लम्प्ड पैरामीटर कार्डियोवस्कुलर प्रतिरूप

लम्प्ड पैरामीटर कार्डियोवस्कुलर प्रतिरूप का उदाहरण। प्रत्येक कम्पार्टमेंट हरे बक्सों के अंदर है। प्रतिरूप के पैरामीटर्स को काले रंग में हाइलाइट किया गया है, जबकि नीले रंग में पूर्ण हृदय प्रणाली में रक्तचाप और प्रवाह को हाइलाइट किया गया है।

लम्प्ड पैरामीटर कार्डियोवस्कुलर प्रतिरूप शून्य-आयामी गणितीय प्रतिरूप है जिसका उपयोग कार्डियोवास्कुलर प्रणाली के हेमोडायनामिक्स का वर्णन करने के लिए किया जाता है। भौतिक अर्थ वाले पैरामीटर्स के समुच्चय को देखते हुए (उदाहरण के लिए रक्त प्रवाह का प्रतिरोध), यह सम्पूर्ण हृदय प्रणाली में रक्तचाप या प्रवाह दर में परिवर्तन का अध्ययन करने की अनुमति देता है। पैरामीटर्स को संशोधित करके, किसी विशिष्ट हृदय रोग के प्रभावों का अध्ययन करना संभव है। उदाहरण के लिए, उच्च रक्तचाप को प्रतिरूप के धमनी प्रतिरोधों को बढ़ाते हुए तैयार किया गया है।

लम्प्ड पैरामीटर प्रतिरूप का उपयोग शून्य-आयामी स्थान के माध्यम से त्रि-आयामी स्थान (कार्डियोवास्कुलर प्रणाली) के हेमोडायनामिक्स का अध्ययन करने के लिए किया जाता है जो पाइप और विद्युत परिपथ के मध्य समानता का लाभ उठाता है। तीन से शून्य आयामों में कमी कार्डियोवास्कुलर प्रणाली को विभिन्न डिब्बों में विभाजित करके की जाती है, जिनमें से प्रत्येक प्रणाली के विशिष्ट घटक का प्रतिनिधित्व करता है, उदाहरण के लिए दायाँ आलिंद या प्रणालीगत धमनियाँ है। प्रत्येक कम्पार्टमेंट प्रतिरोध या संधारित्र, जैसे सरल परिपथ घटकों से बना होता है, जबकि रक्त प्रवाह रक्तचाप (वोल्टेज ड्रॉप) के अनुसार किरचॉफ के नियमों के अनुसार परिपथ के माध्यम से बहने वाली धारा के जैसे व्यवहार करता है।

लम्प्ड पैरामीटर प्रतिरूप में सामान्य अंतर समीकरणों की प्रणाली सम्मिलित होती है जो हृदय कक्षों की मात्रा के समय में विकास और रक्त वाहिकाओं के माध्यम से रक्तचाप और प्रवाह का वर्णन करती है।

प्रतिरूप विवरण

लम्प्ड पैरामीटर प्रतिरूप में सामान्य अंतर समीकरणों की प्रणाली होती है जो द्रव्यमान और गति के संरक्षण के सिद्धांतों का पालन करती है। प्रतिरूप को विद्युत सादृश्य का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है जहां धारा रक्त प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है, वोल्टेज दबाव अंतर का प्रतिनिधित्व करता है, विद्युत प्रतिरोध संवहनी प्रतिरोध और (अनुभाग और रक्त वाहिका की लंबाई द्वारा निर्धारित), कैपेसिटेंस की भूमिका निभाता है संवहनी (फिजियोलॉजी) अनुपालन की भूमिका (बढ़ते ट्रांसम्यूरल दबाव के साथ पोत को विस्तारित करने और मात्रा बढ़ाने की क्षमता, जो पोत की दीवार के दो किनारों के मध्य दबाव में अंतर है) और प्रेरण रक्त जड़ता का प्रतिनिधित्व करता है। प्रत्येक हृदय कक्ष को इलास्टेंस के माध्यम से तैयार किया जाता है जो हृदय की मांसपेशियों की सिकुड़न और अनलोड की गई मात्रा का वर्णन करता है, जो कि शून्य-दबाव पर कक्ष में निहित रक्त की मात्रा है। हृदय वाल्व को डायोड के रूप में तैयार किया गया है। प्रतिरूप के पैरामीटर प्रतिरोध, कैपेसिटेंस, इंडक्टेंस और इलास्टेंस हैं। प्रणाली के अज्ञात प्रत्येक हृदय कक्ष के अंदर रक्त की मात्रा, परिसंचरण के प्रत्येक डिब्बे के अंदर रक्त दबाव और प्रवाह हैं। साधारण अंतर समीकरणों की प्रणाली को अस्थायी विवेक के लिए संख्यात्मक विधि के माध्यम से समाधान किया जाता है, उदाहरण के लिए, रनगे-कुट्टा विधि है।

