण#वास्तविक अदिश क्षेत्र बताता है $\phi \sim (a^{\dagger }+a)$. विभाजन फ़ंक्शन और उसके सहसंबंधकों के बीच संबंध के प्रकाश में, निर्वात आयाम की भिन्नता मिलती है

$\delta _{J}\langle 0,x'_{0}|0,x''_{0}\rangle _{J}=i{\Big \langle }0,x'_{0}{\Big |}\int _{x''_{0}}^{x'_{0}}dx_{0}~\delta J{\Big (}a^{\dagger }+a{\Big )}{\Big |}0,x''_{0}~{\Big \rangle }_{J}$, कहाँ $x_{0}'>x_{0}>x_{0}''$ .

चूंकि अभिन्न अंग समय क्षेत्र में है, कोई फूरियर इसे निर्माण/विनाश ऑपरेटरों के साथ मिलकर रूपांतरित कर सकता है, जैसे कि आयाम अंततः बन जाता है

$\langle 0,x'_{0}|0,x''_{0}\rangle _{J}=\exp {{\Big [}{\frac {i}{2\pi }}\int df~J(f){\frac {1}{f-E}}J(-f){\Big ]}}$.

यह नोटिस करना आसान है कि यहां विलक्षणता है $f=E$ . फिर, हम इसका फायदा उठा सकते हैं $i\epsilon$-प्रिस्क्रिप्शन और पोल को शिफ्ट करें $f-E+i\epsilon$ ऐसे कि के लिए $x_{0}>x_{0}'$ ग्रीन के कार्य का पता चला है

${\begin{aligned}\langle 0|0\rangle _{J}&=\exp {{\Big [}{\frac {i}{2}}\int dx_{0}~dx'_{0}J(x_{0})\Delta (x_{0}-x'_{0})J(x'_{0}){\Big ]}}\\&\Delta (x_{0}-x'_{0})=\int {\frac {df}{2\pi }}{\frac {e^{-if(x_{0}-x'_{0})}}{f-E+i\epsilon }}\end{aligned}}$

अंतिम परिणाम अदिश क्षेत्रों की परस्पर क्रिया के लिए श्विंगर का स्रोत सिद्धांत है और इसे किसी भी स्पेसटाइम क्षेत्र में सामान्यीकृत किया जा सकता है। नीचे चर्चा किए गए उदाहरण मीट्रिक का अनुसरण करते हैं $\eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(1,-1,-1,-1)$.

अदिश क्षेत्रों के लिए स्रोत सिद्धांत

कारण गड़बड़ी सिद्धांत बताता है कि स्रोत कैसे कमजोर तरीके से कार्य करते हैं। स्पिन-0 कणों का उत्सर्जन करने वाले कमजोर स्रोत के लिए $J_{e}$ संभाव्यता आयाम के साथ क्वांटम निर्वात अवस्था पर कार्य करके $\langle 0|0\rangle _{J_{e}}\sim 1$, गति वाला कण $p$ और आयाम $\langle p|0\rangle _{J_{e}}$ निश्चित स्पेसटाइम क्षेत्र के भीतर बनाया गया है $x'$. फिर, और कमजोर स्रोत $J_{a}$ उस एकल कण को ​​दूसरे अंतरिक्ष-समय क्षेत्र में अवशोषित कर लेता है $x$ इस प्रकार कि आयाम बन जाता है $\langle 0|p\rangle _{J_{a}}$. इस प्रकार, पूर्ण निर्वात आयाम द्वारा दिया जाता है

$\langle 0|0\rangle _{J_{e}+J_{a}}\sim 1+{\frac {i}{2}}\int dx~dx'J_{a}(x)\Delta (x-x')J_{e}(x')$

कहाँ $\Delta (x-x')$ सूत्रों का प्रचारक (सहसंबंधक) है। अंतिम आयाम का दूसरा पद विभाजन फलन (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत)#मुक्त सिद्धांतों को परिभाषित करता है। और कुछ अंतःक्रिया सिद्धांत के लिए, अदिश क्षेत्र का लैग्रेंजियन $\phi$ धारा से जुड़ा हुआ $J$ द्वारा दिया गया है

