व्युत्क्रम रूपांतरण

गणितीय भौतिकी में, व्युत्क्रम परिवर्तन पॉइंकेरे परिवर्तनों का एक प्राकृतिक विस्तार है जिसमें सभी अनुरूप मानचित्र, आक्षेप | समन्वित अंतरिक्ष-समय पर एक-से-एक परिवर्तन शामिल हैं। भौतिकी में उनका अध्ययन कम किया जाता है क्योंकि, पोंकारे समरूपता के घूर्णन और अनुवाद के विपरीत, किसी वस्तु को व्युत्क्रम समरूपता द्वारा भौतिक रूप से परिवर्तित नहीं किया जा सकता है। इस समरूपता के तहत कुछ भौतिक सिद्धांत अपरिवर्तनीय हैं, इन मामलों में इसे 'छिपी हुई समरूपता' के रूप में जाना जाता है। भौतिकी की अन्य छिपी हुई समरूपताओं में गेज समरूपता और सामान्य सहप्रसरण शामिल हैं।

प्रारंभिक उपयोग

1831 में गणितज्ञ लुडविग इमैनुएल मैग्नस ने त्रिज्या आर के एक वृत्त में व्युत्क्रम द्वारा उत्पन्न विमान के परिवर्तनों पर प्रकाशन शुरू किया। उनके काम ने प्रकाशनों का एक बड़ा संग्रह शुरू किया, जिसे अब व्युत्क्रम ज्यामिति कहा जाता है। सबसे प्रमुख रूप से नामित गणितज्ञ अगस्त फर्डिनेंड मोबियस बन गए, जब उन्होंने समतलीय परिवर्तनों को जटिल संख्या अंकगणित में बदल दिया। प्रारंभ में व्युत्क्रम परिवर्तन को नियोजित करने वाले भौतिकविदों की कंपनी में लॉर्ड केल्विन थे, और उनके साथ सहयोग के कारण इसे केल्विन परिवर्तन कहा जाता है।

निर्देशांक पर परिवर्तन

निम्नलिखित में हम काल्पनिक समय का उपयोग करेंगे ($t'=it$) ताकि स्पेस-टाइम यूक्लिडियन हो और समीकरण सरल हों। पोंकारे परिवर्तन 4-वेक्टर वी द्वारा पैरामीट्रिज्ड स्पेस-टाइम पर समन्वय परिवर्तन द्वारा दिए गए हैं

$V_{\mu }^{\prime }=O_{\mu }^{\nu }V_{\nu }+P_{\mu }\,$

कहाँ $O$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है और $P$ एक 4-वेक्टर है. इस परिवर्तन को 4-वेक्टर पर दो बार लागू करने से उसी रूप का तीसरा परिवर्तन मिलता है। इस परिवर्तन के तहत मूल अपरिवर्तनीय स्थान-समय की लंबाई है जो 4-वेक्टर x और y द्वारा दिए गए दो अंतरिक्ष-समय बिंदुओं के बीच की दूरी द्वारा दी गई है:

$r=|x-y|.\,$

ये परिवर्तन अंतरिक्ष-समय पर सामान्य 1-1 अनुरूप परिवर्तनों के उपसमूह हैं। अंतरिक्ष-समय पर सभी 1-1 अनुरूप परिवर्तनों को शामिल करने के लिए इन परिवर्तनों का विस्तार करना संभव है

$V_{\mu }^{\prime }=\left(A_{\tau }^{\nu }V_{\nu }+B_{\tau }\right)\left(C_{\tau \mu }^{\nu }V_{\nu }+D_{\tau \mu }\right)^{-1}.$

हमारे पास पोंकारे परिवर्तनों की रूढ़िवादिता स्थिति के समतुल्य स्थिति भी होनी चाहिए:

$AA^{T}+BC=DD^{T}+CB\,$

क्योंकि परिवर्तन को ऊपर और नीचे से विभाजित किया जा सकता है $D,$ हम सेटिंग करके कोई व्यापकता नहीं खोते हैं $D$ यूनिट मैट्रिक्स के लिए. हम साथ समाप्त करते हैं

