एनोसोव भिन्नता

गणित में, विशेष रूप से गतिशील प्रणालियों और ज्यामितीय टोपोलॉजी के क्षेत्र में, कई गुना एम पर एक एनोसोव मानचित्र एम से स्वयं तक एक निश्चित प्रकार का मानचित्रण है, जिसमें विस्तार की स्पष्ट रूप से चिह्नित स्थानीय दिशाएँ होती हैं। और संकुचन. एनोसोव सिस्टम एक्सिओम ए सिस्टम का एक विशेष मामला है।

एनोसोव भिन्नता को दिमित्री एनोसोव द्वारा पेश किया गया था, जिन्होंने साबित किया कि उनका व्यवहार उचित अर्थ में सामान्य था (जब वे बिल्कुल मौजूद थे)।

सिंहावलोकन

तीन निकट संबंधी परिभाषाओं को प्रतिष्ठित किया जाना चाहिए:

• यदि M पर एक अवकलनीय मानचित्र (गणित) f में स्पर्शरेखा सबबंडल पर अतिशयोक्तिपूर्ण सेट है, तो इसे 'एनोसोव मानचित्र' कहा जाता है। उदाहरणों में बर्नौली मानचित्र और अर्नोल्ड का बिल्ली मानचित्र शामिल हैं।
• यदि मानचित्र एक भिन्नरूपता है, तो इसे 'एनोसोव भिन्नरूपता' कहा जाता है।
• यदि मैनिफोल्ड पर एक प्रवाह (गणित) स्पर्शरेखा बंडल को तीन अपरिवर्तनीय उप-बंडलों में विभाजित करता है, जिसमें एक उप-बंडल तेजी से सिकुड़ रहा है, और एक जो तेजी से विस्तारित हो रहा है, और तीसरा, गैर-विस्तारित, गैर-संकुचित एक-आयामी उप- बंडल (प्रवाह दिशा द्वारा फैलाया गया), तो प्रवाह को 'एनोसोव प्रवाह' कहा जाता है।

एनोसोव भिन्नता का एक शास्त्रीय उदाहरण अर्नोल्ड का बिल्ली मानचित्र है।

एनोसोव ने साबित किया कि एनोसोव भिन्नता संरचनात्मक रूप से स्थिर है और सी के साथ मैपिंग (प्रवाह) का एक खुला उपसमुच्चय बनाती है।¹टोपोलॉजी.

प्रत्येक मैनिफ़ोल्ड एनोसोव भिन्नता को स्वीकार नहीं करता है; उदाहरण के लिए, गोले पर ऐसी कोई भिन्नता नहीं है। उन्हें स्वीकार करने वाले कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड्स के सबसे सरल उदाहरण टोरी हैं: वे तथाकथित रैखिक एनोसोव डिफोमोर्फिज्म को स्वीकार करते हैं, जो आइसोमोर्फिज्म हैं जिनमें मापांक 1 का कोई आइगेनवैल्यू नहीं है। यह साबित हो गया है कि टोरस पर कोई भी अन्य एनोसोव डिफोमोर्फिज्म टोपोलॉजिकल रूप से इनमें से किसी एक के साथ संयुग्मित है। दयालु।

एनोसोव भिन्नताओं को स्वीकार करने वाले मैनिफोल्ड्स को वर्गीकृत करने की समस्या बहुत कठिन हो गई, और अभी भी as of 2023 के पास 3 से अधिक आयाम के लिए कोई उत्तर नहीं है। एकमात्र ज्ञात उदाहरण इन्फ्रानिलमैनिफोल्ड्स हैं, और यह अनुमान लगाया गया है कि वे ही एकमात्र हैं।

परिवर्तनशीलता के लिए एक पर्याप्त शर्त यह है कि सभी बिंदु अविचलित हों: $\Omega (f)=M$.

साथ ही, यह भी अज्ञात है कि प्रत्येक $C^{1}$ आयतन-संरक्षण एनोसोव डिफोमोर्फिज्म एर्गोडिक है। एनोसोव ने इसे एक के तहत साबित किया $C^{2}$ मान्यता। के लिए भी यह सच है $C^{1+\alpha }$ आयतन-संरक्षण एनोसोव भिन्नता।

के लिए $C^{2}$ सकर्मक एनोसोव भिन्नता $f\colon M\to M$ एक अद्वितीय एसआरबी माप मौजूद है (संक्षिप्त नाम सिनाई, रुएल और बोवेन के लिए है) $\mu _{f}$ पर समर्थित $M$ ऐसा कि उसका बेसिन $B(\mu _{f})$ पूर्ण मात्रा का है, जहां