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+J\phi .$ यदि कोई जोड़ता है $-i\epsilon$ बड़े पैमाने पर तब फूरियर दोनों को रूपांतरित करता है $J$ और $\phi$ संवेग स्थान पर, निर्वात आयाम बन जाता है

$\langle 0|0\rangle =\exp {\left({\frac {i}{2}}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\left[{\tilde {\phi }}(p)(p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon ){\tilde {\phi }}(-p)+J(p){\frac {1}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon }}J(-p)\right]\right)}$,

कहाँ ${\tilde {\phi }}(p)=\phi (p)+{\frac {J(p)}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon }}.$ यह नोटिस करना आसान है कि ${\tilde {\phi }}(p)(p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon ){\tilde {\phi }}(-p)$ उपरोक्त आयाम में पद को फूरियर में रूपांतरित किया जा सकता है ${\tilde {\phi }}(x)(\Box +m^{2}){\tilde {\phi }}(x)={\tilde {\phi }}(x)J(x)$, अर्थात।, $(\Box +m^{2}){\tilde {\phi }}=J$.

इस प्रकार, विभाजन फलन (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत)#स्केलर सिद्धांत विभाजन फलन से निम्नानुसार प्राप्त किया जाता है। अंतिम परिणाम हमें विभाजन फ़ंक्शन को इस प्रकार पढ़ने की अनुमति देता है

$Z[J]=Z[0]e^{{\frac {i}{2}}\langle J(y)\Delta (y-y')J(y')\rangle }$, कहाँ $Z[0]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}~e^{-i\int dt~[{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }{\tilde {\phi }}\partial ^{\mu }{\tilde {\phi }}-{\frac {1}{2}}(m^{2}-i\epsilon ){\tilde {\phi }}^{2}]}$, और $\langle J(y)\Delta (y-y')J(y')\rangle$ स्रोत द्वारा प्राप्त निर्वात आयाम है $\langle 0|0\rangle _{J}$. नतीजतन, प्रचारक को विभाजन फ़ंक्शन को निम्नानुसार अलग करके परिभाषित किया गया है।

${\begin{aligned}{\frac {-1}{Z[0]}}{\frac {\delta ^{2}Z[J]}{\delta J(x)\delta J(x')}}{\Bigg \vert }_{J=0}&={\frac {-1}{2Z[0]}}{\frac {\delta }{\delta J(x)}}{\Bigg \{}Z[J]\left(\int d^{4}y'\Delta (x'-y')J(y')+\int d^{4}yJ(y)\Delta (y-x')\right){\Bigg \}}{\Bigg \vert }_{J=0}={\frac {Z[J]}{Z[0]}}\Delta (x-x'){\Bigg \vert }_{J=0}\\\quad \\&=\Delta (x-x').\end{aligned}}$

यह नीचे माध्य क्षेत्र सन्निकटन पर चर्चा करने को प्रेरित करता है।

प्रभावी क्रिया, माध्य क्षेत्र सन्निकटन, और शीर्ष फलन

श्विंगर के स्रोत सिद्धांत के आधार पर, स्टीवन वेनबर्ग ने प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत की नींव स्थापित की, जिसे भौतिकविदों के बीच व्यापक रूप से सराहा गया है। जूलियन श्विंगर#कैरियर के बावजूद, वेनबर्ग ने इस सैद्धांतिक ढांचे को उत्प्रेरित करने का श्रेय श्विंगर को दिया।

ग्रीन के सभी कार्यों को औपचारिक रूप से विभाजन राशि के टेलर विस्तार के माध्यम से स्रोत क्षेत्रों के फ़ंक्शन के रूप में माना जा सकता है। यह विधि आमतौर पर क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के पथ अभिन्न सूत्रीकरण में उपयोग की जाती है। सामान्य विधि जिसके द्वारा ऐसे स्रोत क्षेत्रों का उपयोग क्वांटम, सांख्यिकीय-यांत्रिकी और अन्य प्रणालियों दोनों में प्रचारक प्राप्त करने के लिए किया जाता है, निम्नानुसार उल्लिखित है। विक-घुमाए गए आयाम के संदर्भ में विभाजन फ़ंक्शन को फिर से परिभाषित करने पर $W[J]=-i\ln(\langle 0|0\rangle _{J})$, विभाजन फ़ंक्शन बन जाता है $Z[J]=e^{iW[J]}$. कोई परिचय करा सकता है $F[J]=iW[J]$, जो थर्मल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में मुक्त ऊर्जा के रूप में व्यवहार करता है, जटिल संख्या को अवशोषित करने के लिए, और इसलिए $\ln Z[J]=F[J]$. कार्यक्रम $F[J]$ इसे घटी हुई क्वांटम क्रिया भी कहा जाता है। और पौराणिक परिवर्तन की मदद से, हम नई प्रभावी ऊर्जा कार्यात्मकता का आविष्कार कर सकते हैं, या प्रभावी कार्रवाई, जैसे