हृदय प्रणाली को विभिन्न भागों में विभाजित किया गया है:

• चार हृदय कक्ष: बाएँ, दाएँ आलिंद और बाएँ, दाएँ निलय;
• प्रणालीगत परिसंचरण जिसे धमनियों, शिराओं में विभाजित किया जा सकता है, यदि आवश्यक हो, विभिन्न रक्त वाहिकाओं के लिए अन्य डिब्बों में किया जा सकता है।
• फुफ्फुसीय परिसंचरण जिसे धमनियों, शिराओं और, यदि आवश्यक हो, विभिन्न रक्त वाहिकाओं के लिए अन्य भागों में विभाजित किया जा सकता है।

तीन तत्व आरएलसी विंडकेसल।

बाएं आलिंद और निलय और दाएँ आलिंद और निलय के नीचे की ओर चार हृदय वाल्व होते हैं: क्रमशः माइट्रल वाल्व, महाधमनी, त्रिकुस्पीड वाल्व और फुफ्फुसीय वाल्व आदि।

फुफ्फुसीय और प्रणालीगत परिसंचरण का विभाजन निश्चित नहीं है, उदाहरण के लिए, यदि अध्ययन की रुचि प्रणालीगत केशिकाओं में है, तो प्रणालीगत केशिकाओं के लिए कम्पार्टमेंट लेखांकन को लम्प्ड पैरामीटर प्रतिरूप में जोड़ा जा सकता है। प्रत्येक डिब्बे को विंडकेसल परिपथ द्वारा विशिष्ट डिब्बे के आधार पर तत्वों की संख्या के साथ वर्णित किया गया है। प्रतिरूप के सामान्य अंतर समीकरण विंडकेसल परिपथ और किरचॉफ के नियमों से प्राप्त होते हैं।

निम्नलिखित में विशिष्ट लम्प्ड पैरामीटर प्रतिरूप पर ध्यान केंद्रित किया जाएगा। जिन भागों पर विचार किया गया है वे चार हृदय कक्ष, प्रणालीगत और फुफ्फुसीय धमनियां और वेंस हैं।

हृदय कक्ष समीकरण

चार हृदय कक्षों से संबंधित पैरामीटर निष्क्रिय $EA_{XX}$ और सक्रिय इलास्टेंस $EB_{XX}$ हैं (जहां सबस्क्रिप्ट विभिन्न हैं $RA,RV,LA$ और $LV$ यदि इलास्टेंस क्रमशः दाएं आलिंद या वेंट्रिकल या बाएं आलिंद या वेंट्रिकल को संदर्भित करते हैं) और अनलोड किए गए आयतन $V0_{XX}$ हृदय कक्षों की गतिशीलता का वर्णन समय-निर्भर इलास्टेंस द्वारा किया जाता है:

$E_{XX}(t)=EB_{XX}+EA_{XX}f_{XX}(t)$

जहाँ $f_{XX}(t)$ आवधिक (हृदय की धड़कन की अवधि के साथ) समय पर निर्भर कार्य $0$ को $1$ जो हृदय की धड़कन के समय हृदय के सक्रियण चरणों का लेखा-जोखा रखता है। उपरोक्त समीकरण से, निष्क्रिय इलास्टेंस हृदय कक्ष के न्यूनतम इलास्टेंस का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि योग $EA_{XX}$ और $EB_{XX}$ इसका अधिकतम इलास्टेंस समय-निर्भर इलास्टेंस विशिष्ट हृदय कक्ष के अंदर दबाव की गणना निम्नानुसार करने की अनुमति देता है:

$p_{XX}(t)=E_{XX}(t)(V_{XX}(t)-V0_{XX})$

जहाँ $V_{XX}(t)$ हृदय कक्ष में निहित रक्त की मात्रा है और प्रत्येक कक्ष के लिए मात्रा निम्नलिखित सामान्य अंतर समीकरणों का समाधान है जो हृदय कक्ष से जुड़े आवक और जावक रक्त प्रवाह के लिए उत्तरदायी हैं:

