लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस एकीकरण

माप सिद्धांत|माप-सैद्धांतिक गणितीय विश्लेषण और गणित की संबंधित शाखाओं में, लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस एकीकरण रीमैन-स्टिल्टजेस अभिन्न|रीमैन-स्टिल्टजेस और लेब्सग्यू एकीकरण दोनों को सामान्यीकृत करता है, और अधिक सामान्य माप-सैद्धांतिक ढांचे में पूर्व के कई फायदों को संरक्षित करता है। लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस इंटीग्रल, लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस माप के रूप में जाने जाने वाले माप के संबंध में सामान्य लेब्सग्यू इंटीग्रल है, जो वास्तविक रेखा पर सीमित भिन्नता के किसी भी कार्य से जुड़ा हो सकता है। लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस माप एक नियमित बोरेल माप है, और इसके विपरीत वास्तविक रेखा पर प्रत्येक नियमित बोरेल माप इस प्रकार का होता है।

लेबेस्ग्यू-स्टिल्टजेस इंटीग्रल्स, जिसका नाम हेनरी लियोन लेब्सग्यू और थॉमस जोआन्स स्टिल्टजेस के नाम पर रखा गया है, को जोहान रेडॉन के बाद लेबेस्गु-रेडॉन इंटीग्रल्स या सिर्फ रेडॉन इंटीग्रल्स के रूप में भी जाना जाता है, जिनके लिए अधिकांश सिद्धांत देय हैं। वे संभाव्यता सिद्धांत और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं और संभावित सिद्धांत सहित गणितीय विश्लेषण की कुछ शाखाओं में सामान्य अनुप्रयोग पाते हैं।

परिभाषा

लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस इंटीग्रल

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)$

परिभाषित किया गया है जब$f:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R}$बोरेल माप-मापने योग्य कार्य है और परिबद्ध कार्य और$g:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R}$में सीमित भिन्नता है [a, b] और दाएँ-निरंतर, या कब  f  गैर-नकारात्मक है और g मोनोटोन फ़ंक्शन और सतत फ़ंक्शन#दिशात्मक और अर्ध-निरंतरता|दायां-निरंतर है। आरंभ करने के लिए, यह मान लें  f  गैर-नकारात्मक है और g एकस्वर न घटने वाला और सम-निरंतर है। परिभाषित करना w((s, t]) = g(t) − g(s) और w({a}) = 0 (वैकल्पिक रूप से, निर्माण कार्य के लिए g वाम-निरंतर, w([s,t)) = g(t) − g(s) और w({b}) = 0).

कैराथोडोरी के विस्तार प्रमेय के अनुसार, एक अद्वितीय बोरेल माप है μ_g पर [a, b] जो इससे सहमत है w प्रत्येक अंतराल पर I. पैमाना μ_g द्वारा दिए गए बाहरी माप (वास्तव में, एक मीट्रिक बाहरी माप) से उत्पन्न होता है

$\mu _{g}(E)=\inf \left\{\sum _{i}\mu _{g}(I_{i})\ :\ E\subseteq \bigcup _{i}I_{i}\right\}$

के सभी आवरणों पर अधिकतम ले लिया गया E अनगिनत अर्धखुले अंतरालों द्वारा। इस उपाय को कभी-कभी कहा जाता है लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस माप से जुड़ा हुआ है g.

लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस इंटीग्रल

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)$

के लेब्सग इंटीग्रल के रूप में परिभाषित किया गया है  f माप के संबंध में μ_g सामान्य तरीके से. अगर g नहीं बढ़ रहा है, तो परिभाषित करें

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x):=-\int _{a}^{b}f(x)\,d(-g)(x),$

उत्तरार्द्ध अभिन्न को पूर्ववर्ती निर्माण द्वारा परिभाषित किया जा रहा है।

अगर g सीमित भिन्नता का है और  f  परिबद्ध है, तो लिखना संभव है

$dg(x)=dg_{1}(x)-dg_{2}(x)$

कहाँ g₁(x) = V ^x
_ag कुल भिन्नता है का gअंतराल में [a, x], और g₂(x) = g₁(x) − g(x). दोनों g₁ और g₂ एकस्वर न घटने वाले हैं। अब लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस के संबंध में अभिन्न अंग g द्वारा परिभाषित किया गया है