$\Gamma [{\bar {\phi }}]=W[J]-\int d^{4}xJ(x){\bar {\phi }}(x)$, परिवर्तनों के साथ

${\frac {\delta W}{\delta J}}={\bar {\phi }}~,~{\frac {\delta W}{\delta J}}{\Bigg |}_{J=0}=\langle \phi \rangle ~,~{\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}}}{\Bigg |}_{J}=-J~,~{\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}}}{\Bigg |}_{{\bar {\phi }}=\langle \phi \rangle }=0.$

प्रभावी कार्रवाई की परिभाषा में एकीकरण को सम ओवर से बदलने की अनुमति है $\phi$, अर्थात।, $\Gamma [{\bar {\phi }}]=W[J]-J_{a}(x){\bar {\phi }}^{a}(x)$.

$\langle \phi \rangle$ h> को माध्य-क्षेत्र सिद्धांत स्पष्ट रूप से इसलिए कहा जाता है $\langle \phi \rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi ~e^{-i\int dt~[{\mathcal {L}}(t;\phi ,{\dot {\phi }})+J(t)\phi (t)]}~\phi ~}{Z[J]/{\mathcal {N}}}}$, जबकि ${\bar {\phi }}$ पृष्ठभूमि फ़ील्ड विधि है.एक मैदान $\phi$ शास्त्रीय भाग में विघटित हो गया है ${\bar {\phi }}$ और उतार-चढ़ाव वाला हिस्सा $\eta$, अर्थात।, $\phi ={\bar {\phi }}+\eta$, इसलिए निर्वात आयाम को इस रूप में पुनः प्रस्तुत किया जा सकता है

$e^{i\Gamma [{\bar {\phi }}]}={\mathcal {N}}\int \exp {{\Bigg \{}i{\Big [}S[\phi ]-{\Big (}{\frac {\delta }{\delta {\bar {\phi }}}}\Gamma [{\bar {\phi }}]{\Big )}\eta {\Big ]}}{\Bigg \}}~d\phi$,

और कोई भी फ़ंक्शन ${\mathcal {F}}[\phi ]$ परिभाषित किया जाता है

$\langle {\mathcal {F}}[\phi ]\rangle =e^{-i\Gamma [{\bar {\phi }}]}~{\mathcal {N}}\int {\mathcal {F}}[\phi ]~\exp {{\Bigg \{}i{\Big [}S[\phi ]-{\Big (}{\frac {\delta }{\delta {\bar {\phi }}}}\Gamma [{\bar {\phi }}]{\Big )}\eta {\Big ]}}{\Bigg \}}~d\phi$,

कहाँ $S[\phi ]$ मुक्त लैग्रेन्जियन की क्रिया है। अंतिम दो अभिन्न अंग किसी भी प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत के स्तंभ हैं। यह निर्माण प्रकीर्णन (एलएसजेड कटौती सूत्र), सहज समरूपता टूटने, का अध्ययन करने में अपरिहार्य है। वार्ड पहचान, गैर-रेखीय सिग्मा मॉडल, और प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत#गुरुत्वाकर्षण में प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत|कम-ऊर्जा प्रभावी सिद्धांत।इसके अतिरिक्त, यह सैद्धांतिक ढांचा क्वांटम गुरुत्व के लिए विहित क्वांटम गुरुत्व प्रभावी सिद्धांत विकसित करने पर विचारों की श्रृंखला शुरू करता है, जिसे मुख्य रूप से ब्राइस डेविट द्वारा प्रचारित किया गया था जो श्विंगर के पीएचडी छात्र थे।

