प्रत्यक्ष अनुकरण मोंटे कार्लो

प्रत्यक्ष सिमुलेशन मोंटे कार्लो (डीएसएमसी) विधि परिमित नुडसेन संख्या द्रव प्रवाह के लिए बोल्ट्जमैन समीकरण को हल करने के लिए संभाव्य मोंटे कार्लो विधि सिमुलेशन का उपयोग करती है।

डीएसएमसी विधि ग्रीम बर्ड द्वारा प्रस्तावित की गई थी, सिडनी विश्वविद्यालय में वैमानिकी के एमेरिटस प्रोफेसर। डीएसएमसी दुर्लभ गैस प्रवाह के मॉडलिंग के लिए एक संख्यात्मक विधि है, जिसमें एक अणु का औसत मुक्त पथ एक प्रतिनिधि भौतिक लंबाई पैमाने की तुलना में समान क्रम (या अधिक) का होता है (यानी नुड्सन संख्या Kn 1 से अधिक है)। सुपरसोनिक और हाइपरसोनिक प्रवाह में रेयरफैक्शन को त्सिएन के पैरामीटर द्वारा दर्शाया जाता है, जो नुडसेन संख्या और मैक संख्या (केएनएम) या एम के उत्पाद के बराबर है।$^{2}$/Re, जहां Re रेनॉल्ड्स संख्या है। इन दुर्लभ प्रवाहों में, नेवियर-स्टोक्स समीकरण गलत हो सकते हैं। डीएसएमसी पद्धति को मॉडल सातत्य प्रवाह (केएन <1) तक विस्तारित किया गया है और परिणामों की तुलना नेवियर स्टोक्स समाधानों से की जा सकती है।

डीएसएमसी विधि बोल्ट्ज़मैन समीकरण को हल करने के लिए संभाव्य सिमुलेशन अणुओं का उपयोग करके द्रव प्रवाह को मॉडल करती है। अणुओं को भौतिक स्थान के अनुकरण के माध्यम से यथार्थवादी तरीके से स्थानांतरित किया जाता है जो सीधे भौतिक समय से जुड़ा होता है ताकि अस्थिर प्रवाह विशेषताओं को मॉडल किया जा सके। अंतर-आण्विक टकराव और अणु-सतह टकराव की गणना संभाव्य, घटनात्मक मॉडल का उपयोग करके की जाती है। सामान्य आणविक मॉडल में हार्ड स्फेयर मॉडल, वेरिएबल हार्ड स्फेयर (वीएचएस) मॉडल और वेरिएबल सॉफ्ट स्फेयर (वीएसएस) मॉडल शामिल हैं। विभिन्न टकराव मॉडल प्रस्तुत किए गए हैं। वर्तमान में, डीएसएमसी विधि को अंतरिक्ष शटल री-एंट्री एयरोडायनामिक्स के अनुमान से लेकर माइक्रोइलेक्ट्रोमैकेनिकल सिस्टम (एमईएमएस) के मॉडलिंग तक प्रवाह के समाधान के लिए लागू किया गया है।

डीएसएमसी एल्गोरिथम

प्रत्यक्ष सिमुलेशन मोंटे कार्लो एल्गोरिदम उस स्थिति में आणविक गतिशीलता की तरह है प्रणाली की स्थिति और वेग द्वारा दी गई है कण, $\{\mathbf {r} _{i},{\textbf {v}}_{i}\}$, के लिए $i=1,\ldots ,N$. आणविक गतिशीलता के विपरीत, DSMC सिमुलेशन में प्रत्येक कण प्रतिनिधित्व करता है $F_{N}$ अणुओं में भौतिक प्रणाली जो लगभग समान स्थिति और वेग पर है। यह DSMC को मैक्रोस्कोपिक सिस्टम (उदाहरण के लिए, वायुमंडलीय प्रवेश) के मॉडलिंग के लिए लंबाई और समय को फिर से मापने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, सिस्टम वॉल्यूम है $V=(NF_{N})/n$, कहाँ $n$ संख्या है घनत्व और सिमुलेशन कणों के बीच प्रत्येक टकराव का प्रतिनिधित्व करता है $F_{N}$ टक्कर भौतिक तंत्र में अणुओं के बीच। सामान्य नियम के अनुसार प्रति घन माध्य मुक्त पथ में 20 या अधिक कण होने चाहिए सटीक परिणामों के लिए.

