चतुर्भुज (ज्यामिति)
गणित में, विशेष रूप से ज्यामिति में, चतुर्भुज (जिसे स्क्वेरिंग भी कहा जाता है) किसी दिए गए समतल आकृति के समान क्षेत्र के साथ एक वर्ग बनाने या उस क्षेत्र के संख्यात्मक मान की गणना करने की एक ऐतिहासिक प्रक्रिया है। एक शास्त्रीय उदाहरण वृत्त का चतुर्भुज (या वृत्त का वर्ग करना) है। चतुर्भुज समस्याएं कलन के विकास में समस्याओं के मुख्य स्रोतों में से एक के रूप में कार्य करती हैं। वे गणितीय विश्लेषण में महत्वपूर्ण विषयों का परिचय देते हैं।
इतिहास
प्राचीनता
ग्रीक गणित ने किसी आकृति के क्षेत्रफल के निर्धारण को ज्यामितीय रूप से समान क्षेत्रफल (वर्गीकरण) वाले एक वर्ग (ज्यामिति) के निर्माण की प्रक्रिया के रूप में समझा, इस प्रकार इस प्रक्रिया को चतुर्भुज नाम दिया गया। ग्रीक जियोमीटर हमेशा सफल नहीं थे (वृत्त का वर्ग करना देखें), लेकिन उन्होंने कुछ आकृतियों का चतुर्भुज बनाया, जिनकी भुजाएँ केवल रेखा खंड नहीं थीं, जैसे कि हिप्पोक्रेट्स का लून और परबोला का चतुर्भुज। एक निश्चित यूनानी परंपरा के अनुसार, इन निर्माणों को केवल कम्पास और स्ट्रेटएज निर्माणों का उपयोग करके किया जाना था, हालांकि सभी यूनानी गणितज्ञ इस सिद्धांत का पालन नहीं करते थे।
ए और बी भुजाओं वाले एक आयत के चतुर्भुज के लिए भुजा वाले एक वर्ग का निर्माण करना आवश्यक है (ए और बी का ज्यामितीय माध्य)। इस प्रयोजन के लिए निम्नलिखित का उपयोग करना संभव है: यदि कोई लंबाई ए और बी के रेखा खंडों को जोड़ने से बने व्यास के साथ वृत्त खींचता है, तो व्यास से लंबवत खींचे गए रेखा खंड की ऊंचाई (आरेख में बीएच) है। उस बिंदु से उनके संबंध का बिंदु जहां यह वृत्त को पार करता है, ए और बी के ज्यामितीय माध्य के बराबर होता है। एक समान ज्यामितीय निर्माण एक समांतर चतुर्भुज और एक त्रिभुज के चतुर्भुज की समस्याओं को हल करता है।
वक्ररेखीय आकृतियों के लिए चतुर्भुज की समस्याएँ अधिक कठिन हैं। 19वीं सदी में वृत्त का वर्ग करना असंभव साबित हुआ।[1][2] फिर भी, कुछ आकृतियों के लिए चतुर्भुज का प्रदर्शन किया जा सकता है। आर्किमिडीज़ द्वारा खोजे गए गोले की सतह के चतुर्भुज और परवलय खंड पुरातनता में विश्लेषण की सर्वोच्च उपलब्धि बन गए।
- किसी गोले की सतह का क्षेत्रफल इस गोले के एक बड़े वृत्त द्वारा बने वृत्त के क्षेत्रफल के चार गुना के बराबर होता है।
- परवलय के एक खंड का क्षेत्रफल इसे काटने वाली एक सीधी रेखा द्वारा निर्धारित किया जाता है जो इस खंड में अंकित त्रिभुज के क्षेत्रफल का 4/3 है।
इन परिणामों के प्रमाण के लिए, आर्किमिडीज़ ने कनिडस के यूडोक्सस से संबंधित थकावट की विधि का उपयोग किया।[3]
मध्यकालीन गणित