क्रियाओं के हरे कार्यों पर वापस जाएँ। तब से $\Gamma [{\bar {\phi }}]$ का लीजेंड्रे रूपांतरण है $F[J]$, और $F[J]$ एन-पॉइंट उर्सेल समारोह सहसंबंधक को परिभाषित करता है $G_{F[J]}^{N,~c}={\frac {\delta F[J]}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{N})}}{\Big |}_{J=0}$, फिर संबंधित सहसंबंधक से प्राप्त किया गया $F[J]$, जिसे शीर्ष फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है, द्वारा दिया जाता है $G_{\Gamma [J]}^{N,~c}={\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}(x_{1})\cdots \delta {\bar {\phi }}(x_{N})}}{\Big |}_{{\bar {\phi }}=\langle \phi \rangle }$. नतीजतन, कण इरेड्यूसिबल ग्राफ़ (आमतौर पर 1PI के रूप में संक्षिप्त) में, जुड़े हुए 2-बिंदु $F$-सहसंबंधक को 2-बिंदु के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है $\Gamma$-सहसंबंधक, यानी, सामान्य रूप से कम किया गया सहसंबंध है $G_{F[J]}^{(2)}={\frac {\delta {\bar {\phi }}(x_{1})}{\delta J(x_{2})}}{\Big |}_{J=0}={\frac {1}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}}}$,

और प्रभावी सहसंबंध है

$G_{\Gamma [\phi ]}^{(2)}={\frac {\delta J(x_{1})}{\delta {\bar {\phi }}(x_{2})}}{\Big |}_{{\bar {\phi }}=\langle \phi \rangle }=p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}$.

वेक्टर क्षेत्रों के लिए स्रोत सिद्धांत

एक कमजोर स्रोत के लिए जो सामान्य धारा के साथ प्रोका क्रिया|मिसिव स्पिन-1 कण उत्पन्न करता है $J=J_{e}+J_{a}$ विभिन्न कारण अंतरिक्ष-समय बिंदुओं पर कार्य करना $x_{0}>x_{0}'$, निर्वात आयाम है

$\langle 0|0\rangle _{J}=\exp {\left({\frac {i}{2}}\int dx~dx'\left[J_{\mu }(x)\Delta (x-x')J^{\mu }(x')+{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }J^{\mu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\nu }J^{\nu }(x')\right]\right)}$

संवेग स्थान में, स्पिन-1 कण विश्राम द्रव्यमान के साथ $m$ निश्चित गति है $p_{\mu }=(m,0,0,0)$ इसके बाकी फ्रेम में, यानी $p_{\mu }p^{\mu }=m^{2}$. फिर, आयाम देता है

${\begin{alignedat}{2}(J_{\mu }(p))^{T}~J^{\mu }(p)-{\frac {1}{m^{2}}}(p_{\mu }J^{\mu }(p))^{T}~p_{\nu }J^{\nu }(p)&=(J_{\mu }(p))^{T}~J^{\mu }(p)-(J^{\mu }(p))^{T}~{\frac {p_{\mu }p_{\nu }}{p_{\sigma }p^{\sigma }}}{\Big |}_{on-shell}~J^{\nu }(p)\\&=(J^{\mu }(p))^{T}~\left[\eta _{\mu \nu }-{\frac {p_{\mu }p_{\nu }}{m^{2}}}\right]~J^{\nu }(p)\end{alignedat}}$

कहाँ $\eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(1,-1,-1,-1)$ और $(J_{\mu }(p))^{T}$ का स्थानांतरण है $J_{\mu }(p)$. अंतिम परिणाम कॉन्फ़िगरेशन स्थान में वैक्यूम आयाम में प्रयुक्त प्रोपेगेटर से मेल खाता है, अर्थात,

$\langle 0|TA_{\mu }(x)A_{\nu }(x')|0\rangle =-i\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{p_{\alpha }p^{\alpha }+i\epsilon }}\left[\eta _{\mu \nu }-(1-\xi ){\frac {p_{\mu }p_{\nu }}{p_{\sigma }p^{\sigma }-\xi m^{2}}}\right]e^{ip^{\mu }(x_{\mu }-x'_{\mu })}$ .

