ब्राउनियन शीट

गणित में, ब्राउनियन शीट या मल्टीपैरामीट्रिक ब्राउनियन गति, गॉसियन यादृच्छिक क्षेत्र के लिए बहुपैरामीट्रिक सामान्यीकरण है। इसका तात्पर्य है कि हम "समय" पैरामीटर को सामान्यीकृत करते हैं ब्राउनियन गति का $t$, $B_{t}$ से $\mathbb {R} _{+}$ का $\mathbb {R} _{+}^{n}$ से सम्बन्ध है।

त्रुटिहीन आयाम नए समय पैरामीटर के समष्टि का $n$ लेखकों से भिन्न होता है। हम जॉन बी. वॉल्श का अनुसरण करते हैं और परिभाषित करते हैं कि $(n,d)$-ब्राउनियन शीट, जबकि कुछ लेखक ब्राउनियन शीट को केवल विशेष रूप से परिभाषित करते हैं, जिसे हम $n=2$ कहते हैं ब्राउनियन शीट $(2,d)$ है।

यह परिभाषा निकोलाई चेंटसोव के कारण है, पॉल लेवी के कारण न्यूनतम भिन्न संस्करण उपस्थित है।

(n,d)-ब्राउनियन शीट

A $d$-आयामी गाऊसी प्रक्रिया $B=(B_{t},t\in \mathbb {R} _{+}^{n})$ को a कहा जाता है $(n,d)$-ब्राउनियन शीट यदि है तो,

• इसका माध्य शून्य है, अर्थात् $\mathbb {E} [B_{t}]=0$ सभी के लिए $t=(t_{1},\dots t_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{n}$ है।
• सहप्रसरण फलन के लिए है:

$\operatorname {cov} (B_{s}^{(i)},B_{t}^{(j)})={\begin{cases}\prod \limits _{l=1}^{n}\operatorname {min} (s_{l},t_{l})&{\text{if }}i=j,\\0&{\text{else}}\end{cases}}$

के लिए $1\leq i,j\leq d$.

गुण

परिभाषा से इस प्रकार है:

$B(0,t_{2},\dots ,t_{n})=B(t_{1},0,\dots ,t_{n})=\cdots =B(t_{1},t_{2},\dots ,0)=0$

लगभग निश्चित रूप से है।

उदाहरण

• $(1,1)$-ब्राउनियन शीट $\mathbb {R} ^{1}$ ब्राउनियन गति है।
• $(1,d)$-ब्राउनियन शीट $\mathbb {R} ^{d}$ ब्राउनियन गति है।
• $(2,1)$-ब्राउनियन शीट बहुपैरामीट्रिक ब्राउनियन गति है $X_{t,s}$ सूचकांक समुच्चय के साथ $(t,s)\in [0,\infty )\times [0,\infty )$ है।

मल्टीपैरामीट्रिक ब्राउनियन गति की लेवी की परिभाषा

लेवी की परिभाषा में उपरोक्त सहप्रसरण स्थिति को निम्नलिखित स्थिति से प्रतिस्थापित किया जाता है:

$\operatorname {cov} (B_{s},B_{t})={\frac {(|t|+|s|-|t-s|)}{2}}$

जहाँ $|\cdot |$ यूक्लिडियन मीट्रिक $\mathbb {R} ^{n}$ प्रारंभ है।

अमूर्त वीनर माप का अस्तित्व

समष्टि $\Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ पर विचार करें, प्रपत्र के निरंतर कार्यों का $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ संतोषजनक विचार है:

$$\lim \limits _{|x|\to \infty }\left(\log(e+|x|)\right)^{-1}|f(x)|=0.$$

मानक से सुसज्जित होने पर यह समष्टि पृथक्करणीय बनच समष्टि बन जाता है:

$$\|f\|_{\Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}:=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left(\log(e+|x|)\right)^{-1}|f(x)|.$$

ध्यान दें कि इस समष्टि में अनंत पर शून्य का समष्टि $C_{0}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ सघन रूप से सम्मिलित है समान नॉर्म से सुसज्जित है, क्योंकि कोई समान नॉर्म को बांध सकता है फूरियर व्युत्क्रम प्रमेय के माध्यम से ऊपर से $\Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ है।

मान लीजिये ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ टेम्पर्ड वितरण का समष्टि हो। फिर कोई यह दिखा सकता है कि उपयुक्त पृथक्करण करने योग्य हिल्बर्ट समष्टि (और सोबोलेव समष्टि) उपस्थित है:

$H^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )\subseteq {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$

जो निरंतर घने उपसमष्टि $C_{0}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ के रूप में अंतर्निहित है और इस प्रकार में भी $\Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ और यह है कि संभाव्यता माप $\Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ उपस्थित है $\omega$ ऐसा त्रिगुण है कि,

$$(H^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ),\Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ),\omega )$$

अमूर्त वीनर समष्टि है। मार्ग $\theta \in \Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ है $\omega$-लगभग निश्चित रूप से है,

• घातांक का धारक सतत $\alpha \in (0,1/2)$ है।
• कहीं भी होल्डर $\alpha >1/2$ किसी के लिए निरंतर नहीं है।

यह केस में ब्राउनियन शीट का हैंडल $d=1$ है उच्च आयामी के लिए $d$, निर्माण समान है।

यह भी देखें

• गाऊसी मुक्त क्षेत्र

साहित्य

• Stroock, Daniel (2011), Probability theory: an analytic view (2nd ed.), Cambridge.
• Walsh, John B. (1986). स्टोकेस्टिक आंशिक अंतर समीकरणों का परिचय. Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-540-39781-6.
• Khoshnevisan, Davar. मल्टीपैरामीटर प्रक्रियाएं: यादृच्छिक फ़ील्ड का एक परिचय. Springer. ISBN 978-0387954592.