गामा मैट्रिक्स

Template:MOS गणितीय भौतिकी में, गामा मैट्रिक्स (गणित), $\ \left\{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right\}\ ,$ पॉल डिराक मैट्रिसेस भी कहा जाता है, विशिष्ट कम्यूटेशन संबंध संबंधों के साथ पारंपरिक मैट्रिसेस का एक सेट है जो यह सुनिश्चित करता है कि वे क्लिफोर्ड बीजगणित का एक मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व सेट करें। $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )~.$ उच्च-आयामी गामा मैट्रिक्स को परिभाषित करना भी संभव है। जब मिन्कोवस्की अंतरिक्ष में वेक्टर वेक्टर (गणित और भौतिकी) के सहप्रसरण और विरोधाभास के लिए ओर्थोगोनालिटी आधार वैक्टर के एक सेट की कार्रवाई के मैट्रिक्स के रूप में व्याख्या की जाती है, तो कॉलम वेक्टर जिस पर मैट्रिक्स कार्य करते हैं, स्पिनरों का एक स्थान बन जाता है, जिस पर क्लिफोर्ड बीजगणित स्पेसटाइम बीजगणित के कार्य। यह बदले में अनंतिम घुमावों और लोरेंत्ज़ बूस्ट का प्रतिनिधित्व करना संभव बनाता है। स्पिनर सामान्य रूप से स्पेसटाइम गणना की सुविधा प्रदान करते हैं, और विशेष रूप से सापेक्षतावादी स्पिन-1/2 के लिए डिराक समीकरण के लिए मौलिक हैं|spin ${\tfrac {\ 1\ }{2}}$ कण. गामा मैट्रिक्स को 1928 में डिराक द्वारा पेश किया गया था।

1. Dirac आधार में, वैक्टर गामा मैट्रिक्स के चार सहप्रसरण और विरोधाभास हैं

${\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}},\\\\\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}},&\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}$

$\gamma ^{0}$ समय-सदृश, हर्मिटियन मैट्रिक्स है। अन्य तीन अंतरिक्ष-जैसे, स्क्यू-हर्मिटियन मैट्रिक्स|एंटी-हर्मिटियन मैट्रिक्स हैं। अधिक सघनता से, $\ \gamma ^{0}=\sigma ^{3}\otimes I_{2}\ ,$ और $\ \gamma ^{j}=i\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{j}\ ,$ कहाँ $\ \otimes \$ क्रोनकर उत्पाद और को दर्शाता है $\ \sigma ^{j}\$ (के लिए j = 1, 2, 3) पॉल के मैट्रिक्स को निरूपित करें।

इसके अलावा, समूह सिद्धांत की चर्चा के लिए पहचान मैट्रिक्स (I) को कभी-कभी चार गामा मैट्रिक्स के साथ शामिल किया जाता है, और नियमित गामा मैट्रिक्स के साथ संयोजन में एक सहायक, पांचवां ट्रेस (रैखिक बीजगणित) मैट्रिक्स का उपयोग किया जाता है

${\begin{aligned}\ I_{4}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\ ,\qquad \gamma ^{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}$

पांचवां मैट्रिक्स $\ \gamma ^{5}\$ चार के मुख्य समूह का उचित सदस्य नहीं है; इसका उपयोग नाममात्र बाएँ और दाएँ चिरलिटी (भौतिकी) को अलग करने के लिए किया जाता है।

गामा मैट्रिक्स में एक समूह संरचना होती है, उच्च-आयामी गामा मैट्रिक्स, जो कि मीट्रिक के किसी भी हस्ताक्षर के लिए, किसी भी आयाम में समूह के सभी मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व द्वारा साझा की जाती है। उदाहरण के लिए, 2×2 पाउली मैट्रिसेस यूक्लिडियन हस्ताक्षर (3,0) की मीट्रिक के साथ तीन आयामी अंतरिक्ष में गामा मैट्रिसेस का एक सेट है। पांच अंतरिक्ष समय आयामों में, ऊपर दिए गए चार गामा, नीचे प्रस्तुत किए जाने वाले पांचवें गामा-मैट्रिक्स के साथ मिलकर क्लिफोर्ड बीजगणित उत्पन्न करते हैं।

गणितीय संरचना

क्लिफोर्ड बीजगणित उत्पन्न करने के लिए गामा मैट्रिक्स के लिए परिभाषित संपत्ति एंटीकम्यूटेशन संबंध है

$\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\ ,$

जहां घुंघराले कोष्ठक हैं $\ \{,\}\$ एंटीकम्यूटेटर का प्रतिनिधित्व करें, $\ \eta _{\mu \nu }\$ हस्ताक्षर के साथ मिन्कोवस्की मीट्रिक है (+ − − −), और $I_{4}$ है 4 × 4 शिनाख्त सांचा।

यह परिभाषित करने वाली संपत्ति गामा मैट्रिक्स के विशिष्ट प्रतिनिधित्व में उपयोग किए जाने वाले संख्यात्मक मानों से अधिक मौलिक है। वैक्टर गामा मैट्रिक्स के सहप्रसरण और विरोधाभास को परिभाषित किया गया है

$\ \gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{\gamma ^{0},-\gamma ^{1},-\gamma ^{2},-\gamma ^{3}\right\}\ ,$

और आइंस्टीन संकेतन मान लिया गया है।

ध्यान दें कि मीट्रिक के लिए अन्य संकेत परिपाटी, (− + + +) या तो परिभाषित समीकरण में बदलाव की आवश्यकता है:

$\ \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=-2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\$

या सभी गामा आव्यूहों का गुणन $i$, जो निश्चित रूप से उनके धर्मोपदेश गुणों को बदलता है जिनका विवरण नीचे दिया गया है। मीट्रिक के लिए वैकल्पिक चिह्न परिपाटी के तहत सहसंयोजक गामा मैट्रिक्स को फिर परिभाषित किया जाता है

$\ \gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{-\gamma ^{0},+\gamma ^{1},+\gamma ^{2},+\gamma ^{3}\right\}~.$

भौतिक संरचना

क्लिफ़ोर्ड बीजगणित $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\$ अंतरिक्ष समय के ऊपर V को वास्तविक रैखिक ऑपरेटरों के सेट के रूप में माना जा सकता है V खुद को, End(V), या अधिक सामान्यतः, जब जटिलीकरण करना $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\ ,$ किसी भी चार-आयामी जटिल वेक्टर स्थान से रैखिक ऑपरेटरों के सेट के रूप में। अधिक सरलता से, इसके लिए एक आधार दिया गया है V, $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\$ बस सभी का सेट है 4×4 जटिल मैट्रिक्स, लेकिन क्लिफ़ोर्ड बीजगणित संरचना से संपन्न। स्पेसटाइम को मिन्कोव्स्की मीट्रिक से संपन्न माना जाता है η_μν. बिस्पिनर्स का एक स्थान, U_x , स्पेसटाइम में हर बिंदु पर लोरेंत्ज़ समूह के बिस्पिनोर से संपन्न माना जाता है। बिस्पिनर फ़ील्ड Ψडिराक समीकरणों का, किसी भी बिंदु पर मूल्यांकन किया गया xस्पेसटाइम में, के तत्व हैं U_x (नीचे देखें)। माना जाता है कि क्लिफ़ोर्ड बीजगणित पर कार्य किया जाता है U_xसाथ ही (कॉलम वैक्टर के साथ मैट्रिक्स गुणन द्वारा Ψ(x) में U_x सभी के लिए x). यह के तत्वों का प्राथमिक दृश्य होगा $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\$ इस खंड में।