$B(\mu _{f})=\left\{x\in M:{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\delta _{f^{k}x}\to \mu _{f}\right\}.$

रीमैन सतहों पर (स्पर्शरेखा बंडलों के) एनोसोव प्रवाह

उदाहरण के तौर पर, यह खंड नकारात्मक वक्रता की रीमैन सतह के स्पर्शरेखा बंडल पर एनोसोव प्रवाह के मामले को विकसित करता है। इस प्रवाह को हाइपरबोलिक ज्यामिति के पोंकारे अर्ध-तल मॉडल के स्पर्शरेखा बंडल पर प्रवाह के संदर्भ में समझा जा सकता है। नकारात्मक वक्रता की रीमैन सतहों को फुच्सियन मॉडल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, यानी ऊपरी आधे तल और फुच्सियन समूह के भागफल के रूप में। निम्नलिखित के लिए, मान लीजिए कि H ऊपरी आधा तल है; मान लीजिए Γ एक फ़ुचियन समूह है; मान लीजिए कि M = H/Γ समूह Γ की क्रिया द्वारा M के भागफल के रूप में नकारात्मक वक्रता की एक रीमैन सतह है, और मान लीजिए $T^{1}M$ मैनिफोल्ड एम पर इकाई-लंबाई वाले वैक्टर का स्पर्शरेखा बंडल बनें, और चलो $T^{1}H$ H पर इकाई-लंबाई वाले सदिशों का स्पर्शरेखा बंडल बनें। ध्यान दें कि सतह पर इकाई-लंबाई वाले सदिशों का एक बंडल एक जटिल रेखा बंडल का मुख्य बंडल है।

झूठ वेक्टर फ़ील्ड

कोई उस पर ध्यान देकर शुरुआत करता है $T^{1}H$ लाई समूह PSL2(R)|PSL(2,R) का समरूपी है। यह समूह ऊपरी आधे तल के अभिविन्यास-संरक्षण सममिति का समूह है। PSL(2,R) का झूठ बीजगणित sl(2,R) है, और मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया गया है

$J={\begin{pmatrix}1/2&0\\0&-1/2\\\end{pmatrix}}\qquad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix}}\qquad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

जिसमें बीजगणित है

$[J,X]=X\qquad [J,Y]=-Y\qquad [X,Y]=2J$

घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत)।

$g_{t}=\exp(tJ)={\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{pmatrix}}\qquad h_{t}^{*}=\exp(tX)={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\\\end{pmatrix}}\qquad h_{t}=\exp(tY)={\begin{pmatrix}1&0\\t&1\\\end{pmatrix}}$

के मैनिफ़ोल्ड पर दाएँ-अपरिवर्तनीय प्रवाह (गणित) को परिभाषित करें $T^{1}H=\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$, और इसी तरह आगे भी $T^{1}M$. परिभाषित $P=T^{1}H$ और $Q=T^{1}M$, ये प्रवाह P और Q पर वेक्टर फ़ील्ड को परिभाषित करते हैं, जिनके वेक्टर TP और TQ में स्थित हैं। ये लाई समूह के मैनिफ़ोल्ड पर केवल मानक, सामान्य लाई वेक्टर फ़ील्ड हैं, और उपरोक्त प्रस्तुति लाई वेक्टर फ़ील्ड का एक मानक प्रदर्शन है।

अनोसोव प्रवाह

एनोसोव प्रवाह से जुड़ाव इस अहसास से आता है $g_{t}$ पी और क्यू पर जियोडेसिक प्रवाह है। एक समूह तत्व की कार्रवाई के तहत वेक्टर फ़ील्ड को (परिभाषा के अनुसार) अपरिवर्तनीय छोड़ दिया जाता है, एक यह है कि इन फ़ील्ड को विशिष्ट तत्वों के तहत अपरिवर्तनीय छोड़ दिया जाता है $g_{t}$ जियोडेसिक प्रवाह का. दूसरे शब्दों में, रिक्त स्थान टीपी और टीक्यू को तीन एक-आयामी स्थानों या सबबंडलों में विभाजित किया गया है, जिनमें से प्रत्येक जियोडेसिक प्रवाह के तहत अपरिवर्तनीय हैं। अंतिम चरण यह ध्यान देना है कि एक सबबंडल में वेक्टर फ़ील्ड का विस्तार होता है (और तेजी से विस्तार होता है), दूसरे में वे अपरिवर्तित होते हैं, और तीसरे में वे सिकुड़ते हैं (और ऐसा तेजी से होता है)।