सिस्टम का विकास समय के चरणों में एकीकृत है, $\tau$, जो हैं आमतौर पर किसी कण के औसत टकराव के समय के क्रम पर। प्रत्येक समय कदम पर सभी कण हिलते हैं और फिर जोड़े का एक यादृच्छिक समूह टकराता है। बाहरी क्षेत्रों (जैसे, गुरुत्वाकर्षण) की अनुपस्थिति में कण बैलिस्टिक रूप से चलते हैं $\mathbf {r} _{i}(t+\tau )=\mathbf {r} _{i}(t)+\mathbf {v} _{i}(t)\tau$. कोई भी कण जो किसी सीमा या सतह पर पहुंचता है, उसकी स्थिति और वेग तदनुसार रीसेट हो जाते हैं (उदाहरण के लिए, आवधिक सीमा स्थितियाँ)। सभी कणों के स्थानांतरित होने के बाद, उन्हें कोशिकाओं में क्रमबद्ध किया जाता है और कुछ को टकराने के लिए यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। गैसों के गतिज सिद्धांत से प्राप्त संभावनाओं और टकराव की दर के आधार पर। सभी टकराने वाले कणों के वेग रीसेट हो जाने के बाद, सांख्यिकीय नमूनाकरण किया जाता है अगली बार चरण के लिए प्रक्रिया दोहराई जाती है।

टकराव

प्रत्येक टाइमस्टेप पर कणों को स्थानिक कोशिकाओं में और केवल कणों को एक ही कोशिका में क्रमबद्ध किया जाता है टकराने की इजाजत है. आमतौर पर सेल का आयाम माध्य मुक्त पथ से बड़ा नहीं होता है। एक कोशिका में कणों के सभी जोड़े उम्मीदवार टकराव भागीदार होते हैं, भले ही उनके वास्तविक प्रक्षेप पथ कुछ भी हों।

डीएसएमसी में टकरावों की गणना कैसे की जाती है इसका विवरण आणविक इंटरैक्शन मॉडल पर निर्भर करता है; यहां हम कठोर गोले का मॉडल लेते हैं, जो सबसे सरल है। कठोर गोले मॉडल में, कणों की जोड़ी के लिए टकराव की संभावना, $i$ और $j$, है उनकी सापेक्ष गति के समानुपाती,

$$P_{\mathrm {coll} }[i,j]={{|\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{j}|} \over {\sum _{m=1}^{N_{\mathrm {c} }}\sum _{n=1}^{m-1}|\mathbf {v} _{m}-\mathbf {v} _{n}|}}$$

कहाँ $N_{\mathrm {c} }$ कोशिका में कणों की संख्या है और योग कोशिका के भीतर कणों पर है। हर में दोगुने योग के कारण इस टकराव की संभावना का सीधे उपयोग करना कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा हो सकता है। इसके बजाय, निम्नलिखित अस्वीकृति नमूनाकरण योजना का उपयोग टकराव जोड़े का चयन करने के लिए किया जा सकता है:

1. उम्मीदवार कणों की एक जोड़ी, $i$ और $j$, यादृच्छिक और उनकी सापेक्ष गति से चुना जाता है, $v_{\mathrm {r} }=|\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{j}|$, गणना की जाती है।
2. जोड़ी को टकराव साझेदार के रूप में स्वीकार किया जाता है यदि $v_{\mathrm {r} }>v_{\mathrm {r} }^{\mathrm {max} }\Re$, कहाँ $v_{\mathrm {r} }^{\mathrm {max} }$ सेल में अधिकतम सापेक्ष गति है और $\Re$ [0,1) में एक सतत समान वितरण है।
3. यदि जोड़ी स्वीकार की जाती है, तो टकराव की प्रक्रिया की जाती है; कणों का वेग रीसेट हो जाता है लेकिन स्थिति अपरिवर्तित रहती है।
4. टकराव संसाधित होने के बाद या यदि जोड़ी अस्वीकार कर दी जाती है, तो चरण 1 पर वापस लौटें।

यह प्रक्रिया सही है भले ही मान का $v_{\mathrm {r} }^{\mathrm {max} }$ इसे ज़्यादा करके आंका गया है, हालाँकि यह कम कुशल है इस अर्थ में कि अधिक उम्मीदवार खारिज कर दिए जाते हैं।

टक्कर जोड़ी चुने जाने के बाद, उनकी टक्कर के बाद की गति, $\mathbf {v} _{i}^{*}$ और $\mathbf {v} _{j}^{*}$, का मूल्यांकन किया जाता है। गोलाकार समन्वय प्रणाली के संदर्भ में सापेक्ष वेग लिखना, $\theta$ और $\phi$

$$\mathbf {v} _{\mathrm {r} }^{*}=v_{\mathrm {r} }[(\sin \theta \cos \phi ){\hat {\mathbf {x} }}+(\sin \theta \sin \phi ){\hat {\mathbf {y} }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {z} }}]$$