प्रत्येक रैखिक परिवर्तन के लिए S का U_x, का परिवर्तन है End(U_x) द्वारा दिए गए S E S⁻¹ के लिए E में $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\approx \operatorname {End} (U_{x})~.$ अगर S लोरेंत्ज़ समूह के प्रतिनिधित्व से संबंधित है, फिर प्रेरित कार्रवाई E ↦ S E S⁻¹ लोरेंत्ज़ समूह के प्रतिनिधित्व से भी संबंधित होगा, लोरेंत्ज़ समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत देखें।

अगर S(Λ) बिस्पिनोर अभिनय कर रहा है U_x एक मनमाना लोरेंत्ज़ परिवर्तन का Λमानक (4 वेक्टर) प्रतिनिधित्व पर कार्य कर रहा है V, तो संबंधित ऑपरेटर चालू है $\ \operatorname {End} \left(U_{x}\right)=\mathrm {Cl} _{1,3}\left(\mathbb {R} \right)_{\mathbb {C} }\$ समीकरण द्वारा दिया गया:

$\ \gamma ^{\mu }\ \mapsto \ S(\Lambda )\ \gamma ^{\mu }\ {S(\Lambda )}^{-1}={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }\ \gamma ^{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }\ \gamma ^{\nu }\ ,$

दिखा रहा है कि की मात्रा γ^μ को लोरेंत्ज़ समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के प्रतिनिधित्व स्थान के आधार के रूप में देखा जा सकता है|4 क्लिफोर्ड बीजगणित के अंदर बैठे लोरेंत्ज़ समूह का वेक्टर प्रतिनिधित्व। अंतिम पहचान को अनिश्चित ऑर्थोगोनल समूह से संबंधित मैट्रिक्स के लिए परिभाषित संबंध के रूप में पहचाना जा सकता है, जो है $\ \eta \Lambda ^{\textsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1}\ ,$ अनुक्रमित अंकन में लिखा गया है। इसका मतलब है कि फॉर्म की मात्राएँ

$a\!\!\!/\equiv a_{\mu }\gamma ^{\mu }$

जोड़-तोड़ में 4 वैक्टर के रूप में माना जाना चाहिए। इसका मतलब यह भी है कि सूचकांकों को ऊपर और नीचे किया जा सकता है γ मीट्रिक का उपयोग करना η_μν किसी भी 4 वेक्टर की तरह। नोटेशन को फेनमैन स्लैश नोटेशन कहा जाता है। स्लैश ऑपरेशन आधार को मैप करता है e_μ का V, या कोई 4 आयामी वेक्टर स्पेस, वेक्टर को आधार बनाने के लिए γ_μ. घटाई गई मात्राओं के लिए परिवर्तन नियम सरल है

${a\!\!\!/}^{\mu }\mapsto {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }{a\!\!\!/}^{\nu }~.$

किसी को यह ध्यान रखना चाहिए कि यह परिवर्तन नियम से भिन्न है γ^μ, जिन्हें अब (निश्चित) आधार वैक्टर के रूप में माना जाता है। 4 ट्यूपल का पदनाम $\left(\gamma ^{\mu }\right)_{\mu =0}^{3}=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)$ चूँकि साहित्य में कभी-कभी 4 वेक्टर पाया जाता है, इसलिए यह एक छोटा सा मिथ्या नाम है। बाद वाला परिवर्तन आधार के संदर्भ में कम मात्रा के घटकों के सक्रिय परिवर्तन से मेल खाता है γ^μ, और आधार के निष्क्रिय परिवर्तन के लिए पूर्व γ^μ अपने आप।

अवयव $\ \sigma ^{\mu \nu }=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\ \gamma ^{\mu }\$ लोरेंत्ज़ समूह के लाई बीजगणित का प्रतिनिधित्व तैयार करें। यह एक स्पिन प्रतिनिधित्व है. जब इन आव्यूहों और उनके रैखिक संयोजनों को घातांकित किया जाता है, तो वे लोरेंत्ज़ समूह के द्विस्पिनर निरूपण होते हैं, उदाहरण के लिए, {{math|S(Λ)}उपरोक्त में से }इस रूप में हैं। 6 आयामी स्थान σ^μν स्पैन लोरेंत्ज़ समूह के टेंसर प्रतिनिधित्व का प्रतिनिधित्व स्थान है। सामान्य तौर पर क्लिफोर्ड बीजगणित के उच्च क्रम के तत्वों और उनके परिवर्तन नियमों के लिए, लेख डिराक बीजगणित देखें। लोरेंत्ज़ समूह का स्पिन प्रतिनिधित्व स्पिन समूह में एन्कोड किया गया है Spin(1, 3) (वास्तविक, अनावेशित स्पिनरों के लिए) और जटिल स्पिन समूह में Spin(1, 3) आवेशित (डायराक) स्पिनरों के लिए।

डिराक समीकरण को व्यक्त करना

Main article: Dirac equation

प्राकृतिक इकाइयों में, डिराक समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$\ \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi =0\$

कहाँ $\ \psi \$ एक डिराक स्पिनर है.

फेनमैन संकेतन पर स्विच करते हुए, डिराक समीकरण है

$\ (i{\partial \!\!\!/}-m)\psi =0~.$

पाँचवाँ गामा मैट्रिक्स, γ⁵

चार गामा मैट्रिक्स के उत्पाद को इस प्रकार परिभाषित करना उपयोगी है $\gamma ^{5}=\sigma _{1}\otimes I$, ताकि

$\ \gamma ^{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}\qquad$ (डिराक आधार पर)।

हालांकि $\ \gamma ^{5}\$ गामा अक्षर का उपयोग करता है, यह ' गामा मैट्रिक्स में से एक नहीं है $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )~.$ सूचकांक संख्या 5 पुराने अंकन का अवशेष है: $\ \gamma ^{0}\$ कहा जाता था$\gamma ^{4}$.

$\ \gamma ^{5}\$ इसका एक वैकल्पिक रूप भी है:

$\ \gamma ^{5}={\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\alpha }\gamma _{\beta }\$

कन्वेंशन का उपयोग करना $\varepsilon _{0123}=1\ ,$ या

$\ \gamma ^{5}=-{\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\alpha }\gamma _{\beta }\$

कन्वेंशन का उपयोग करना $\varepsilon ^{0123}=1~.$ सबूत:

इसे इस तथ्य का फायदा उठाकर देखा जा सकता है कि सभी चार गामा मैट्रिक्स एंटीकम्यूट हैं

$\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=\gamma ^{[0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3]}={\tfrac {1}{4!}}\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{0123}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }\ ,$

कहाँ $\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }$ पूर्ण एंटीसिमेट्रिक टेंसर#नोटेशन में, 4 आयामों में प्रकार (4,4) सामान्यीकृत क्रोनकर डेल्टा है। अगर $\ \varepsilon _{\alpha \dots \beta }\$ में लेवी-सिविटा प्रतीक को दर्शाता है n आयाम, हम पहचान का उपयोग कर सकते हैं $\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }=\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }$. फिर हम सम्मेलन का उपयोग करते हुए प्राप्त करते हैं $\ \varepsilon ^{0123}=1\ ,$

$\ \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {i}{4!}}\varepsilon ^{0123}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }={\tfrac {i}{4!}}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }=-{\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\varrho }\gamma _{\sigma }$

