ग्रिफ़िथ असमानता

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, ग्रिफ़िथ असमानता, जिसे कभी-कभी ग्रिफ़िथ-केली-शर्मन असमानता या जीकेएस असमानता भी कहा जाता है, जिसका नाम रॉबर्ट बी ग्रिफ़िथ के नाम पर रखा गया है, लौह-चुंबकीय स्पिन सिस्टम के लिए एक सहसंबंध असमानता है। अनौपचारिक रूप से, यह कहता है कि फेरोमैग्नेटिक स्पिन सिस्टम में, यदि स्पिन फ़्लिपिंग के तहत स्पिन का 'ए-प्राथमिक वितरण' अपरिवर्तनीय है, तो स्पिन के किसी भी मोनोमियल का सहसंबंध गैर-नकारात्मक है; और स्पिन के दो एकपदी का दो बिंदु सहसंबंध गैर-नकारात्मक है।

असमानता को ग्रिफिथ्स द्वारा आइसिंग फेरोमैग्नेट्स के लिए दो-बॉडी इंटरैक्शन के साथ साबित किया गया था, फिर केली और शर्मन द्वारा मनमाने ढंग से स्पिन की संख्या को शामिल करने वाली बातचीत को सामान्यीकृत किया गया, और फिर ग्रिफ़िथ द्वारा मनमाने ढंग से घूमने वाले सिस्टम तक। जीन गिनीब्रे द्वारा एक अधिक सामान्य सूत्रीकरण दिया गया था, और अब इसे गिनिब्रे असमानता कहा जाता है।

परिभाषाएँ

होने देना $\textstyle \sigma =\{\sigma _{j}\}_{j\in \Lambda }$ एक जाली (समूह) पर (निरंतर या अलग) स्पिन का एक विन्यास बनें Λ। यदि A ⊂ Λ जाली साइटों की एक सूची है, संभवतः डुप्लिकेट के साथ, तो आइए $\textstyle \sigma _{A}=\prod _{j\in A}\sigma _{j}$ ए में स्पिन का उत्पाद बनें।

स्पिन पर एक प्राथमिकता माप dμ(σ) निर्दिष्ट करें; मान लीजिए कि H रूप का एक ऊर्जा क्रियात्मक रूप है

$H(\sigma )=-\sum _{A}J_{A}\sigma _{A}~,$

जहां योग साइट ए और लेट की सूचियों से अधिक है

$Z=\int d\mu (\sigma )e^{-H(\sigma )}$

विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) बनें। हमेशा की तरह,

$\langle \cdot \rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{\sigma }\cdot (\sigma )e^{-H(\sigma )}$

संयोजन औसत के लिए खड़ा है।

साइट ए, जे की किसी भी सूची के लिए सिस्टम को फेरोमैग्नेटिक कहा जाता है_A ≥ 0. सिस्टम को स्पिन फ़्लिपिंग के तहत अपरिवर्तनीय कहा जाता है, यदि Λ में किसी भी j के लिए, माप μ को साइन फ़्लिपिंग मैप σ → τ के तहत संरक्षित किया जाता है, जहां

$\tau _{k}={\begin{cases}\sigma _{k},&k\neq j,\\-\sigma _{k},&k=j.\end{cases}}$

असमानताओं का विवरण

पहली ग्रिफ़िथ असमानता

लौहचुंबकीय स्पिन प्रणाली में जो स्पिन फ़्लिपिंग के तहत अपरिवर्तनीय है,

$\langle \sigma _{A}\rangle \geq 0$

स्पिन ए की किसी भी सूची के लिए।

दूसरी ग्रिफ़िथ असमानता

लौहचुंबकीय स्पिन प्रणाली में जो स्पिन फ़्लिपिंग के तहत अपरिवर्तनीय है,

$\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle \geq \langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle$

स्पिन ए और बी की किसी भी सूची के लिए।

पहली असमानता दूसरे का एक विशेष मामला है, जो B = ∅ के अनुरूप है।

प्रमाण

ध्यान दें कि विभाजन फ़ंक्शन परिभाषा के अनुसार गैर-नकारात्मक है।

प्रथम असमानता का प्रमाण: विस्तार करें

$e^{-H(\sigma )}=\prod _{B}\sum _{k\geq 0}{\frac {J_{B}^{k}\sigma _{B}^{k}}{k!}}=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}\sigma _{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}~,$

तब

${\begin{aligned}Z\langle \sigma _{A}\rangle &=\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}e^{-H(\sigma )}=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}\sigma _{B}^{k_{B}}\\&=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\prod _{j\in \Lambda }\sigma _{j}^{n_{A}(j)+k_{B}n_{B}(j)}~,\end{aligned}}$

कहां एन_A(जे) ए में दिखाई देने वाली जे की संख्या को दर्शाता है। अब, स्पिन फ़्लिपिंग के तहत अपरिवर्तनीयता से,

$\int d\mu (\sigma )\prod _{j}\sigma _{j}^{n(j)}=0$

यदि कम से कम एक n(j) विषम है, और वही अभिव्यक्ति स्पष्ट रूप से n के सम मानों के लिए गैर-नकारात्मक है। इसलिए, Z<σ_A>≥0, इसलिए भी <σ_A>≥0.