कब $\xi =1$, चुना हुआ फेनमैन-'टी हूफ्ट प्रोपेगेटर#स्पिन 1|गेज-फिक्सिंग स्पिन-1 को द्रव्यमानहीन बनाता है। और जब $\xi =0$, चयनित लैंडौ गेज फिक्सिंग|गेज-फिक्सिंग स्पिन-1 को बड़े पैमाने पर बनाती है। क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में अध्ययन के अनुसार द्रव्यमान रहित मामला स्पष्ट है। यह विशाल मामला अधिक दिलचस्प है क्योंकि वर्तमान को संरक्षित करने की मांग नहीं की गई है। हालाँकि, करंट को उसी तरह से सुधारा जा सकता है जैसे बेलिनफेंटे-रोसेनफेल्ड तनाव-ऊर्जा टेंसर|बेलिनफेंटे-रोसेनफेल्ड टेंसर में सुधार किया जाता है ताकि यह संरक्षित रहे। और विशाल वेक्टर के लिए गति का समीकरण प्राप्त करने के लिए, कोई परिभाषित कर सकता है

$W[J]=-i\ln(\langle 0|0\rangle _{J})={\frac {1}{2}}\int dx~dx'\left[J_{\mu }(x)\Delta (x-x')J^{\mu }(x')+{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }J^{\mu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\nu }J^{\nu }(x')\right].$

कोई दूसरे पद पर भाग द्वारा एकीकरण लागू कर सकता है और फिर एकल कर सकता है $\int dxJ_{\mu }(x)$ विशाल स्पिन-1 क्षेत्र की परिभाषा प्राप्त करने के लिए

$A_{\mu }(x)\equiv \int dx'\Delta (x-x')J^{\mu }(x')-{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }\left[\int dx'\Delta (x-x')\partial '_{\nu }J^{\nu }(x')\right].$

इसके अतिरिक्त, उपरोक्त समीकरण यह कहता है $\partial _{\mu }A^{\mu }=(1/m^{2})\partial _{\mu }J^{\mu }$. इस प्रकार, गति का समीकरण निम्नलिखित में से किसी भी रूप में लिखा जा सकता है

${\begin{aligned}(\Box +m^{2})A_{\mu }=J_{\mu }+{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\nu }\partial _{\mu }J^{\nu },\\(\Box +m^{2})A_{\mu }+\partial _{\nu }\partial _{\mu }A^{\nu }=J_{\mu }.\end{aligned}}$

बड़े पैमाने पर पूरी तरह से सममित स्पिन-2 फ़ील्ड के लिए स्रोत सिद्धांत

मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में कमजोर स्रोत के लिए, सामान्य पुनर्परिभाषित तनाव-ऊर्जा टेंसर|ऊर्जा-गति टेंसर के साथ विशाल गुरुत्वाकर्षण | मिसाइल स्पिन -2 कण को ​​अवशोषित करना, जो वर्तमान के रूप में कार्य करता है, ${\bar {T}}^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }-{\frac {1}{3}}\eta _{\mu \alpha }{\bar {\eta }}_{\nu \beta }T^{\alpha \beta }$, कहाँ ${\bar {\eta }}_{\mu \nu }(p)=(\eta _{\mu \nu }-{\frac {1}{m^{2}}}p_{\mu }p_{\nu })$ वैक्यूम ध्रुवीकरण#वैक्यूम ध्रुवीकरण टेंसर है, कॉम्पैक्ट रूप में वैक्यूम आयाम है

${\begin{aligned}\langle 0|0\rangle _{\bar {T}}=\exp {\Big (}-{\frac {i}{2}}\int {\Big [}{\bar {T}}_{\mu \nu }(x)\Delta (x-x'){\bar {T}}^{\mu \nu }(x')&+{\frac {2}{m^{2}}}\eta _{\lambda \nu }\partial _{\mu }{\bar {T}}^{\mu \nu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\kappa }{\bar {T}}^{\kappa \lambda }(x')\\&+{\frac {1}{m^{4}}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }{\bar {T}}^{\mu \nu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\kappa }\partial '_{\lambda }{\bar {T}}^{\kappa \lambda }(x'){\Big ]}dx~dx'{\Big )},\end{aligned}}$ या

${\begin{aligned}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\mu \kappa }\eta ^{\nu \lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)&-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\mu \kappa }p^{\nu }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)\\&-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\nu \lambda }p^{\mu }p^{\kappa }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)+{\frac {1}{m^{4}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)p^{\mu }p^{\nu }p^{\kappa }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)=\end{aligned}}$