यह मैट्रिक्स क्वांटम मैकेनिकल चिरैलिटी (भौतिकी) की चर्चा में उपयोगी है। उदाहरण के लिए, एक डिराक क्षेत्र को इसके बाएं हाथ और दाएं हाथ के घटकों पर प्रक्षेपित किया जा सकता है:

$\ \psi _{\mathrm {L} }={\frac {\ I-\gamma ^{5}\ }{2}}\ \psi ,\qquad \psi _{\mathrm {R} }={\frac {\ I+\gamma ^{5}\ }{2}}\ \psi ~.$

कुछ संपत्तियाँ हैं:

• यह हर्मिटियन है:

  $\left(\gamma ^{5}\right)^{\dagger }=\gamma ^{5}~.$

• इसका eigenvalues ​​±1 है, क्योंकि:

  $\left(\gamma ^{5}\right)^{2}=I_{4}~.$

• यह चार गामा मैट्रिक्स के साथ एंटीकम्यूट करता है:

  $\left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\right\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0~.$

वास्तव में, $\ \psi _{\mathrm {L} }\$ और $\ \psi _{\mathrm {R} }\$ के eigenvectors हैं $\ \gamma ^{5}\$ तब से

$\gamma ^{5}\psi _{\mathrm {L} }={\frac {\ \gamma ^{5}-\left(\gamma ^{5}\right)^{2}\ }{2}}\psi =-\psi _{\mathrm {L} }\ ,$ और $\gamma ^{5}\psi _{\mathrm {R} }={\frac {\ \gamma ^{5}+\left(\gamma ^{5}\right)^{2}\ }{2}}\psi =\psi _{\mathrm {R} }~.$

पाँच आयाम

विषम आयामों में क्लिफोर्ड बीजगणित एक कम आयाम की क्लिफोर्ड बीजगणित की दो प्रतियों की तरह व्यवहार करता है, एक बायीं प्रति और एक दाहिनी प्रति। इस प्रकार, कोई व्यक्ति पुन: उपयोग के लिए कुछ तरकीबें अपना सकता है i γ⁵ पांच आयामों में क्लिफोर्ड बीजगणित के जनरेटरों में से एक के रूप में। इस मामले में, सेट {γ⁰, γ¹, γ², γ³, i γ⁵} इसलिए, अंतिम दो गुणों द्वारा (उसे ध्यान में रखते हुए i² ≡ −1) और 'पुराने' गामा, क्लिफोर्ड बीजगणित का आधार बनाते हैं 5 मीट्रिक हस्ताक्षर के लिए स्पेसटाइम आयाम (1,4). मीट्रिक हस्ताक्षर में (4,1), सेट {γ⁰, γ¹, γ², γ³, γ⁵} का प्रयोग किया जाता है, जहां γ^μ के लिए उपयुक्त हैं (3,1) हस्ताक्षर। यह पैटर्न स्पेसटाइम आयाम के लिए दोहराया जाता है 2nसम और अगला विषम आयाम 2n + 1 सभी के लिए n ≥ 1. अधिक विवरण के लिए, उच्च-आयामी गामा मैट्रिक्स देखें।

पहचान

निम्नलिखित पहचान मौलिक एंटीकम्युटेशन संबंध से अनुसरण करती हैं, इसलिए वे किसी भी आधार पर टिके रहते हैं (हालांकि अंतिम एक के लिए संकेत विकल्प पर निर्भर करता है) $\gamma ^{5}$).

विविध पहचान

1. $\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I_{4}$

Proof

Take the standard anticommutation relation: $\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}.$ One can make this situation look similar by using the metric $\eta$: $\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }$ $=\gamma ^{\mu }\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }$ $={\tfrac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \nu }+\eta _{\nu \mu }\right)\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }$ ($\eta$ symmetric) $={\tfrac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\eta _{\nu \mu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)$ (expanding) $={\tfrac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right)$ (relabeling term on right) $={\tfrac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}$ $={\tfrac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }\left(2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\right)=\eta _{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }I_{4}=4I_{4}.$

2. $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu }$

Proof
Similarly to the proof of 1, again beginning with the standard commutation relation: ${\begin{aligned}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }&=\gamma ^{\mu }\left(2\eta _{\mu }^{\nu }I_{4}-\gamma _{\mu }\gamma ^{\nu }\right)\\&=2\gamma ^{\mu }\eta _{\mu }^{\nu }-\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }\gamma ^{\nu }\\&=2\gamma ^{\nu }-4\gamma ^{\nu }=-2\gamma ^{\nu }.\end{aligned}}$

3. $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}$

Proof

To show $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}.$ Use the anticommutator to shift $\gamma ^{\mu }$ to the right $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }$ $=\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }$ $=2\ \eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }-\gamma ^{\nu }\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\rho }\right\}\gamma _{\mu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }.$ Using the relation $\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I$ we can contract the last two gammas, and get $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }$ $=2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }2\eta ^{\mu \rho }\gamma _{\mu }+4\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }$ $=2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }-2\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }+4\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }$ $=2\left(\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$ $=2\left\{\gamma ^{\nu },\gamma ^{\rho }\right\}.$ Finally using the anticommutator identity, we get $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}.$

4. $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }$

Proof

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }$ $=(2\eta ^{\mu \nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }\,$ (anticommutator identity) $=2\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }-4\gamma ^{\nu }\eta ^{\rho \sigma }\,$ (using identity 3) $=2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }-4\gamma ^{\nu }\eta ^{\rho \sigma }$ (raising an index) $=2\left(2\eta ^{\rho \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)\gamma ^{\nu }-4\gamma ^{\nu }\eta ^{\rho \sigma }$ (anticommutator identity) $=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }$ (2 terms cancel)

5. $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }=\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }+\eta ^{\nu \rho }\gamma ^{\mu }-\eta ^{\mu \rho }\gamma ^{\nu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}$

Proof

If $\mu =\nu =\rho$ then $\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }=0$ and it is easy to verify the identity. That is the case also when $\mu =\nu \neq \rho$, $\mu =\rho \neq \nu$ or $\nu =\rho \neq \mu$. On the other hand, if all three indices are different, $\eta ^{\mu \nu }=0$, $\eta ^{\mu \rho }=0$ and $\eta ^{\nu \rho }=0$ and both sides are completely antisymmetric; the left hand side because of the anticommutativity of the $\gamma$ matrices, and on the right hand side because of the antisymmetry of $\epsilon _{\sigma \mu \nu \rho }$. It thus suffices to verify the identities for the cases of $\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}$, $\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{3}$, $\gamma ^{0}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$ and $\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$.

