ऋणात्मक आवृत्ति

वामावर्त-घूर्णन सदिश (cos t, sin t) की प्रति इकाई समय में +1 रेडियन की सकारात्मक आवृत्ति होती है। एक दक्षिणावर्त घूर्णन करने वाला सदिश (cos −t, sin −t) नहीं दर्शाया गया है जिसकी प्रति इकाई समय में -1 रेडियन की ऋणात्मक आवृत्ति होती है। दोनों प्रत्येक 2π इकाई समय में एकक वृत्त के चारों ओर विपरीत दिशाओं में घूर्णन करते हैं।

गणित में, सांकेतिक आवृत्ति (ऋणात्मक आवृत्ति और सकारात्मक आवृत्ति) आवृत्ति की अवधारणा पर विस्तारित होती है, केवल एक निरपेक्ष मान जो यह दर्शाता है कि कुछ दोहराई जाने वाली घटना कितनी बार घटित होती है, इसके अतिरिक्त उन स्थितियों की घटनाओं के लिए दो विरोधी अभिविन्यासों में से एक का निरूपण करने वाला सकारात्मक या ऋणात्मक संकेत भी होता है। निम्नलिखित उदाहरण इस अवधारणा को सचित्र व्याख्या करने में सहायता प्रदान करते हैं:

• किसी घूर्णी वस्तु के लिए, उसके घूर्णन करने की आवृत्ति का निरपेक्ष मान इंगित करता है कि वस्तु समय की प्रति इकाई कितने चक्कर लगाती है, जबकि संकेत यह स्पष्ट कर सकता है कि वह दक्षिणावर्त या वामावर्त घूम रही है।
  • गणितीय रूप से कहें तो, सदिश$(\cos(t),\sin(t))$ की धनात्मक आवृत्ति +1 रेडियन प्रति इकाई समय होती है तथा यह वृत्त इकाई के चारों ओर वामावर्त घूर्णन करती है, जबकि वेक्टर $(\cos(-t),\sin(-t))$ समय की प्रति इकाई -1 रेडियन की ऋणात्मक आवृत्ति होती है, जो दक्षिणावर्त घूर्णन करती है।
• पेंडुलम जैसे एक सरल आवर्ती दोलक के लिए इसकी आवृत्ति का पूर्ण मान इंगित करता है कि यह समय की प्रति इकाई कितनी बार आगे और पीछे घूर्णन करती है, जबकि संकेत यह स्पष्ट कर सकता है कि दो विपरीत दिशाओं में से किस दिशा में इसने चलना आरंभ किया।
• कार्तीय निर्देशांक पद्धति में दर्शाए गए एक आवर्ती फलन के लिए इसकी आवृत्ति का पूर्ण मान इंगित करता है कि यह अपने डोमेन में कितनी बार अपने मानों को दोहराता है, जबकि इसकी आवृत्ति का संकेत परिवर्तन करना इसके y-अक्ष के चारों ओर एक प्रतिबिंब प्रस्तुत कर सकता है।

ज्यावक्र

मान लीजिए कि समय की प्रति इकाई रेडियन की इकाइयों के साथ $\omega$ एक गैर-ऋणात्मक कोणीय आवृत्ति तथा $\varphi$ रेडियन में एक कोणांक है। फलन $\theta (t)=-\omega t+\varphi$ में ढलान $-\omega .$ है। जब ज्यावक्र के तर्क के रूप में उपयोग किया जाता है तो $-\omega$ एक ऋणात्मक आवृत्ति को प्रस्तुत कर सकता है।

चूँकि कोसाइन एक सम फलन है इसलिए ऋणात्मक आवृत्ति ज्यावक्र $\cos(-\omega t+\varphi )$ सकारात्मक आवृत्ति ज्यावक्र $\cos(\omega t-\varphi ).$ से अप्रभेदनीय है।

इसी प्रकार, चूँकि साइन एक विषम फलन है, इसलिए ऋणात्मक आवृत्ति ज्यावक्र $\sin(-\omega t+\varphi )$ सकारात्मक आवृत्ति ज्यावक्र ${\text{-}}\sin(\omega t-\varphi )$ या $\sin(\omega t-\varphi +\pi ).$ से अप्रभेदनीय है।