मध्ययुगीन यूरोप में, चतुर्भुज का अर्थ किसी भी विधि द्वारा क्षेत्रफल की गणना करना था। सबसे अधिक बार कैवेलियरी के सिद्धांत का प्रयोग किया गया; यह यूनानियों के ज्यामितीय निर्माणों की तुलना में कम कठोर था, लेकिन यह सरल और अधिक शक्तिशाली था। इसकी मदद से, गैलीलियो गैलीली और गाइल्स डी रोबरवाल ने एक चक्रज आर्क का क्षेत्र पाया, ग्रेगोइरे डी सेंट-विंसेंट ने अतिशयोक्ति के तहत क्षेत्र की जांच की (ओपस जियोमेट्रिकम, 1647),[3]: 491 और डी सेंट-विंसेंट के शिष्य और टिप्पणीकार अल्फोंस एंटोनियो डी सारासा ने इस क्षेत्र का लघुगणक से संबंध नोट किया।[3]: 492 [4]
जॉन वालिस ने इस पद्धति का बीजगणित किया; उन्होंने अपने अरिथमेटिका इन्फिनिटोरम (1656) में कुछ श्रृंखलाएँ लिखीं जो कि अब निश्चित अभिन्न अंग कहलाती हैं, और उन्होंने उनके मूल्यों की गणना की। इसहाक बैरो और जेम्स ग्रेगरी (गणितज्ञ) ने और प्रगति की: कुछ बीजगणितीय वक्रों और सर्पिलों के लिए चतुर्भुज। क्रिस्टियान ह्यूजेन्स ने क्रांति के कुछ ठोस के सतह क्षेत्र का एक चतुर्भुज सफलतापूर्वक निष्पादित किया।
सेंट-विंसेंट और डी सारासा द्वारा हाइपरबोला के चतुर्भुज ने महत्वपूर्ण महत्व का एक नया फ़ंक्शन (गणित), प्राकृतिक लघुगणक प्रदान किया। इंटीग्रल कैलकुलस के आविष्कार के साथ क्षेत्र गणना के लिए एक सार्वभौमिक विधि आई। प्रतिक्रिया में, चतुर्भुज शब्द पारंपरिक हो गया है, और इसके बजाय क्षेत्र खोजने वाले आधुनिक वाक्यांश का उपयोग आमतौर पर तकनीकी रूप से एक अविभाज्य निश्चित अभिन्न अंग की गणना के लिए किया जाता है।
यह भी देखें
- गाऊसी चतुर्भुज
- अतिपरवलयिक कोण
- संख्यात्मक एकीकरण
- क्वाड्राट्रिक्स
- तन्ह-सिंह चतुर्भुज
टिप्पणियाँ
- ↑ Lindemann, F. (1882). "Über die Zahl π" [On the number π]. Mathematische Annalen (in Deutsch). 20: 213–225. doi:10.1007/bf01446522. S2CID 120469397.
- ↑ Fritsch, Rudolf (1984). "The transcendence of π has been known for about a century—but who was the man who discovered it?". Results in Mathematics. 7 (2): 164–183. doi:10.1007/BF03322501. MR 0774394. S2CID 119986449.
- ↑ 3.0 3.1 3.2 Katz, Victor J. (1998). A History of Mathematics: An Introduction (2nd ed.). Addison Wesley Longman. ISBN 0-321-01618-1.
- ↑ Enrique A. Gonzales-Velasco (2011) Journey through Mathematics, § 2.4 Hyperbolic Logarithms, page 117
संदर्भ
- Boyer, C. B. (1989) A History of Mathematics, 2nd ed. rev. by Uta C. Merzbach. New York: Wiley, ISBN 0-471-09763-2 (1991 pbk ed. ISBN 0-471-54397-7).
- Eves, Howard (1990) An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, ISBN 0-03-029558-0,
- Christiaan Huygens (1651) Theoremata de Quadratura Hyperboles, Ellipsis et Circuli
- Jean-Etienne Montucla (1873) History of the Quadrature of the Circle, J. Babin translator, William Alexander Myers editor, link from HathiTrust.
- Christoph Scriba (1983) "Gregory's Converging Double Sequence: a new look at the controversy between Huygens and Gregory over the 'analytical' quadrature of the circle", Historia Mathematica 10:274–85.