6. $\gamma ^{5}\sigma ^{\nu \rho }={\tfrac {i}{2}}\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\sigma _{\sigma \mu }\ ,$ कहाँ $\ \sigma _{\mu \nu }={\tfrac {i}{2}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]={\tfrac {i}{2}}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })\$

Proof

For $\ \nu =\rho \ ,$$\ \epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }=0\$ and both sides vanish. Otherwise, multiplying identity 5 by $\ \gamma _{\mu }\$ from the right gives that $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }$ $=\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }+\eta ^{\nu \rho }\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }-\eta ^{\mu \rho }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}\gamma _{\mu }\,$ $=\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }+4\eta ^{\nu \rho }I_{4}-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}\gamma _{\mu }\,$ (raising indices and using identity 1) where $4\eta ^{\nu \rho }I_{4}=0$ since $\nu \neq \rho$. The left hand side of this equation also vanishes since $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}$ by property 3. Rearranging gives that $\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }$ $=i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}\gamma _{\mu }\,$ $=-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma ^{5}\gamma _{\sigma }\gamma _{\mu }\,$ (since $\gamma ^{5}$ anticommutes with the gamma matrices) Note that $2\gamma _{\sigma }\gamma _{\mu }=\gamma _{\sigma }\gamma _{\mu }-\gamma _{\mu }\gamma _{\sigma }=[\gamma _{\sigma },\gamma _{\mu }]$ for $\sigma \neq \mu$ (for $\sigma =\mu$, $\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }$ vanishes) by the standard anticommutation relation. It follows that $-[\gamma ^{\nu },\gamma ^{\rho }]$ $=-{\tfrac {i}{2}}\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma ^{5}[\gamma _{\sigma },\gamma _{\mu }]\,$ Multiplying from the left times $\ -{\tfrac {i}{2}}\gamma ^{5}\$ and using that $\ (\gamma ^{5})^{2}=I_{4}\$ yields the desired result.

पहचान का पता लगाएं

गामा मैट्रिक्स निम्नलिखित ट्रेस पहचान का पालन करते हैं:

1. $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\right)=0$
2. Trace of any product of an odd number of $\gamma ^{\mu }$ is zero
3. Trace of $\gamma ^{5}$ times a product of an odd number of $\gamma ^{\mu }$ is still zero
4. $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)=4\eta ^{\mu \nu }$
5. $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=4\left(\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)$
6. $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}\right)=0$
7. $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5}\right)=-4i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }$
8. $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{n}}\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu _{n}}\dots \gamma ^{\mu _{1}}\right)$

उपरोक्त को साबित करने में ट्रेस (रैखिक बीजगणित) ऑपरेटर के तीन मुख्य गुणों का उपयोग शामिल है:

• tr(ए + बी) = टीआर(ए) + टीआर(बी)
• टीआर(आरए) = आर टीआर(ए)
• tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA)

Proof of 1

From the definition of the gamma matrices, $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I$ We get $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu }=\eta ^{\mu \mu }I$ or equivalently, ${\frac {\ \gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu }\ }{\ \eta ^{\mu \mu }\ }}=I\$ where $\ \eta ^{\mu \mu }\$ is a number, and $\ \gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu }\$ is a matrix. $\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu })={\frac {1}{\eta ^{\mu \mu }}}\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu })$ (inserting the identity and using tr(rA) = r tr(A) .) $=-{\frac {1}{\eta ^{\mu \mu }}}\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })$ (from anti-commutation relation, and given that we are free to select $\mu \neq \nu$) $=-{\frac {1}{\eta ^{\mu \mu }}}\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu })$ (using tr(ABC) = tr(BCA)) $=-\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu })$ (removing the identity) यह संकेत करता है $\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu })=0$

| क्लास = विकिटेबल कोलैप्सिबल संक्षिप्त ! 2 का प्रमाण |- |

जाहिर करना।

$\operatorname {tr} ({\text{odd num of }}\gamma )=0$

सबसे पहले उस पर ध्यान दें

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\right)=0.$

हम पांचवें गामा मैट्रिक्स के बारे में दो तथ्यों का भी उपयोग करेंगे $\gamma ^{5}$ वह कहता है:

$\left(\gamma ^{5}\right)^{2}=I_{4},\quad \mathrm {and} \quad \gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=-\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }$

तो आइए पहले गैर-तुच्छ मामले के लिए इस पहचान को साबित करने के लिए इन दो तथ्यों का उपयोग करें: तीन गामा मैट्रिक्स का निशान। पहला कदम एक जोड़ा डालना है $\gamma ^{5}$तीन मूल के सामने है $\gamma$का, और चरण दो स्वैप करना है $\gamma ^{5}$ ट्रेस की चक्रीयता का उपयोग करने के बाद, मैट्रिक्स मूल स्थिति में वापस आ जाता है।

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$	$=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$
	$=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{5}\right)$
	$=-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$ (using tr(ABC) = tr(BCA))
	$=-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$

यह तभी पूरा हो सकता है जब

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)=0$

2n + 1 (n पूर्णांक) गामा मैट्रिक्स का विस्तार, ट्रेस में 2n-वें गामा-मैट्रिक्स के बाद (मान लीजिए) दो गामा-5s रखकर, एक को दाईं ओर ले जाकर (एक ऋण चिह्न देकर) और कम्यूट करके पाया जाता है अन्य गामा-5 2एन बाईं ओर कदम बढ़ाता है [चिह्न परिवर्तन के साथ (-1)^2एन = 1]। फिर हम दो गामा-5 को एक साथ लाने के लिए चक्रीय पहचान का उपयोग करते हैं, और इसलिए वे पहचान के वर्ग में आ जाते हैं, जिससे हमारे पास माइनस के बराबर ट्रेस यानी 0 रह जाता है। |}

| क्लास = विकिटेबल कोलैप्सिबल संक्षिप्त ! 3 का प्रमाण |- |

यदि किसी ट्रेस में विषम संख्या में गामा मैट्रिक्स दिखाई देते हैं $\gamma ^{5}$, हमारा लक्ष्य आगे बढ़ना है $\gamma ^{5}$ दाईं ओर से बाईं ओर. यह चक्रीय गुण द्वारा ट्रेस को अपरिवर्तनीय छोड़ देगा। इस कदम को करने के लिए, हमें इसे अन्य सभी गामा मैट्रिक्स के साथ एंटीकम्यूट करना होगा। इसका मतलब यह है कि हम इसे विषम संख्या में बार एंटीकम्यूट करते हैं और एक ऋण चिह्न चुनते हैं। स्वयं के ऋणात्मक के बराबर एक ट्रेस शून्य होना चाहिए। |}

| क्लास = विकिटेबल कोलैप्सिबल संक्षिप्त ! 4 का प्रमाण |- |

जाहिर करना।

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)=4\eta ^{\mu \nu }$

के साथ शुरू,

$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })$	$={\tfrac {1}{2}}\left(\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)+\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right)\right)$
	$={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right)={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}\right)$
	$={\tfrac {1}{2}}2\eta ^{\mu \nu }\operatorname {tr} (I_{4})=4\eta ^{\mu \nu }$

|}

| क्लास = विकिटेबल कोलैप्सिबल संक्षिप्त ! 5 का प्रमाण |- |

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)$	$=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\left(2\eta ^{\rho \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)\right)$
	$=2\eta ^{\rho \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (1)$

दाईं ओर के पद के लिए, हम स्वैपिंग का पैटर्न जारी रखेंगे $\gamma ^{\sigma }$ बाईं ओर अपने पड़ोसी के साथ,

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)$	$=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\left(2\eta ^{\nu \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\right)\gamma ^{\rho }\right)$
	$=2\eta ^{\nu \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\rho }\right)-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (2)$

फिर से, सही स्वैप पर शब्द के लिए $\gamma ^{\sigma }$ बाईं ओर अपने पड़ोसी के साथ,

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$	$=\operatorname {tr} \left(\left(2\eta ^{\mu \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\right)\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$
	$=2\eta ^{\mu \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (3)$

समीकरण (3) समीकरण (2) के दाईं ओर का पद है, और समीकरण (2) समीकरण (1) के दाईं ओर का पद है। हम शब्दों को सरल बनाने के लिए पहचान संख्या 3 का भी उपयोग करेंगे:

$2\eta ^{\rho \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)=2\eta ^{\rho \sigma }\left(4\eta ^{\mu \nu }\right)=8\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }.$