इन कोणों का चयन मोंटे कार्लो प्रक्रिया द्वारा टकराव मॉडल द्वारा दिए गए वितरण के साथ किया जाता है। कठोर गोले मॉडल के लिए ये कोण इकाई गोले पर समान रूप से वितरित होते हैं। अज़ीमुथल कोण 0 और के बीच समान रूप से वितरित होता है $2\pi$, इसलिए इसे इस प्रकार चुना गया है $\phi =2\pi \Re _{1}$ कहाँ $\Re _{1}$ [0,1) में एक सतत समान वितरण है। ध्रुवीय कोण को संभाव्यता घनत्व के अनुसार वितरित किया जाता है,

$$P_{\theta }(\theta )\,d\theta ={\textstyle {\frac {1}{2}}}\sin \theta \,d\theta$$

चर के परिवर्तन का उपयोग करना $q=\sin \theta$, अपने पास $P_{q}(q)\,dq=({\textstyle {\frac {1}{2}}})\,dq$ इसलिए

$$\cos \theta =q~\mathrm {and} ~\sin \theta ={\sqrt {1-q^{2}}}~\mathrm {where} ~q=2\Re _{2}-1$$

टक्कर के बाद के वेग इस प्रकार निर्धारित किए गए हैं

$$\mathbf {v} _{i}^{*}=\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }^{*}+{1 \over 2}\mathbf {v} _{\mathrm {r} }^{*}\qquad \mathbf {v} _{j}^{*}=\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }^{*}-{1 \over 2}\mathbf {v} _{\mathrm {r} }^{*}$$

ध्यान दें कि रैखिक संवेग और ऊर्जा के संरक्षण से द्रव्यमान वेग का केंद्र और टक्कर में सापेक्ष गति अपरिवर्तित रहती है। वह है,

$$\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }={1 \over 2}(\mathbf {v} _{i}+\mathbf {v} _{j})={1 \over 2}(\mathbf {v} _{i}^{*}+\mathbf {v} _{j}^{*})=\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }^{*}$$

और

$$v_{\mathrm {r} }=|\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{j}|=|\mathbf {v} _{i}^{*}-\mathbf {v} _{j}^{*}|=v_{\mathrm {r} }^{*}$$

यह प्रक्रिया टकराने वाले कणों के प्रत्येक जोड़े के लिए दोहराई जाती है।

टक्कर की आवृत्ति से, $f_{\mathrm {coll} }$, गतिज सिद्धांत द्वारा दिया गया कुल एक समय के दौरान एक कोशिका में कठोर गोले के टकराव की संख्या $\tau$ है

$$M_{\mathrm {coll} }={1 \over 2}(N_{\mathrm {c} }-1)F_{N}f_{\mathrm {coll} }\tau ={{N_{\mathrm {c} }(N_{\mathrm {c} }-1)F_{N}\pi d^{2}\langle v_{\mathrm {r} }\rangle \tau } \over {2V_{\mathrm {c} }}}$$

कहाँ $d$ कण व्यास है और $V_{\mathrm {c} }$ कोशिका का आयतन है. चूंकि टकराव के उम्मीदवार अस्वीकृति नमूनाकरण प्रक्रिया से गुजरते हैं कठोर गोले के कणों के लिए कुल स्वीकृत और कुल अभ्यर्थियों का अनुपात है

$${{M_{\mathrm {coll} }} \over {M_{\mathrm {cand} }}}={{\langle v_{\mathrm {r} }\rangle } \over {v_{\mathrm {r} }^{\max }}}$$

एक समय चरण में एक सेल में चयनित टकराव वाले उम्मीदवारों की संख्या $\tau$ है

$$M_{\mathrm {cand} }={{N_{\mathrm {c} }(N_{\mathrm {c} }-1)F_{N}\pi d^{2}v_{\mathrm {r} }^{\max }\tau } \over {2V_{\mathrm {c} }}}$$

टकरावों की संख्या निर्धारित करने के इस दृष्टिकोण को नो-टाइम-काउंटर (एनटीसी) विधि के रूप में जाना जाता है। अगर $v_{\mathrm {r} }^{\max }$ बहुत अधिक ऊंचाई पर सेट किया गया है तो एल्गोरिदम समान संख्या में टकराव की प्रक्रिया करता है (औसतन) लेकिन अनुकरण अप्रभावी है क्योंकि कई उम्मीदवार अस्वीकार कर दिए जाते हैं।

बाहरी संबंध

• Direct Simulation Monte Carlo Method: Visual Simulation Programs created by GA Bird.
• DSMC Demo Applet by Greg Khanlarov
• Course material on DSMC (part of Computational Physics tutorial by Franz J. Vesely, University of Vienna)
• Course material on DSMC and recent developments (given at IPAM UCLA by Lorenzo Pareschi, University of Ferrara)