अधिक सटीक रूप से, स्पर्शरेखा बंडल TQ को वेक्टर बंडलों के प्रत्यक्ष योग के रूप में लिखा जा सकता है

$TQ=E^{+}\oplus E^{0}\oplus E^{-}$

या, एक बिंदु पर $g\cdot e=q\in Q$, सीधा योग

$T_{q}Q=E_{q}^{+}\oplus E_{q}^{0}\oplus E_{q}^{-}$

ली बीजगणित जेनरेटर वाई, जे और एक्स के अनुरूप, समूह तत्व जी की बाईं क्रिया द्वारा, मूल ई से बिंदु क्यू तक ले जाया गया। अर्थात् एक के पास है $E_{e}^{+}=Y,E_{e}^{0}=J$ और $E_{e}^{-}=X$. ये स्थान प्रत्येक उपसमूह हैं, और जियोडेसिक प्रवाह की कार्रवाई के तहत संरक्षित (अपरिवर्तनीय) हैं; अर्थात्, समूह तत्वों की कार्रवाई के तहत $g=g_{t}$.

सदिशों की लंबाई की तुलना करने के लिए $T_{q}Q$ विभिन्न बिंदुओं q पर, किसी को एक मीट्रिक की आवश्यकता होती है। कोई भी आंतरिक उत्पाद $T_{e}P=sl(2,\mathbb {R} )$ P पर एक बाएँ-अपरिवर्तनीय रीमैनियन मीट्रिक तक विस्तारित है, और इस प्रकार Q पर एक रीमैनियन मीट्रिक तक। एक वेक्टर की लंबाई $v\in E_{q}^{+}$ की कार्रवाई के तहत exp(t) के रूप में तेजी से फैलता है $g_{t}$. एक वेक्टर की लंबाई $v\in E_{q}^{-}$ की क्रिया के तहत exp(-t) के रूप में तेजी से सिकुड़ता है $g_{t}$. वेक्टर में $E_{q}^{0}$ अपरिवर्तित हैं. इसे यह जांच कर देखा जा सकता है कि समूह के तत्व कैसे आवागमन करते हैं। जियोडेसिक प्रवाह अपरिवर्तनीय है,

$g_{s}g_{t}=g_{t}g_{s}=g_{s+t}$

लेकिन अन्य दो सिकुड़ते और फैलते हैं:

$g_{s}h_{t}^{*}=h_{t\exp(-s)}^{*}g_{s}$

और

$g_{s}h_{t}=h_{t\exp(s)}g_{s}$

जहां हमें याद आता है कि एक स्पर्श रेखा सदिश है $E_{q}^{+}$ वक्र के t के संबंध में व्युत्पन्न द्वारा दिया गया है $h_{t}$, सेटिंग $t=0$.

एनोसोव प्रवाह की ज्यामितीय व्याख्या

बिंदु पर कार्य करते समय $z=i$ ऊपरी आधे तल का, $g_{t}$ बिंदु से गुजरने वाले ऊपरी आधे तल पर एक जियोडेसिक से मेल खाता है $z=i$. यह क्रिया ऊपरी आधे तल पर SL2(R)|SL(2,R) की मानक मोबियस परिवर्तन क्रिया है, ताकि

$g_{t}\cdot i={\begin{pmatrix}\exp(t/2)&0\\0&\exp(-t/2)\end{pmatrix}}\cdot i=i\exp(t)$

एक सामान्य जियोडेसिक द्वारा दिया गया है

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot i\exp(t)={\frac {ai\exp(t)+b}{ci\exp(t)+d}}$

ए, बी, सी और डी के साथ वास्तविक, साथ $ad-bc=1$. वक्र $h_{t}^{*}$ और $h_{t}$ [[कुंडली]] कहा जाता है। कुंडली चक्र ऊपरी आधे तल पर कुंडली के सामान्य सदिशों की गति के अनुरूप होते हैं।

यह भी देखें

• एर्गोडिक प्रवाह
• मोर्स-स्माले प्रणाली
• छद्म-एनोसोव मानचित्र

संदर्भ

• "Y-system,U-system, C-system", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Anthony Manning, Dynamics of geodesic and horocycle flows on surfaces of constant negative curvature, (1991), appearing as Chapter 3 in Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces, Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X (Provides an expository introduction to the Anosov flow on SL(2,R).)
• This article incorporates material from Anosov diffeomorphism on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.
• Toshikazu Sunada, Magnetic flows on a Riemann surface, Proc. KAIST Math. Workshop (1993), 93–108.