तो अंततः समीकरण (1), जब आप यह सारी जानकारी प्लग इन करते हैं तो देता है

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=8\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }-8\eta ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+8\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }$

$-\ \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad \quad \quad \quad \quad (4)$

ट्रेस के अंदर के शब्दों को चक्रित किया जा सकता है, इसलिए

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right).$

तो वास्तव में (4) है

$2\ \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=8\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }-8\eta ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+8\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }$

या

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=4\left(\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }-\eta ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)$

|}

| क्लास = विकिटेबल कोलैप्सिबल संक्षिप्त ! 6 का प्रमाण |- |

जाहिर करना।

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=0$,

के साथ शुरू

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)$	$=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\gamma ^{0}\gamma ^{5}\right)$	(because $\gamma ^{0}\gamma ^{0}=I_{4}$)
	$=-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)$	(anti-commute the $\gamma ^{5}$ with $\gamma ^{0}$)
	$=-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\gamma ^{0}\gamma ^{5}\right)$	(rotate terms within trace)
	$=-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)$	(remove $\gamma ^{0}$'s)

जोड़ना $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)$ देखने के लिए ऊपर के दोनों तरफ

$2\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=0$.

अब, इस पैटर्न का उपयोग दिखाने के लिए भी किया जा सकता है

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}\right)=0$.

बस दो कारक जोड़ें $\gamma ^{\alpha }$, साथ $\alpha$ से अलग $\mu$ और $\nu$. एक बार के बजाय तीन बार एंटीकम्यूट करें, तीन माइनस चिह्न उठाएं, और ट्रेस की चक्रीय संपत्ति का उपयोग करके चक्र करें।

इसलिए,

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}\right)=0$.

|}

| क्लास = विकिटेबल कोलैप्सिबल संक्षिप्त ! 7 का प्रमाण |- |

पहचान 7 के प्रमाण के लिए, वही तरकीब अभी भी काम करती है जब तक कि $\left(\mu \nu \rho \sigma \right)$ (0123) का कुछ क्रमपरिवर्तन है, जिससे सभी 4 गामा प्रकट होते हैं। एंटीकम्यूटेशन नियमों का तात्पर्य यह है कि दो सूचकांकों को आपस में बदलने से ट्रेस का चिह्न बदल जाता है $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5}\right)$ के आनुपातिक होना चाहिए $\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }$ $\left(\epsilon ^{0123}=\eta ^{0\mu }\eta ^{1\nu }\eta ^{2\rho }\eta ^{3\sigma }\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }=\eta ^{00}\eta ^{11}\eta ^{22}\eta ^{33}\epsilon _{0123}=-1\right)$. आनुपातिकता स्थिरांक है $4i$, जैसा कि प्लग इन करके जांचा जा सकता है $(\mu \nu \rho \sigma )=(0123)$, लिख रहा हूँ $\gamma ^{5}$, और याद रखें कि पहचान का निशान 4 है। |}

| क्लास = विकिटेबल कोलैप्सिबल संक्षिप्त ! 8 का प्रमाण |- |

के उत्पाद को निरूपित करें $n$ गामा मैट्रिक्स द्वारा $\Gamma =\gamma ^{\mu 1}\gamma ^{\mu 2}\dots \gamma ^{\mu n}.$ हर्मिटियन संयुग्म पर विचार करें $\Gamma$:

$\Gamma ^{\dagger }$	$=\gamma ^{\mu n\dagger }\dots \gamma ^{\mu 2\dagger }\gamma ^{\mu 1\dagger }$
	$=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu n}\gamma ^{0}\dots \gamma ^{0}\gamma ^{\mu 2}\gamma ^{0}\gamma ^{0}\gamma ^{\mu 1}\gamma ^{0}$	(since conjugating a gamma matrix with $\gamma ^{0}$ produces its Hermitian conjugate as described below)
	$=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu n}\dots \gamma ^{\mu 2}\gamma ^{\mu 1}\gamma ^{0}$	(all $\gamma ^{0}$s except the first and the last drop out)

के साथ जुड़ना $\gamma ^{0}$ दोनों से छुटकारा पाने के लिए एक बार और $\gamma ^{0}$वह वहां हैं, हम उसे देखते हैं $\gamma ^{0}\Gamma ^{\dagger }\gamma ^{0}$ का उल्टा है $\Gamma$. अब,

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\Gamma ^{\dagger }\gamma ^{0}\right)$	$=\operatorname {tr} \left(\Gamma ^{\dagger }\right)$	(since trace is invariant under similarity transformations)
	$=\operatorname {tr} \left(\Gamma ^{*}\right)$	(since trace is invariant under transposition)
	$=\operatorname {tr} \left(\Gamma \right)$	(since the trace of a product of gamma matrices is real)

|}

सामान्यीकरण

गामा मैट्रिक्स को अतिरिक्त हेर्मिटिसिटी स्थितियों के साथ चुना जा सकता है जो उपरोक्त एंटीकम्यूटेशन संबंधों द्वारा प्रतिबंधित हैं। हम थोप सकते हैं

$\left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}$, के साथ संगत $\left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I_{4}$

और अन्य गामा मैट्रिक्स के लिए (के लिए)। k = 1, 2, 3)

$\left(\gamma ^{k}\right)^{\dagger }=-\gamma ^{k}$, के साथ संगत $\left(\gamma ^{k}\right)^{2}=-I_{4}.$

कोई तुरंत जाँचता है कि ये साधुता संबंध डिराक प्रतिनिधित्व के लिए मान्य हैं।

उपरोक्त शर्तों को संबंध में जोड़ा जा सकता है

$\left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0}.$

क्रिया के अंतर्गत धर्मोपदेश की स्थितियाँ अपरिवर्तनीय नहीं हैं $\gamma ^{\mu }\to S(\Lambda )\gamma ^{\mu }{S(\Lambda )}^{-1}$ लोरेंत्ज़ परिवर्तन का $\Lambda$ क्योंकि $S(\Lambda )$ लोरेंत्ज़ समूह की गैर-संक्षिप्तता के कारण आवश्यक रूप से एकात्मक परिवर्तन नहीं है।

आवेश संयुग्मन

चार्ज संयुग्मन ऑपरेटर को किसी भी आधार पर परिभाषित किया जा सकता है

$C\gamma _{\mu }C^{-1}=-(\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}$

कहाँ $(\cdot )^{\textsf {T}}$ मैट्रिक्स स्थानान्तरण को दर्शाता है। वह स्पष्ट रूप $C$ गामा मैट्रिक्स के लिए चुने गए विशिष्ट प्रतिनिधित्व पर निर्भर करता है (गामा मैट्रिक्स के उत्पाद के रूप में व्यक्त इसका रूप प्रतिनिधित्व पर निर्भर है, जबकि इसे देखा जा सकता है $\ C=i\gamma ^{0}\gamma ^{2}\$ डिराक आधार पर:

${\begin{aligned}C&={\begin{pmatrix}0&~~~0&0&-1\\0&~~~0&1&~~~0\\0&-1&0&~~~0\\1&~~~0&0&~~~0\end{pmatrix}}~,\end{aligned}}$

जो, उदाहरण के लिए, एक मनमाना चरण कारक तक, मेजराना आधार पर पकड़ बनाने में विफल रहता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि यद्यपि चार्ज संयुग्मन उच्च-आयामी गामा मैट्रिक्स का [[आंतरिक स्वचालितता]] है, यह (समूह का) आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म नहीं है। संयुग्मी मैट्रिक्स पाए जा सकते हैं, लेकिन वे प्रतिनिधित्व-निर्भर हैं।