$V_{\mu }^{\prime }=\left(O_{\mu }^{\nu }V_{\nu }+P_{\tau }\right)\left(\delta _{\tau \mu }+Q_{\tau \mu }^{\nu }V_{\nu }\right)^{-1}.\,$

इस परिवर्तन को 4-वेक्टर पर दो बार लागू करने से एक ही रूप का परिवर्तन मिलता है। 'व्युत्क्रम' की नई समरूपता 3-टेंसर द्वारा दी गई है $Q.$ यदि हम सेट करते हैं तो यह समरूपता पोंकारे समरूपता बन जाती है $Q=0.$ कब $Q=0$ दूसरी शर्त के लिए यह आवश्यक है $O$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है. यह परिवर्तन 1-1 है जिसका अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु को एक अद्वितीय बिंदु पर तभी मैप किया जाता है जब हम सैद्धांतिक रूप से अनंत पर बिंदुओं को शामिल करते हैं।

अपरिवर्तनीय

4 आयामों में इस समरूपता के लिए अपरिवर्तनीय अज्ञात है, हालांकि यह ज्ञात है कि अपरिवर्तनीय को न्यूनतम 4 अंतरिक्ष-समय बिंदुओं की आवश्यकता होती है। एक आयाम में, अपरिवर्तनीय मोबियस परिवर्तनों से प्रसिद्ध क्रॉस-अनुपात है:

${\frac {(x-X)(y-Y)}{(x-Y)(y-X)}}.$

क्योंकि इस समरूपता के तहत एकमात्र अपरिवर्तनीय में न्यूनतम 4 बिंदु शामिल होते हैं, यह समरूपता बिंदु कण सिद्धांत की समरूपता नहीं हो सकती है। बिंदु कण सिद्धांत अंतरिक्ष-समय (जैसे, से) के माध्यम से कणों के पथ की लंबाई जानने पर निर्भर करता है $x$ को $y$). समरूपता एक स्ट्रिंग सिद्धांत की समरूपता हो सकती है जिसमें स्ट्रिंग्स को उनके अंतिम बिंदुओं द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। अंतिम बिंदु से शुरू होने वाली स्ट्रिंग के लिए इस सिद्धांत का प्रचारक $(x,X)$ और अंतिम बिंदु पर समाप्त होता है $(y,Y)$ 4-आयामी अपरिवर्तनीय का एक अनुरूप कार्य है। एंडपॉइंट-स्ट्रिंग सिद्धांत में एक स्ट्रिंग फ़ील्ड एंडपॉइंट पर एक फ़ंक्शन है।

$\phi (x,X).\,$

भौतिक साक्ष्य

यद्यपि भौतिकी में छिपी हुई समरूपता को खोजने के लिए पोंकारे परिवर्तनों को सामान्य बनाना और इस प्रकार उच्च-ऊर्जा भौतिकी के संभावित सिद्धांतों की संख्या को कम करना स्वाभाविक है, इस समरूपता की प्रयोगात्मक जांच करना मुश्किल है क्योंकि इसके तहत किसी वस्तु को बदलना संभव नहीं है। यह समरूपता. इस समरूपता का अप्रत्यक्ष प्रमाण इस बात से मिलता है कि भौतिकी के मौलिक सिद्धांत, जो इस समरूपता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय हैं, कितनी सटीकता से भविष्यवाणियाँ करते हैं। अन्य अप्रत्यक्ष प्रमाण यह है कि क्या इस समरूपता के तहत अपरिवर्तनीय सिद्धांत 1 से अधिक संभावनाएं देने जैसे विरोधाभासों को जन्म देते हैं। अब तक कोई प्रत्यक्ष प्रमाण नहीं मिला है कि ब्रह्मांड के मूलभूत घटक तार हैं। समरूपता एक टूटी हुई समरूपता भी हो सकती है जिसका अर्थ है कि यद्यपि यह भौतिकी की समरूपता है, ब्रह्मांड एक विशेष दिशा में 'जम गया है' इसलिए यह समरूपता अब स्पष्ट नहीं है।

यह भी देखें

• रोटेशन समूह SO(3)
• घूर्णन और परावर्तन का समन्वय करें
• स्पेसटाइम समरूपता
• सीपीटी समरूपता
• क्षेत्र (भौतिकी)
• सुपरस्ट्रिंग्स