दूसरी असमानता का प्रमाण. दूसरी ग्रिफ़िथ असमानता के लिए, यादृच्छिक चर को दोगुना करें, यानी स्पिन की दूसरी प्रति पर विचार करें, $\sigma '$, के समान वितरण के साथ $\sigma$. तब

$\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle =\langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle ~.$

नए वेरिएबल का परिचय दें

$\sigma _{j}=\tau _{j}+\tau _{j}'~,\qquad \sigma '_{j}=\tau _{j}-\tau _{j}'~.$

दोगुनी प्रणाली $\langle \langle \;\cdot \;\rangle \rangle$ लौहचुंबकीय है $\tau ,\tau '$ क्योंकि $-H(\sigma )-H(\sigma ')$ में एक बहुपद है $\tau ,\tau '$ सकारात्मक गुणांक के साथ

${\begin{aligned}\sum _{A}J_{A}(\sigma _{A}+\sigma '_{A})&=\sum _{A}J_{A}\sum _{X\subset A}\left[1+(-1)^{|X|}\right]\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}\end{aligned}}$

उपाय के अलावा $\tau ,\tau '$ स्पिन फ़्लिपिंग के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है क्योंकि $d\mu (\sigma )d\mu (\sigma ')$ है। अंत में एकपदी $\sigma _{A}$, $\sigma _{B}-\sigma '_{B}$ में बहुपद हैं $\tau ,\tau '$ सकारात्मक गुणांक के साथ

${\begin{aligned}\sigma _{A}&=\sum _{X\subset A}\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}~,\\\sigma _{B}-\sigma '_{B}&=\sum _{X\subset B}\left[1-(-1)^{|X|}\right]\tau _{B\setminus X}\tau '_{X}~.\end{aligned}}$

पहली ग्रिफ़िथ असमानता लागू हुई $\langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle$ परिणाम देता है.

अधिक विवरण अंदर हैं और।

विस्तार: गिनिब्रे असमानता

गिनिब्रे असमानता एक विस्तार है, जो जीन गिनिब्रे द्वारा पाया गया है,ग्रिफ़िथ असमानता का.

सूत्रीकरण

मान लीजिए (Γ, μ) एक संभाव्यता स्थान है। Γ पर फ़ंक्शन f, h के लिए, निरूपित करें

$\langle f\rangle _{h}=\int f(x)e^{-h(x)}\,d\mu (x){\Big /}\int e^{-h(x)}\,d\mu (x).$

मान लीजिए A Γ पर वास्तविक कार्यों का एक सेट है जैसे कि। प्रत्येक एफ के लिए₁,एफ₂,...,एफ_n ए में, और संकेतों के किसी भी विकल्प के लिए ±,

$\iint d\mu (x)\,d\mu (y)\prod _{j=1}^{n}(f_{j}(x)\pm f_{j}(y))\geq 0.$

फिर, 'ए' द्वारा उत्पन्न उत्तल शंकु में किसी भी एफ,जी,−एच के लिए,

$\langle fg\rangle _{h}-\langle f\rangle _{h}\langle g\rangle _{h}\geq 0.$

प्रमाण

होने देना

$Z_{h}=\int e^{-h(x)}\,d\mu (x).$

तब

${\begin{aligned}&Z_{h}^{2}\left(\langle fg\rangle _{h}-\langle f\rangle _{h}\langle g\rangle _{h}\right)\\&\qquad =\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y))e^{-h(x)-h(y)}\\&\qquad =\sum _{k=0}^{\infty }\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y)){\frac {(-h(x)-h(y))^{k}}{k!}}.\end{aligned}}$