प्रतिनिधित्व-स्वतंत्र पहचान में शामिल हैं:

${\begin{aligned}C\gamma _{5}C^{-1}&=+(\gamma _{5})^{\textsf {T}}\\C\sigma _{\mu \nu }C^{-1}&=-(\sigma _{\mu \nu })^{\textsf {T}}\\C\gamma _{5}\gamma _{\mu }C^{-1}&=+(\gamma _{5}\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}\\\end{aligned}}$

आवेश संयुग्मन संचालिका भी एकात्मक है $C^{-1}=C^{\dagger }$, जबकि इसके लिए $\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )$ यह भी वैसा ही है $C^{T}=-C$ किसी भी प्रतिनिधित्व के लिए. गामा मैट्रिक्स के प्रतिनिधित्व को देखते हुए, चार्ज संयुग्मन ऑपरेटर के लिए मनमाना चरण कारक भी चुना जा सकता है $C^{\dagger }=-C$, जैसा कि नीचे दिए गए चार अभ्यावेदन (डिराक, मेजराना और दोनों चिरल वेरिएंट) के मामले में है।

फेनमैन स्लैश नोटेशन

फेनमैन स्लैश नोटेशन द्वारा परिभाषित किया गया है

${a\!\!\!/}:=\gamma ^{\mu }a_{\mu }$

किसी भी 4-वेक्टर के लिए $a$.

यहां ऊपर दी गई कुछ समान पहचानें दी गई हैं, लेकिन इसमें स्लैश नोटेशन शामिल है:

• ${a\!\!\!/}{b\!\!\!/}=\left[a\cdot b-ia_{\mu }\sigma ^{\mu \nu }b_{\nu }\right]I_{4}$
• ${a\!\!\!/}{a\!\!\!/}=\left[a^{\mu }a^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\right]I_{4}=\left[{\tfrac {1}{2}}a^{\mu }a^{\nu }\left(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }\right)\right]I_{4}=\left[\eta _{\mu \nu }a^{\mu }a^{\nu }\right]I_{4}=a^{2}I_{4}$
• $\operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=4(a\cdot b)$
• $\operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]$
• $\operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=0$
• $\operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=-4i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\rho }d^{\sigma }$
• $\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{a\!\!\!/}$
• $\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=4(a\cdot b)I_{4}$
• $\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}$

  कहाँ $\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }$ लेवी-सिविटा प्रतीक है और $\sigma ^{\mu \nu }={\tfrac {i}{2}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]~.$ वास्तव में विषम संख्या के उत्पादों के निशान $\ \gamma \$ शून्य है और इस प्रकार

• $\operatorname {tr} (a_{1}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,a_{2}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,\cdots a_{n}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,)=0\$ के लिए n विषम।

कई लोग सीधे स्लैश नोटेशन के विस्तार और फॉर्म के अनुबंधित भावों का अनुसरण करते हैं $\ a_{\mu }b_{\nu }c_{\rho }\ \ldots \$ गामा मैट्रिक्स के संदर्भ में उचित पहचान के साथ।

अन्य प्रतिनिधित्व

मैट्रिक्स को कभी-कभी 2×2 पहचान मैट्रिक्स का उपयोग करके भी लिखा जाता है, $I_{2}$, और

$\gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}}$

जहां k 1 से 3 और σ तक चलता है^kपॉली मैट्रिसेस हैं।

डिराक आधार

अब तक हमने जो गामा मैट्रिक्स लिखे हैं, वे डायराक आधार पर लिखे गए डायराक स्पिनरों पर कार्य करने के लिए उपयुक्त हैं; वास्तव में, डिराक आधार को इन आव्यूहों द्वारा परिभाषित किया गया है। संक्षेप में, डिराक आधार पर:

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}~.$

डिराक आधार पर, चार्ज संयुग्मन ऑपरेटर वास्तविक एंटीसिमेट्रिक है,

$C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&~~0&~~0&-1\\0&~~0&~~1&~~0\\0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~~0\end{pmatrix}}~.$

वेइल (चिरल) आधार

एक अन्य सामान्य विकल्प वेइल या चिरल आधार है, जिसमें $\gamma ^{k}$ लेकिन वही रहता है $\gamma ^{0}$ अलग है, और इसलिए $\gamma ^{5}$ भिन्न भी है, और विकर्ण भी,

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}},$

या अधिक संक्षिप्त संकेतन में:

$\gamma ^{\mu }={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{\mu }\\{\overline {\sigma }}^{\mu }&0\end{pmatrix}},\quad \sigma ^{\mu }\equiv (1,\sigma ^{i}),\quad {\overline {\sigma }}^{\mu }\equiv \left(1,-\sigma ^{i}\right).$

हरमन वेइल आधार का लाभ यह है कि इसकी चिरलिटी (भौतिकी) एक सरल रूप लेती है,

$\psi _{\mathrm {L} }={\tfrac {1}{2}}\left(1-\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\mathrm {R} }={\tfrac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi ~.$

चिरल अनुमानों की निष्क्रियता प्रकट है।

अंकन का थोड़ा दुरुपयोग करके और प्रतीकों का पुन: उपयोग करके $\psi _{\mathrm {L} /R}$ फिर हम पहचान सकते हैं

$\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {L} }\\\psi _{\mathrm {R} }\end{pmatrix}},$

कहाँ हैं $\psi _{\mathrm {L} }$ और $\psi _{\mathrm {R} }$ बाएं हाथ और दाएं हाथ के दो-घटक वेइल स्पिनर हैं।

इस आधार पर चार्ज संयुग्मन ऑपरेटर वास्तविक एंटीसिमेट्रिक है,

$C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}&0\\0&-i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}$

डिराक आधार को वेइल आधार से प्राप्त किया जा सकता है

$\gamma _{\mathrm {W} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },\quad \psi _{\mathrm {W} }=U\psi _{\mathrm {D} }$

एकात्मक परिवर्तन के माध्यम से

$U={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}\left(1+\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}I_{2}&-I_{2}\\I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}.$

वेइल (चिरल) आधार (वैकल्पिक रूप)

एक और संभावित विकल्प वेइल आधार का है

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}.$

चिरैलिटी (भौतिकी) अन्य वेइल पसंद से थोड़ा अलग रूप लेती है,

$\psi _{\mathrm {R} }={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\mathrm {L} }={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi .$

दूसरे शब्दों में,

$\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {R} }\\\psi _{\mathrm {L} }\end{pmatrix}},$

कहाँ $\psi _{\mathrm {L} }$ और $\psi _{\mathrm {R} }$ पहले की तरह, बाएं हाथ और दाएं हाथ के दो-घटक वेइल स्पिनर हैं।

इस आधार पर आवेश संयुग्मन संचालिका है

$C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~~0\\0&~~0&~~0&~~1\\0&~~0&-1&~~0\\\end{pmatrix}}~=-i\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{2}.$

यह आधार उपरोक्त डायराक आधार से प्राप्त किया जा सकता है $\gamma _{\mathrm {W} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\mathrm {W} }=U\psi _{\mathrm {D} }$ एकात्मक परिवर्तन के माध्यम से

$U={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}\left(1-\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}~~I_{2}&I_{2}\\-I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}~.$