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{1}(x)-\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{2}(x),$

जहां बाद के दो अभिन्न अंग पूर्ववर्ती निर्माण द्वारा अच्छी तरह से परिभाषित हैं।

डेनियल इंटीग्रल

एक वैकल्पिक दृष्टिकोण (Hewitt & Stromberg 1965) लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस इंटीग्रल को डेनियल अभिन्न के रूप में परिभाषित करना है जो सामान्य रीमैन-स्टिल्टजेस इंटीग्रल का विस्तार करता है। होने देना g एक गैर-घटते दाएँ-निरंतर कार्य पर हो [a, b], और परिभाषित करें I( f ) रीमैन-स्टिल्टजेस इंटीग्रल होना

$I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)$

सभी सतत कार्यों के लिए  f . कार्यात्मक (गणित) I एक रेडॉन माप को परिभाषित करता है [a, b]. फिर इस फ़ंक्शनल को सेटिंग द्वारा सभी गैर-नकारात्मक फ़ंक्शंस के वर्ग तक बढ़ाया जा सकता है

${\begin{aligned}{\overline {I}}(h)&=\sup \left\{I(f)\ :\ f\in C[a,b],0\leq f\leq h\right\}\\{\overline {\overline {I}}}(h)&=\inf \left\{I(f)\ :\ f\in C[a,b],h\leq f\right\}.\end{aligned}}$

बोरेल मापने योग्य कार्यों के लिए, एक के पास है

${\overline {I}}(h)={\overline {\overline {I}}}(h),$

और पहचान के दोनों ओर लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस इंटीग्रल को परिभाषित करता है h. बाहरी माप μ_g द्वारा परिभाषित किया गया है

$\mu _{g}(A):={\overline {I}}(\chi _{A})={\overline {\overline {I}}}(\chi _{A})$

कहाँ χ_A का सूचक कार्य है A.

परिबद्ध भिन्नता के इंटीग्रेटर्स को सकारात्मक और नकारात्मक विविधताओं में विघटित करके उपरोक्त तरीके से नियंत्रित किया जाता है।

उदाहरण

लगता है कि  γ : [a, b] → R² समतल में एक सुधार योग्य वक्र है और  ρ : R² → [0, ∞) बोरेल मापने योग्य है। तब हम इसकी लंबाई परिभाषित कर सकते हैं γयूक्लिडियन मीट्रिक के संबंध में ρ द्वारा भारित किया जाना है

$\int _{a}^{b}\rho (\gamma (t))\,d\ell (t),$

कहाँ $\ell (t)$ के प्रतिबंध की लंबाई है γ को [a, t]. इसे कभी-कभी कहा जाता है ρ-लंबाई की γ. यह धारणा विभिन्न अनुप्रयोगों के लिए काफी उपयोगी है: उदाहरण के लिए, कीचड़ भरे इलाके में जिस गति से कोई व्यक्ति चल सकता है वह इस बात पर निर्भर हो सकता है कि कीचड़ कितनी गहरी है। अगर  ρ(z) पर या उसके निकट चलने की गति का व्युत्क्रम दर्शाता है z, फिर ρ-लंबाई की γ वह समय है जिसे पार करने में लगेगा γ. चरम लंबाई की अवधारणा इस धारणा का उपयोग करती है ρ-वक्रों की लंबाई और अनुरूप मानचित्रण के अध्ययन में उपयोगी है।

भागों द्वारा एकीकरण

एक समारोह  f  को एक बिंदु पर नियमित कहा जाता है a यदि दायां और बायां हाथ सीमित है f (a+) और f (a−) मौजूद है, और फ़ंक्शन चालू हो जाता है a औसत मूल्य