अब असमानता धारणा और पहचान से आती है

$f(x)={\frac {1}{2}}(f(x)+f(y))+{\frac {1}{2}}(f(x)-f(y)).$

उदाहरण

• (दूसरी) ग्रिफ़िथ असमानता को पुनर्प्राप्त करने के लिए, Γ = {−1, +1} लें^Λ, जहां Λ एक जाली है, और μ को Γ पर एक माप होने दें जो साइन फ़्लिपिंग के तहत अपरिवर्तनीय है। सकारात्मक गुणांक वाले बहुपदों का शंकु 'ए' गिनिब्रे असमानता की धारणाओं को संतुष्ट करता है।
• (Γ,μ) हार माप के साथ एक क्रमविनिमेय कॉम्पैक्ट समूह है, 'ए' वास्तविक सकारात्मक-निश्चित फ़ंक्शन का शंकु है#जटिल विश्लेषण और आंकड़ों और Γ पर हार्मोनिक विश्लेषण में।
• Γ एक पूरी तरह से व्यवस्थित सेट है, 'ए' Γ पर वास्तविक सकारात्मक गैर-घटते कार्यों का शंकु है। इससे चेबीशेव की योग असमानता उत्पन्न होती है। आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों के विस्तार के लिए, FKG असमानता देखें।

अनुप्रयोग

• फेरोमैग्नेटिक आइसिंग मॉडल (गैर-नकारात्मक बाहरी क्षेत्र एच और मुक्त सीमा स्थितियों के साथ) के सहसंबंधों की थर्मोडायनामिक सीमा मौजूद है।

ऐसा इसलिए है क्योंकि वॉल्यूम बढ़ाना नए कपलिंग जे पर स्विच करने के समान है_B एक निश्चित उपसमूह बी के लिए दूसरी ग्रिफिथ्स असमानता द्वारा

${\frac {\partial }{\partial J_{B}}}\langle \sigma _{A}\rangle =\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle \geq 0$

इस तरह $\langle \sigma _{A}\rangle$ मात्रा के साथ नीरस रूप से बढ़ रहा है; तब यह अभिसरण करता है क्योंकि यह 1 से घिरा है।

• इंटरैक्शन के साथ एक-आयामी, फेरोमैग्नेटिक आइसिंग मॉडल $J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }$ यदि एक चरण संक्रमण प्रदर्शित करता है $1<\alpha <2$.

इस संपत्ति को एक पदानुक्रमित सन्निकटन में दिखाया जा सकता है, जो कुछ इंटरैक्शन की अनुपस्थिति से पूर्ण मॉडल से भिन्न होता है: दूसरे ग्रिफ़िथ असमानता के साथ ऊपर तर्क करते हुए, परिणाम पूर्ण मॉडल पर चलते हैं।

• गिनिब्रे असमानता द्वि-आयामी शास्त्रीय XY मॉडल के लिए थर्मोडायनामिक मुक्त ऊर्जा और स्पिन सहसंबंधों के लिए थर्मोडायनामिक सीमा का अस्तित्व प्रदान करती है।इसके अलावा, गिनिब्रे असमानता के माध्यम से, कुंज और फ़िस्टर ने बातचीत के साथ लौहचुंबकीय XY मॉडल के लिए एक चरण संक्रमण की उपस्थिति साबित की $J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }$ अगर $2<\alpha <4$.
• एज़ेनमैन और साइमन यह साबित करने के लिए गिनिब्रे असमानता का उपयोग किया गया कि आयाम में लौहचुंबकीय शास्त्रीय XY मॉडल के दो बिंदु स्पिन सहसंबंध $D$, युग्मन $J>0$ और उलटा तापमान $\beta$ आयाम में फेरोमैग्नेटिक आइसिंग मॉडल के दो बिंदु सहसंबंध का प्रभुत्व है (यानी ऊपरी सीमा दी गई है) $D$, युग्मन $J>0$, और उलटा तापमान $\beta /2$

$\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle _{J,2\beta }\leq \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{J,\beta }$

इसलिए आलोचनात्मक $\beta$ XY मॉडल का तापमान आइसिंग मॉडल के क्रांतिक तापमान के दोगुने से छोटा नहीं हो सकता

$\beta _{c}^{XY}\geq 2\beta _{c}^{\rm {Is}}~;$

आयाम D = 2 और युग्मन J = 1 में, यह प्राप्त होता है

$\beta _{c}^{XY}\geq \ln(1+{\sqrt {2}})\approx 0.88~.$

• कूलम्ब गैस के लिए गिनिब्रे असमानता का एक संस्करण मौजूद है जो सहसंबंधों की थर्मोडायनामिक सीमा के अस्तित्व को दर्शाता है।
• अन्य अनुप्रयोगों (स्पिन सिस्टम, XY मॉडल, XYZ क्वांटम श्रृंखला में चरण संक्रमण) की समीक्षा की गई है।