मेजोराना आधार

मेजराना स्पिनर आधार भी है, जिसमें सभी डिराक मैट्रिक्स काल्पनिक हैं, और स्पिनर और डिराक समीकरण वास्तविक हैं। पाउली मैट्रिसेस के संबंध में, आधार को इस प्रकार लिखा जा सकता है:${\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\\\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{5}&={\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&0\\0&-\sigma ^{2}\end{pmatrix}}\ ,~&C&={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}\ ,\end{aligned}}$ कहाँ $C$ चार्ज संयुग्मन मैट्रिक्स है, जो ऊपर परिभाषित डिराक संस्करण से मेल खाता है।

सभी गामा मैट्रिक्स को काल्पनिक बनाने का कारण केवल कण भौतिकी मीट्रिक प्राप्त करना है (+, −, −, −), जिसमें वर्ग द्रव्यमान धनात्मक होता है। हालाँकि, मेजराना प्रतिनिधित्व वास्तविक है। कोई इसका कारक बन सकता है $\ i\$ चार घटक वास्तविक स्पिनरों और वास्तविक गामा मैट्रिक्स के साथ एक अलग प्रतिनिधित्व प्राप्त करने के लिए। को हटाने का परिणाम $\ i\$ क्या यह वास्तविक गामा मैट्रिक्स के साथ एकमात्र संभावित मीट्रिक है (−, +, +, +).

मेजराना आधार उपरोक्त डायराक आधार से प्राप्त किया जा सकता है $\gamma _{\mathrm {M} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\mathrm {M} }=U\psi _{\mathrm {D} }$ एकात्मक परिवर्तन के माध्यम से

$U=U^{\dagger }={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&-I_{2}\end{pmatrix}}~.$

सीएल_1,3(सी) और सीएल_1,3(आर)

Template:Summary style डिराक बीजगणित को वास्तविक बीजगणित सीएल का एक जटिलीकरण माना जा सकता है_1,3($\mathbb {R}$), जिसे अंतरिक्ष समय बीजगणित कहा जाता है:

$\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {C} )=\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C}$

क्लोरीन_1,3($\mathbb {R}$) सीएल से भिन्न है_1,3($\mathbb {C}$): सीएल में_1,3($\mathbb {R}$) केवल गामा मैट्रिक्स और उनके उत्पादों के वास्तविक रैखिक संयोजन की अनुमति है।

दो बातें ध्यान दिलाने योग्य हैं। क्लिफ़ोर्ड बीजगणित के रूप में, सीएल_1,3($\mathbb {C}$) और सीएल₄($\mathbb {C}$) समरूपी हैं, क्लिफ़ोर्ड बीजगणित का वर्गीकरण देखें। इसका कारण यह है कि स्पेसटाइम मीट्रिक का अंतर्निहित हस्ताक्षर जटिलता से गुजरने पर अपना हस्ताक्षर (1,3) खो देता है। हालाँकि, द्विरेखीय रूप को जटिल विहित रूप में लाने के लिए आवश्यक परिवर्तन लोरेंत्ज़ परिवर्तन नहीं है और इसलिए स्वीकार्य नहीं है (कम से कम अव्यावहारिक) क्योंकि सभी भौतिकी लोरेंत्ज़ समरूपता से मजबूती से जुड़ी हुई है और इसे प्रकट रखना बेहतर है।

ज्यामितीय बीजगणित के समर्थक जहां भी संभव हो वास्तविक बीजगणित के साथ काम करने का प्रयास करते हैं। उनका तर्क है कि भौतिक समीकरण में एक काल्पनिक इकाई की उपस्थिति की पहचान करना आम तौर पर संभव है (और आमतौर पर ज्ञानवर्धक)। ऐसी इकाइयाँ वास्तविक क्लिफ़ोर्ड बीजगणित में कई मात्राओं में से एक से उत्पन्न होती हैं, जिसका वर्ग -1 होता है, और बीजगणित के गुणों और इसके विभिन्न उप-स्थानों की परस्पर क्रिया के कारण इनका ज्यामितीय महत्व होता है। इनमें से कुछ प्रस्तावक यह भी सवाल करते हैं कि क्या डिराक समीकरण के संदर्भ में एक अतिरिक्त काल्पनिक इकाई पेश करना आवश्यक या उपयोगी है। रीमैनियन ज्यामिति के गणित में, क्लिफ़ोर्ड बीजगणित सीएल को परिभाषित करना पारंपरिक है_p,q($\mathbb {R}$) मनमाने आयामों के लिए p,q. वेइल स्पिनर स्पिन समूह की कार्रवाई के तहत बदल जाते हैं $\mathrm {Spin} (n)$. स्पिन समूह का जटिलीकरण, जिसे स्पिन समूह कहा जाता है $\mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)$, एक उत्पाद है $\mathrm {Spin} (n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}$ वृत्त के साथ स्पिन समूह का $S^{1}\cong U(1).$ उत्पाद $\times _{\mathbb {Z} _{2}}$ पहचानने के लिए बस एक सांकेतिक उपकरण $(a,u)\in \mathrm {Spin} (n)\times S^{1}$ साथ $(-a,-u).$ इसका ज्यामितीय बिंदु यह है कि यह वास्तविक स्पिनर को अलग करता है, जो लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के तहत सहसंयोजक है। $U(1)$ घटक, जिसे इसके साथ पहचाना जा सकता है $\mathrm {U} (1)$ विद्युत चुम्बकीय संपर्क का फाइबर। $\times _{\mathbb {Z} _{2}}$ h> डायराक कण/एंटी-कण राज्यों (समकक्ष, वेइल आधार में चिरल राज्यों) से संबंधित करने के लिए उपयुक्त तरीके से समता और आवेश संयुग्मन को उलझा रहा है। बाइस्पिनर, जहां तक ​​इसमें रैखिक रूप से स्वतंत्र बाएं और दाएं घटक हैं, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के साथ बातचीत कर सकता है। यह मेजराना स्पिनर और ईएलकेओ स्पिनर के विपरीत है, जो ऐसा नहीं कर सकते (यानी वे विद्युत रूप से तटस्थ हैं), क्योंकि वे स्पष्ट रूप से स्पिनर को बाधित करते हैं ताकि वे इसके साथ बातचीत न कर सकें। $S^{1}$ भाग जटिलता से आ रहा है।

हालाँकि, भौतिकी में समकालीन अभ्यास में, अंतरिक्ष-समय बीजगणित के बजाय डिराक बीजगणित मानक वातावरण बना हुआ है जिसमें डिराक समीकरण के स्पिनर रहते हैं।

अन्य प्रतिनिधित्व-मुक्त गुण

गामा आव्यूह eigenvalues ​​​​के साथ विकर्णीय हैं $\pm 1$ के लिए $\gamma ^{0}$, और eigenvalues $\pm i$ के लिए $\gamma ^{i}$.

Proof
This can be demonstrated for $\gamma ^{0}$ and follows similarly for $\gamma ^{i}$. We can rewrite $(\gamma ^{0})^{2}=+1$ as $(\gamma ^{0}+1)(\gamma ^{0}-1)=0.$ By a well-known result in linear algebra, this means there is a basis in which $\gamma ^{0}$ is diagonal with eigenvalues $\{\pm 1\}$.

