नेटवर्क समूहों की एन्ट्रॉपी

नेटवर्कों का एक सेट जो दी गई संरचनात्मक विशेषताओं को संतुष्ट करता है, उसे नेटवर्क समूह के रूप में माना जा सकता है। 2007 में गिनेस्ट्रा बियानकोनी द्वारा लाए गए, नेटवर्क समूह की एन्ट्रॉपी एक नेटवर्क समूह के क्रम या अनिश्चितता के स्तर को मापती है।

एंट्रॉपी ग्राफ़ की संख्या का लघुगणक है। एन्ट्रॉपी को एक नेटवर्क में भी परिभाषित किया जा सकता है। बेसिन एन्ट्रापी एक बूलियन नेटवर्क में आकर्षितकर्ताओं का लघुगणक है।

सांख्यिकीय यांत्रिकी से दृष्टिकोण को नियोजित करते हुए, नेटवर्क की जटिलता, अनिश्चितता और यादृच्छिकता को विभिन्न प्रकार की बाधाओं के साथ नेटवर्क समूहों द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

गिब्स और शैनन एन्ट्रॉपी

सांख्यिकीय यांत्रिकी के अनुरूप, कार्यान्वयन के लिए माइक्रोविहित पहनावा और नेटवर्क के कैनोनिकल एन्सेम्बल पेश किए जाते हैं। एक समूह के विभाजन फ़ंक्शन Z को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

$$Z=\sum _{\mathbf {a} }\delta \left[{\vec {F}}(\mathbf {a} )-{\vec {C}}\right]\exp \left(\sum _{ij}h_{ij}\Theta (a_{ij})+r_{ij}a_{ij}\right)$$

कहाँ ${\vec {F}}(\mathbf {a} )={\vec {C}}$ बाधा है, और $a_{ij}$ ($a_{ij}\geq {0}$) आसन्न मैट्रिक्स में तत्व हैं, $a_{ij}>0$ यदि और केवल यदि नोड और नोड जेएस के बीच कोई लिंक है। $\Theta (a_{ij})$ के साथ एक चरणीय कार्य है $\Theta (a_{ij})=1$ अगर $x>0$, और $\Theta (a_{ij})=0$ अगर $x=0$. सहायक क्षेत्र $h_{ij}$ और $r_{ij}$ शास्त्रीय यांत्रिकी में स्नान के सादृश्य के रूप में पेश किया गया है।

सरल अप्रत्यक्ष नेटवर्क के लिए, विभाजन फ़ंक्शन को इस प्रकार सरल बनाया जा सकता है

$$Z=\sum _{\{a_{ij}\}}\prod _{k}\delta ({\textrm {constraint}}_{k}(\{a_{ij}\}))\exp \left(\sum _{i<j}\sum _{\alpha }h_{ij}(\alpha )\delta _{a_{ij},\alpha }\right)$$

कहाँ $a_{ij}\in \alpha$, $\alpha$ वजन का सूचकांक है, और एक सरल नेटवर्क के लिए $\alpha =\{0,1\}$.

माइक्रोकैनोनिकल एन्सेम्बल और कैनोनिकल एन्सेम्बल को सरल अप्रत्यक्ष नेटवर्क के साथ प्रदर्शित किया जाता है।

एक माइक्रोकैनोनिकल समूह के लिए, एन्ट्रॉपी (सांख्यिकीय थर्मोडायनामिक्स) $\Sigma$ द्वारा परिभाषित किया गया है:

$${\begin{aligned}\Sigma &={\frac {1}{N}}\log {\mathcal {N}}\\&={\frac {1}{N}}\log Z|_{h_{ij}(\alpha )=0\forall (i,j,\alpha )}\end{aligned}}$$

कहाँ ${\mathcal {N}}$ समूह की प्रमुखता को इंगित करता है, अर्थात, समूह में नेटवर्क की कुल संख्या।

वजन के साथ नोड्स i और j के बीच एक लिंक होने की संभावना $\alpha$ द्वारा दिया गया है:

$$\pi _{ij}(\alpha )={\frac {\partial \log Z}{\partial {h_{ij}}(\alpha )}}$$

एक विहित समूह के लिए, एन्ट्रॉपी को एन्ट्रॉपी (सूचना सिद्धांत) के रूप में प्रस्तुत किया जाता है:

$${S}=-\sum _{i<j}\sum _{\alpha }\pi _{ij}(\alpha )\log \pi _{ij}(\alpha )$$

गिब्स और शैनन एन्ट्रॉपी के बीच संबंध

नेटवर्क समूह $G(N,L)$ नोड्स की दी गई संख्या के साथ $N$ और लिंक $L$, और इसका संयुग्म-विहित पहनावा $G(N,p)$ इन्हें माइक्रोकैनोनिकल और कैनोनिकल एन्सेम्बल के रूप में जाना जाता है और इनमें गिब्स एन्ट्रॉपी होती है $\Sigma$ और शैनन एन्ट्रॉपी एस, क्रमशः। गिब्स एन्ट्रापी में $G(N,p)$ पहनावा इसके द्वारा दिया गया है:

$${N}\Sigma =\log \left({\begin{matrix}{\cfrac {N(N-1)}{2}}\\L\end{matrix}}\right)$$

के लिए $G(N,p)$ पहनावा,

$${p}_{ij}=p={\cfrac {2L}{N(N-1)}}$$

डालने $p_{ij}$ शैनन एन्ट्रापी में:

$$\Sigma =S/N+{\cfrac {1}{2N}}\left[\log \left({\cfrac {N(N-1)}{2L}}\right)-\log \left({\cfrac {N(N-1)}{2}}-L\right)\right]$$

संबंध इंगित करता है कि गिब्स एन्ट्रापी $\Sigma$ और यादृच्छिक ग्राफ़ के प्रति नोड एस/एन शैनन एन्ट्रॉपी थर्मोडायनामिक सीमा में बराबर हैं $N\to \infty$.

वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी

वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी क्वांटम संदर्भ में शास्त्रीय गिब्स एन्ट्रॉपी का विस्तार है। यह एन्ट्रापी एक घनत्व मैट्रिक्स से निर्मित होती है $\rho$: ऐतिहासिक रूप से, इस तरह के घनत्व मैट्रिक्स के लिए पहला प्रस्तावित उम्मीदवार नेटवर्क से जुड़े लाप्लासियन मैट्रिक्स एल की अभिव्यक्ति रहा है। किसी समूह की औसत वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी की गणना इस प्रकार की जाती है:

$${S}_{VN}=-\langle \mathrm {Tr} \rho \log(\rho )\rangle$$

यादृच्छिक ग्राफ ़ समूह के लिए $G(N,p)$, के बीच संबंध $S_{VN}$ और $S$ औसत कनेक्टिविटी होने पर नॉनमोनोटोनिक है $p(N-1)$ विविध है.

विहित स्केल-मुक्त नेटवर्क|पावर-लॉ नेटवर्क संयोजन के लिए, दो एन्ट्रॉपी रैखिक रूप से संबंधित हैं।

$${S}_{VN}=\eta {S/N}+\beta$$

दिए गए अपेक्षित डिग्री अनुक्रम वाले नेटवर्क सुझाव देते हैं कि, अपेक्षित डिग्री वितरण में विविधता एक क्वांटम और नेटवर्क के शास्त्रीय विवरण के बीच एक समानता का अर्थ है, जो क्रमशः वॉन न्यूमैन और शैनन एन्ट्रॉपी से मेल खाती है। वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी की इस परिभाषा को टेंसोरियल दृष्टिकोण के साथ बहुपरत नेटवर्क तक भी बढ़ाया जा सकता है और संरचनात्मक दृष्टिकोण से उनकी आयामीता को कम करने के लिए सफलतापूर्वक उपयोग किया गया है। हालाँकि, यह दिखाया गया है कि एन्ट्रापी की यह परिभाषा उप-एडिटिविटी (देखें वॉन_न्यूमैन_एंट्रॉपी#सबएडिटिविटी|वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी की सबएडिटिविटी) की संपत्ति को संतुष्ट नहीं करती है, जो सैद्धांतिक रूप से अपेक्षित है। इस मौलिक संपत्ति को संतुष्ट करने वाली एक अधिक जमीनी परिभाषा मन्लियो डी डोमेनिको और बियामोंटे द्वारा पेश की गई है क्वांटम जैसी गिब्स अवस्था के रूप में

$$\rho (\beta )={\frac {e^{-\beta L}}{Z(\beta )}}$$

कहाँ

$$Z(\beta )=Tr[e^{-\beta L}]$$

एक सामान्यीकरण कारक है जो विभाजन फ़ंक्शन की भूमिका निभाता है, और $\beta$ एक ट्यून करने योग्य पैरामीटर है जो बहु-रिज़ॉल्यूशन विश्लेषण की अनुमति देता है। अगर $\beta$ एक अस्थायी पैरामीटर के रूप में व्याख्या की गई है, यह घनत्व मैट्रिक्स औपचारिक रूप से नेटवर्क के शीर्ष पर एक प्रसार प्रक्रिया के प्रचारक के लिए आनुपातिक है।

इस सुविधा का उपयोग जटिल सूचना गतिशीलता के एक सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत का निर्माण करने के लिए किया गया है, जहां घनत्व मैट्रिक्स की व्याख्या स्ट्रीम ऑपरेटरों की सुपर-स्थिति के संदर्भ में की जा सकती है जिनकी क्रिया नोड्स के बीच सूचना प्रवाह को सक्रिय करना है। सूक्ष्म, मेसोस्कोपिक और मैक्रोस्कोपिक पैमाने पर बाद के संक्रमण की प्रणालीगत विशेषताओं को जानने के लिए SARS-CoV-2 सहित वायरस-मानव इंटरैक्टोम्स के प्रोटीन-प्रोटीन इंटरेक्शन नेटवर्क का विश्लेषण करने के लिए रूपरेखा को सफलतापूर्वक लागू किया गया है। साथ ही नेटवर्क के भीतर सूचना प्रवाह को एकीकृत करने के लिए नोड्स के महत्व और नेटवर्क की मजबूती में उनकी भूमिका का आकलन करना। इस दृष्टिकोण को अन्य प्रकार की गतिशीलता से निपटने के लिए सामान्यीकृत किया गया है, जैसे कि मल्टीलेयर नेटवर्क के शीर्ष पर यादृच्छिक चलना, उनकी संरचना में बदलाव किए बिना ऐसी प्रणालियों की आयामीता को कम करने का एक प्रभावी तरीका प्रदान करता है। क्लासिकल और मैक्सिमल_एन्ट्रॉपी_रैंडम_वॉक|मैक्सिमम-एन्ट्रॉपी रैंडम वॉक दोनों का उपयोग करते हुए, संबंधित घनत्व मैट्रिक्स का उपयोग मानव मस्तिष्क के नेटवर्क राज्यों को एन्कोड करने और कई पैमानों पर, मनोभ्रंश के विभिन्न चरणों में कनेक्टोम की सूचना क्षमता का आकलन करने के लिए किया गया है।

यह भी देखें

• विहित पहनावा
• माइक्रोकैनोनिकल पहनावा
• अधिकतम-एन्ट्रापी यादृच्छिक ग्राफ मॉडल
• ग्राफ एन्ट्रापी