${\frac {dV_{LA}(t)}{dt}}=Q_{VEN}^{PUL}(t)-Q_{MV}(t)$

${\frac {dV_{LV}(t)}{dt}}=Q_{MV}(t)-Q_{AV}(t)$

${\frac {dV_{RA}(t)}{dt}}=Q_{VEN}^{SYS}(t)-Q_{TV}(t)$

${\frac {dV_{RV}(t)}{dt}}=Q_{TV}(t)-Q_{PV}(t)$

जहाँ $Q_{MV}(t),Q_{AV}(t),Q_{TV}(t)$ और $Q_{PV}(t)$ क्रमशः माइट्रल, महाधमनी, ट्राइकसपिड और फुफ्फुसीय वाल्व के माध्यम से प्रवाह होते हैं $Q_{VEN}^{PUL}(t)$ और $Q_{VEN}^{SYS}(t)$ क्रमशः फुफ्फुसीय और प्रणालीगत वेंस के माध्यम से प्रवाह होते हैं।

वाल्व समीकरण

वाल्वों को डायोड के रूप में तैयार किया जाता है और वाल्वों में रक्त प्रवाह अपस्ट्रीम और डाउनस्ट्रीम डिब्बे के मध्य दबाव जम्प पर निर्भर करता है:

$Q_{MV}(t)=Q_{valve}(p_{LA}(t)-p_{LV}(t))\qquad Q_{AV}(t)=Q_{valve}(p_{LV}(t)-p_{AR}^{SYS}(t))$

$Q_{TV}(t)=Q_{valve}(p_{RA}(t)-p_{RV}(t))\qquad Q_{TV}(t)=Q_{valve}(p_{RV}(t)-p_{AR}^{PUL}(t))$

जहां प्रत्येक हृदय कक्ष के अंदर का दबाव पिछले अनुभाग में परिभाषित किया गया है, $p_{AR}^{SYS}(t)$ और $p_{AR}^{PUL}(t)$ प्रणालीगत और फुफ्फुसीय धमनी डिब्बे के अंदर समय-निर्भर दबाव हैं और $Q_{valve}(\Delta p)$ दबाव बढ़ने के आधार पर वाल्व में प्रवाह होता है:

$Q_{valve}(\Delta p)={\begin{cases}{\frac {\Delta p}{R_{min}}}\qquad &{\text{if }}\Delta p<0\\{\frac {\Delta p}{R_{max}}}\qquad &{\text{if }}\Delta p\geq 0\end{cases}}$

जहां $R_{min}$ और $R_{max}$ वाल्वों के क्रमशः संवृत और विवृत होने पर उनके प्रतिरोध होते हैं।

सर्कुलेशन कम्पार्टमेंट समीकरण

रक्त वाहिकाओं के प्रत्येक डिब्बे को प्रतिरोध, कैपेसिटेंस और इंडक्टेंस के संयोजन की विशेषता होती है। उदाहरण के लिए, धमनी प्रणालीगत परिसंचरण को तीन पैरामीटर्स द्वारा वर्णित किया जा सकता है $R_{AR}^{SYS},C_{AR}^{SYS}$ और $L_{AR}^{SYS}$ जो धमनी प्रणालीगत प्रतिरोध, धारिता और अधिष्ठापन का प्रतिनिधित्व करता है। प्रणालीगत धमनी परिसंचरण का वर्णन करने वाले सामान्य अंतर समीकरण हैं:

$C_{AR}^{SYS}{\frac {dp_{AR}^{SYS}}{dt}}=Q_{AV}(t)-Q_{AR}^{SYS}(t)$

$L_{AR}^{SYS}{\frac {dQ_{AR}^{SYS}(t)}{dt}}=-R_{AR}^{SYS}Q_{AR}^{SYS}(t)+p_{AR}^{SYS}(t)-p_{VEN}^{SYS}(t)$

जहां $Q_{AR}^{SYS}(t)$ प्रणालीगत धमनी डिब्बे में रक्त प्रवाह है और $p_{VEN}^{SYS}(t)$ शिराओं के डिब्बे के अंदर का दबाव है।

समान संकेतन वाले अनुरूप समीकरण रक्त परिसंचरण का वर्णन करने वाले अन्य डिब्बों के लिए मान्य हैं।

साधारण अंतर समीकरण प्रणाली

ऊपर वर्णित समीकरणों को एकत्र करने पर निम्नलिखित प्रणाली $\forall \,t\in [0,T]$ प्राप्त होती है:

$T$