विशेषकर, इसका तात्पर्य यह है $\gamma ^{0}$ एक साथ हर्मिटियन और एकात्मक है, जबकि $\gamma ^{i}$ एक साथ हर्मिटियन विरोधी और एकात्मक हैं।

इसके अलावा, प्रत्येक eigenvalue की बहुलता दो है।

Proof
If $v$ is an eigenvector of $\ \gamma ^{0}\ ,$ then $\ \gamma ^{1}v\$ is an eigenvector with the opposite eigenvalue. Then eigenvectors can be paired off if they are related by multiplication by $\ \gamma ^{1}~.$ Result follows similarly for $\ \gamma ^{i}~.$

अधिक सामान्यतः, यदि $\ \gamma ^{\mu }X_{\mu }\$ शून्य नहीं है, समान परिणाम रहता है। ठोसता के लिए, हम सकारात्मक मानक मामले तक ही सीमित हैं $\ \gamma ^{\mu }p_{\mu }=p\!\!\!/\$ साथ $\ p\cdot p=m^{2}>0~.$ नकारात्मक मामला भी इसी प्रकार है।

Proof
It can be shown $p\!\!\!/^{2}=m^{2}\ ,$ so by the same argument as the first result, $\ p\!\!\!/\$ is diagonalizable with eigenvalues $\ \pm m~.$ We can adapt the argument for the second result slightly. We pick a non-null vector $\ q_{\mu }\$ which is orthogonal to $p_{\mu }~.$ Then eigenvectors can be paired off similarly if they are related by multiplication by $\ q\!\!\!/~.$

यह इस प्रकार है कि समाधान स्थान $\ p\!\!\!/-m=0\$ (अर्थात, बाईं ओर का कर्नेल) का आयाम 2 है। इसका मतलब है कि डिराक के समीकरण के समतल तरंग समाधान के लिए समाधान स्थान का आयाम 2 है।

यह परिणाम अभी भी द्रव्यमान रहित डिराक समीकरण के लिए लागू है। दूसरे शब्दों में, यदि $p_{\mu }$ शून्य, फिर $p\!\!\!/$ शून्यता है 2.

Proof

If $p_{\mu }$ null, then $p\!\!\!/p\!\!\!/=0.$ By generalized eigenvalue decomposition, this can be written in some basis as diagonal in $2\times 2$ Jordan blocks with eigenvalue 0, with either 0, 1, or 2 blocks, and other diagonal entries zero. It turns out to be the 2 block case. The zero case is not possible as if $\ \gamma ^{\mu }p_{\mu }=0\ ,$ by linear independence of the $\ \gamma ^{\mu }\$ we must have $\ p_{\mu }=0~.$ But null vectors are by definition non-zero. Consider $(q_{\mu })=(|\mathbf {p} |,-\mathbf {p} )$ and a zero-eigenvector $v$ of $p\!\!\!/$. Note $q_{\mu }$ is also null and satisfies $p\!\!\!/q\!\!\!/+q\!\!\!/p\!\!\!/=4|\mathbf {p} |.-(*)$ If $p\!\!\!/v=0$, then it cannot simultaneously be a zero eigenvector of $q\!\!\!/$ by (*). Considering $q\!\!\!/v$, if we apply $p\!\!\!/$ then we get $p\!\!\!/q\!\!\!/v=4|\mathbf {p} |v$. Therefore after a rescaling, $v$ and $q\!\!\!/v$ give a $2\times 2$ Jordan block. This gives a pairing. There must be another zero eigenvector of $p\!\!\!/$, which can be used to make the second Jordan block. There is also a pleasant structure to these pairs. If left arrows correspond to application of $p\!\!\!/$, and right arrows to application of $q\!\!\!/$, and $v$ is a zero eigenvector of $p\!\!\!/$, up to scalar factors we have $0\leftarrow v\leftrightarrow q\!\!\!/v\rightarrow 0$.

यूक्लिडियन डिराक मैट्रिसेस

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में कोई विक मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष से यूक्लिडियन अंतरिक्ष तक पारगमन के लिए समय अक्ष को घुमा सकता है। यह कुछ पुनर्सामान्यीकरण प्रक्रियाओं के साथ-साथ जाली गेज सिद्धांत में विशेष रूप से उपयोगी है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, डिराक मैट्रिसेस के दो आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले प्रतिनिधित्व हैं:

चिरल प्रतिनिधित्व

$\gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&i\sigma ^{1,2,3}\\-i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}$

ध्यान दें कि के कारक $i$ स्थानिक गामा मैट्रिक्स में डाला गया है ताकि यूक्लिडियन क्लिफ़ोर्ड बीजगणित

$\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\delta ^{\mu \nu }I_{4}$

उभरेगा. यह भी ध्यान देने योग्य है कि इसके ऐसे वेरिएंट भी हैं जो इसके स्थान पर सम्मिलित होते हैं $-i$ किसी एक मैट्रिक्स पर, जैसे जाली QCD कोड में जो किरल आधार का उपयोग करते हैं।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष में,

$\gamma _{\mathrm {M} }^{5}=i\left(\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\mathrm {M} }={\tfrac {1}{i^{2}}}\left(\gamma ^{4}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\mathrm {E} }=\left(\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\gamma ^{4}\right)_{\mathrm {E} }=\gamma _{\mathrm {E} }^{5}~.$

एंटी-कम्यूटेटर का उपयोग करना और उसे यूक्लिडियन स्पेस में नोट करना $\left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{\mu }$, एक वह दिखाता है

$\left(\gamma ^{5}\right)^{\dagger }=\gamma ^{5}$

यूक्लिडियन अंतरिक्ष में चिरल आधार पर,

$\gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}$

जो इसके मिन्कोव्स्की संस्करण से अपरिवर्तित है।

गैर-सापेक्षवादी प्रतिनिधित्व

$\gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{1,2,3}\\i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}}\ ,\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}}$

यह भी देखें

• पॉली मैट्रिसेस
• गेल-मान मैट्रिसेस
• उच्च-आयामी गामा मैट्रिक्स
• फिर्ज़ पहचान

संदर्भ

• Halzen, Francis; Martin, Alan (1984). Quarks & Leptons: An introductory course in modern particle physics. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88741-2 – via Internet Archive (archive.org).
• Zee, A. (2003). Quantum Field Theory in a Nutshell. Princeton, NJ: Princeton University Press. chapter II.1. ISBN 0-691-01019-6.
• Peskin, M.; Schroeder, D. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press. chapter 3.2. ISBN 0-201-50397-2.
• Pauli, W. (1936). "Contributions mathématiques à la théorie des matrices de Dirac". Annales de l'Institut Henri Poincaré. 6: 109.
• Weinberg, S. (2002). The Quantum Theory of Fields. Vol. 1. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55001-7 – via Internet Archive (archive.org).
• Tong, David (2007). Lectures on Quantum Field Theory (course lecture notes). David Tong at University of Cambridge. p. 93. Retrieved 2015-03-07. These lecture notes are based on an introductory course on quantum field theory, aimed at Part III (i.e. masters level) students.
• de Wit, B.; Smith, J. (1986). "Appendix E" (PDF). Field Theory in Particle Physics. North-Holland Personal Library. Vol. 1. Utrecht, NL: North-Holland. ISBN 978-0444869999. Archived from the original (PDF) on 2016-03-04. Retrieved 2023-02-20 – via Utrecht University.
• Hestenes, D. (1996). "Real Dirac theory" (PDF). In Keller, J.; Oziewicz, Z. (eds.). The Theory of the Electron. Cuautitlan, Mexico: UNAM, Facultad de Estudios Superiores. pp. 1–50.

बाहरी संबंध

• Dirac matrices on mathworld including their group properties
• Dirac matrices as an abstract group on GroupNames
• "Dirac matrices", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]