इस प्रकार किसी भी ज्यावक्र को केवल सकारात्मक आवृत्तियों के संदर्भ में दर्शाया जा सकता है।

एक ऋणात्मक आवृत्ति के कारण साइन फलन (बैंगनी) cos (लाल) को 1/4 चक्र तक ले जाता है।

अंतर्निहित कोणांक ढलान का संकेत अस्पष्ट है। क्योंकि $\cos(\omega t+\varphi )$, ${\tfrac {\pi }{2}}$ रेडियंस (या 1/4 चक्र) द्वारा $\sin(\omega t+\varphi )$से सकारात्मक आवृत्तियों के लिए आगे आता है तथा ऋणात्मक आवृत्तियों के लिए समान मात्रा से पिछड़ने पर कोणांक ढलान के विषय में अस्पष्टता को कोसाइन और साइन ऑपरेटर को एक ही समय पर यह देखकर हल किया जाता है कि कौन सा दूसरे से आगे है।

जटिल-मान फलन में $\omega$ का संकेत भी संरक्षित है:

$e^{i\omega t}=\underbrace {\cos(\omega t)} _{R(t)}+i\cdot \underbrace {\sin(\omega t)} _{I(t)},$

(Eq.1)

चूँकि $R(t)$ और $I(t)$ को अलग-अलग निरीक्षण तथा तुलना की जा सकती है। एक सामान्य व्याख्या यह है कि $e^{i\omega t}$ इसके किसी भी घटक की तुलना में एक सरल फलन है, क्योंकि यह गुणात्मक त्रिकोणमितीय गणनाओं को सरल बनाता है जो कि $\cos(\omega t)$ के विश्लेषणात्मक निरूपण के रूप में इसके औपचारिक विवरण की ओर जाता है।

इसके जटिल संयुग्म के साथ एक विश्लेषणात्मक निरूपण का योग तथ्यपूर्ण वास्तविक-मान फलन का निष्कर्षण करता है जिसे वे प्रस्तुत करते हैं। उदाहरण के लिए:

$\cos(\omega t)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\left(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}\right),$

(Eq.2)

जो किंचित भ्रामक व्याख्या को जन्म देता है कि $\cos(\omega t)$ में सकारात्मक और ऋणात्मक दोनों आवृत्तियाँ सम्मिलित हैं। किन्तु "योग" में सभी काल्पनिक घटकों $({\tfrac {1}{2}}i\sin(\omega t)-{\tfrac {1}{2}}i\sin(\omega t))$ का निरस्तीकरण करना सम्मिलित है। उस निरस्तीकरण के परिणामस्वरूप केवल आवृत्ति के संकेत के विषय में अस्पष्टता उत्पन्न होती है। किसी भी चिह्न का उपयोग करने से समान कोज्या तरंग का समतुल्य प्रतिनिधित्व प्राप्त होता है।

किसी भी माप में जो दोनों आवृत्तियों को इंगित करता है तथा दोनों आवृत्तियों में से एक मिथ्या सकारात्मकता या अन्य का उपनाम है क्योंकि $\omega$ केवल एक ही चिन्ह हो सकता है। उदाहरण के लिए, फूरियर रूपांतरण हमें केवल यह बताता है कि $\cos(\omega t)$, $\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)$ के साथ समान रूप से अच्छी तरह सहसंबंधित होता है जिस प्रकार $\cos(\omega t)-i\sin(\omega t).$के साथ संबंधित होता है। तथापि, एक वास्तविक ज्यावक्र को सकारात्मक और ऋणात्मक आवृत्ति के संयोजन के रूप में मानना कभी-कभी उपयोगी (और गणितीय रूप से मान्य) होता है।

अनुप्रयोग

फूरियर रूपांतरण को सरल बनाना

संभवतः ऋणात्मक आवृत्ति का अत्यधिक प्रसिद्ध अनुप्रयोग सूत्र है:

${\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt,$

जो आवृत्ति $\omega .$ पर फलन$f(t)$ में ऊर्जा का माप है। जब तर्क $\omega ,$ की निरंतरता के लिए मूल्यांकन किया जाता है तो परिणाम को फूरियर रूपांतरण कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, फलन पर विचार करें:

$f(t)=A_{1}e^{i\omega _{1}t}+A_{2}e^{i\omega _{2}t},\ \forall \ t\in \mathbb {R} ,\ \omega _{1}>0,\ \omega _{2}>0.$

तथा:

${\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }[A_{1}e^{i\omega _{1}t}+A_{2}e^{i\omega _{2}t}]e^{-i\omega t}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }A_{1}e^{i\omega _{1}t}e^{-i\omega t}dt+\int _{-\infty }^{\infty }A_{2}e^{i\omega _{2}t}e^{-i\omega t}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }A_{1}e^{i(\omega _{1}-\omega )t}dt+\int _{-\infty }^{\infty }A_{2}e^{i(\omega _{2}-\omega )t}dt\end{aligned}}$

ध्यान दें कि यद्यपि अधिकांश फलनों में अनंत अवधि के साइन वक्र सम्मिलित नहीं होते हैं, किन्तु रूपांतरण एक सामान्य सरलीकरण है जो समझने में सुविधा प्रदान करता है।

इस परिणाम के प्रथम पद को देखते हुए, जब $\omega =\omega _{1},$ ऋणात्मक आवृत्ति $-\omega _{1}$ सकारात्मक आवृत्ति को निरसित करते हुए केवल स्थिर गुणांक $A_{1}$ (क्योंकि $e^{i0t}=e^{0}=1$), छोड़ती है जो अनंत समाकल के विचलन का कारण बनती है। $\omega$ के अन्य मानों पर अवशिष्ट दोलनों के कारण समाकल शून्य में परिवर्तित हो जाता है। इस आदर्शीकृत फूरियर रूपांतरण को सामान्यतः इस प्रकार लिखा जाता है:

${\hat {f}}(\omega )=2\pi A_{1}\delta (\omega -\omega _{1})+2\pi A_{2}\delta (\omega -\omega _{2}).$

यथार्थवादी अवधियों के लिए, विचलन और अभिसरण अल्प चरम होते हैं तथा छोटे शून्येतर अभिसरण (वर्णक्रमीय रिसाव) अनेक अन्य आवृत्तियों पर प्रदर्शित होते हैं किन्तु ऋणात्मक आवृत्ति की अवधारणा अभी भी प्रयुक्त होती है। जोसेफ फूरियर (साइन रूपांतरण और कोसाइन रूपांतरण) के लिए कोसाइन के लिए एक समाकल और साइन के लिए दूसरे समाकल की आवश्यकता होती है। परिणामी त्रिकोणमितीय पद प्रायः जटिल घातांकीय पदों की तुलना में कम सुव्यवस्थित होती हैं।

(विश्लेषिक संकेत, यूलर का सूत्र § त्रिकोणमिति से संबंध और फ़ेजर देखें)

सकारात्मक और ऋणात्मक आवृत्तियों का नमूनाकरण तथा संकेत आवृत्ति की गलत पहचान

Main article: संकेत आवृत्ति की गलत पहचान § जटिल ज्यावक्र

यह चित्र सुनहरे और फिरोजी रंग के दो जटिल ज्यावक्र को दर्शाता है जो अकल्पित और अधिकल्पित प्रतिदर्श बिंदुओं के समान आकृति में फिट होते हैं। इस प्रकार जब ग्रिड रेखाओं द्वारा इंगित दर (एफएस) पर प्रतिदर्श लिया जाता है तो वे एक-दूसरे के उपनाम होते हैं। सुनहरे रंग का फलन एक सकारात्मक आवृत्ति को दर्शाता है, क्योंकि इसका वास्तविक भाग (कॉस फ़ंक्शन) इसके काल्पनिक भाग को एक चक्र के 1/4 से आगे ले जाता है। सियान फ़ंक्शन एक ऋणात्मक आवृत्ति को दर्शाता है, क्योंकि इसका वास्तविक भाग काल्पनिक भाग से पीछे है।

यह भी देखें

• कोण/संकेत

अग्रिम पठन

• Positive and Negative Frequencies
• Lyons, Richard G. (Nov 11, 2010). Chapt 8.4. Understanding Digital Signal Processing (3rd ed.). Prentice Hall. 944 pgs. ISBN 0137027419.
• Lyons, Richard G. (Nov 2001). "Understanding Digital Signal Processing's Frequency Domain". RF Design magazine. Retrieved Dec 29, 2022.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)