$f(a)={\frac {f(a-)+f(a+)}{2}}.$

दो कार्य दिए गए U और V परिमित भिन्नता का, यदि प्रत्येक बिंदु पर कम से कम एक हो U या V सतत है या U और V दोनों नियमित हैं, फिर लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस इंटीग्रल के लिए भागों के फार्मूले द्वारा एक एकीकरण होता है:

$\int _{a}^{b}U\,dV+\int _{a}^{b}V\,dU=U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-),\qquad -\infty <a<b<\infty .$

यहां प्रासंगिक लेबेस्ग-स्टिल्टजेस उपाय कार्यों के सही-निरंतर संस्करणों से जुड़े हुए हैं U और V; यह इसके लिए है ${\textstyle {\tilde {U}}(x)=\lim _{t\to x^{+}}U(t)}$ और इसी तरह ${\tilde {V}}(x).$ परिबद्ध अंतराल (a, b) को एक असीमित अंतराल से बदला जा सकता है (-∞, b), (a, ∞) या (-∞, ∞) उसे उपलब्ध कराया U और V इस असीमित अंतराल पर सीमित भिन्नता वाले हैं। जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शंस का भी उपयोग किया जा सकता है।

स्टोकेस्टिक कैलकुलस के सिद्धांत में महत्वपूर्ण महत्व का एक वैकल्पिक परिणाम निम्नलिखित है। दो कार्य दिए गए U और V परिमित भिन्नता के, जो दाएं-निरंतर दोनों हैं और बाईं-सीमाएं हैं (वे कैडलैग फ़ंक्शन हैं)

$U(t)V(t)=U(0)V(0)+\int _{(0,t]}U(s-)\,dV(s)+\int _{(0,t]}V(s-)\,dU(s)+\sum _{u\in (0,t]}\Delta U_{u}\Delta V_{u},$

कहाँ ΔU_t = U(t) − U(t−). इस परिणाम को इटो के लेम्मा के अग्रदूत के रूप में देखा जा सकता है, और यह स्टोकेस्टिक एकीकरण के सामान्य सिद्धांत में उपयोग में आता है। अंतिम पद है ΔU(t)ΔV(t) = d[U, V],जो के द्विघात सहसंयोजन से उत्पन्न होता है U और V. (पहले के परिणाम को स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल से संबंधित परिणाम के रूप में देखा जा सकता है।)

संबंधित अवधारणाएँ

लेब्सग्यू एकीकरण

कब g(x) = x सभी वास्तविक के लिए x, तब μ_g लेब्सेग माप है, और लेब्सेग-स्टिल्टजेस का अभिन्न अंग है  f  इसके संबंध में g लेबेस्ग इंटीग्रल के समतुल्य है  f .

रीमैन-स्टिल्टजेस एकीकरण और संभाव्यता सिद्धांत

कहाँ  f  एक वास्तविक चर का एक सतत कार्य वास्तविक-मूल्यवान कार्य है और v एक गैर-घटता हुआ वास्तविक फ़ंक्शन है, लेबेस्ग्यू-स्टिल्टजेस इंटीग्रल रीमैन-स्टिल्टजेस इंटीग्रल के बराबर है, जिस स्थिति में हम अक्सर लिखते हैं

$\int _{a}^{b}f(x)\,dv(x)$

लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस इंटीग्रल के लिए, माप देना μ_v निहित रहें. संभाव्यता सिद्धांत में यह विशेष रूप से आम है जब v एक वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर का संचयी वितरण फ़ंक्शन है X, किस स्थिति में

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dv(x)=\mathrm {E} [f(X)].$

(ऐसे मामलों से निपटने के बारे में अधिक जानकारी के लिए रीमैन-स्टिल्टजेस इंटीग्रल|रीमैन-स्टिल्टजेस इंटीग्रेशन पर लेख देखें।)

टिप्पणियाँ

Also see Henstock-kurzweil-stiltjes integral

संदर्भ

• Halmos, Paul R. (1974), Measure Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90088-9
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and abstract analysis, Springer-Verlag.
• Saks, Stanisław (1937) Theory of the Integral.
• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.